Corrigé du brevet de maths 2004 : Amérique du Nord
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2004 : Amérique du Nord. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Plan du corrigé corrigé Amérique 2004
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Amérique 2004 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 9 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Fractions et racines carrées » (activités numériques). Ensuite, la correction reprend « Développer puis résoudre » (exercice 1 de la partie numérique). Puis tu lis la démarche complète pour « Pains au chocolat et croissants » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Bouquets et PGCD » (exercice 3 de la partie numérique). En outre, le corrigé explique « Transformations du mot OR » (exercice 4 de la partie numérique).
Ensuite, la correction reprend « Papillon de Thalès et cosinus » (activités géométriques). Puis tu lis la démarche complète pour « Cercle dans un repère » (exercice 1 de géométrie). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Cône et tronc de cône » (exercice 2 de géométrie). Enfin, le corrigé explique « Tronc de cône et cylindre » (exercice 3 de géométrie).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Amérique 2004 sont les fractions, les racines carrées, les équations, les systèmes d’équations et les diviseurs communs, rédigées comme sur une copie.
Activités numériques (corrigé Amérique 2004)
Corrigé de l’exercice 1 : fractions et racines carrées
1. La division est prioritaire sur l’addition. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
\[\dfrac{6}{7}\div\dfrac{12}{35}=\dfrac{6}{7}\times\dfrac{35}{12}=\dfrac{6\times35}{7\times12}=\dfrac{6\times5\times7}{7\times6\times2}=\dfrac{5}{2}.\]
On ajoute ensuite \(\dfrac{1}{7}\) en passant au dénominateur commun 14 :
\[\text{A}=\dfrac{1}{7}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{2}{14}+\dfrac{35}{14}=\dfrac{37}{14}.\]
37 est un nombre premier qui ne divise pas 14, donc la fraction est irréductible. \(\text{A}=\dfrac{37}{14}\).
2. a. B est de la forme \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) avec \(a=\sqrt{17}\) et \(b=1\) :
\[\text{B}=\left(\sqrt{17}\right)^2-1^2=17-1=16.\]
C est de la forme \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) avec \(a=3\) et \(b=\sqrt{7}\) :
\[C=3^2-2\times3\times\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^2=9-6\sqrt{7}+7=16-6\sqrt{7}.\]
\(\text{B}=16\) et \(C=16-6\sqrt{7}\).
2. b. \(\text{D}=\text{B}-\text{C}=16-\left(16-6\sqrt{7}\right)=16-16+6\sqrt{7}=6\sqrt{7}\). Attention au signe moins devant la parenthèse, qui change le signe de chaque terme. \(\text{D}=6\sqrt{7}\), donc \(a=6\).
Corrigé de l’exercice 2 : développer puis résoudre
1. D’abord, on développe \(E\) en faisant attention au signe moins devant \(x(x+4)\) :
\[E=4x^2-8x+5x-10-\left(x^2+4x\right)=4x^2-3x-10-x^2-4x=3x^2-7x-10.\]
Ensuite, on développe \(F\) :
\[F=3x^2+3x-10x-10=3x^2-7x-10.\]
Les deux formes réduites sont identiques. Puis on a bien \(E=F=3x^2-7x-10\).
2. Puisque \(E=F\), résoudre \(E=0\) revient à résoudre \((3x-10)(x+1)=0\). Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul :
\[3x-10=0\ \text{donne}\ x=\dfrac{10}{3}\qquad x+1=0\ \text{donne}\ x=-1.\]
L’équation \(E=0\) a deux solutions : \(\dfrac{10}{3}\) et \(-1\).
Contrôle avec \(x=-1\) dans la forme de départ : \((4\times(-1)+5)(-1-2)-(-1)(-1+4)=1\times(-3)+3=0\).
Corrigé de l’exercice 3 (Amérique 2004) : pains au chocolat et croissants
1. Tout d’abord, on note \(p\) le prix d’un pain au chocolat et \(c\) le prix d’un croissant, en euros. Chaque achat donne une équation :
\[\begin{cases}5p+3c=5{,}85\\3p+2c=3{,}65\end{cases}\]
2. Alors on élimine \(c\) par combinaison : on multiplie la première équation par 2 et la seconde par 3, pour avoir \(6c\) dans les deux.
\[10p+6c=11{,}70\qquad 9p+6c=10{,}95\]
En soustrayant membre à membre : \(10p-9p=11{,}70-10{,}95\), donc \(p=0{,}75\).
On remplace dans la première équation : \(5\times0{,}75+3c=5{,}85\), soit \(3{,}75+3c=5{,}85\), donc \(3c=2{,}10\) et \(c=0{,}70\).
Vérification dans la deuxième équation : \(3\times0{,}75+2\times0{,}70=2{,}25+1{,}40=3{,}65\). Un pain au chocolat coûte 0,75 € et un croissant coûte 0,70 €.
Corrigé de l’exercice 4 : les bouquets du fleuriste
1. Pour faire 15 bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs, 15 doit diviser à la fois 126 et 210. Or \(126=15\times8+6\) : le reste n’est pas nul. Non, il ne peut pas réaliser 15 bouquets (il resterait 6 iris).
2. \(126=14\times9\) et \(210=14\times15\) : 14 divise les deux nombres. Oui, il peut réaliser 14 bouquets, chacun avec 9 iris et 15 roses.
3. a. Le nombre de bouquets doit être un diviseur commun de 126 et 210 ; le nombre maximal est donc leur PGCD. Avec l’algorithme d’Euclide :
\[210=126\times1+84\qquad 126=84\times1+42\qquad 84=42\times2+0.\]
Le dernier reste non nul est 42. Le fleuriste peut réaliser au maximum 42 bouquets.
3. b. \(126\div42=3\) et \(210\div42=5\). Chaque bouquet contient 3 iris et 5 roses.
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 (Amérique 2004) : le mot « OR » transformé
Prenons comme unité l’écart entre deux points du réseau. Le mot est formé d’un rectangle (le O) de 1 carreau sur 2, et d’un R : la barre [BE] de 2 carreaux, une boucle carrée d’un carreau en haut, et une diagonale qui part du milieu de [BE] vers le bas à droite. On commence toujours par placer l’image de [BE], puis on reporte le reste en comptant les carreaux.
- En bleu, symétrie d’axe (d) : chaque point est reporté à la même distance de l’autre côté de la droite verticale (d). B est à 3 carreaux à gauche de (d), son image est à 3 carreaux à droite. Le mot est retourné comme dans un miroir : le R devient un « Я » et se place avant le O.
- En rouge, symétrie de centre I : l’image d’un point M est le point M′ tel que I soit le milieu de [MM′]. B est à 3 carreaux à gauche et 3 carreaux au-dessus de I ; son image est à 3 carreaux à droite et 3 carreaux en dessous. Le mot apparaît « la tête en bas », sous le réseau de points (il faut prolonger le quadrillage vers le bas).
- En noir, translation qui transforme B en D : pour aller de B à D, on se déplace de 8 carreaux vers la droite et de 4 carreaux vers le bas. Tous les points du mot subissent le même déplacement : l’image de B est D lui-même et le mot garde exactement sa forme et son orientation.
- En vert, rotation de centre A qui transforme B en C : B est 3 carreaux au-dessus de A et C est 3 carreaux à gauche de A, donc c’est un quart de tour (90°) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. L’image de [BE] part de C et va horizontalement de 2 carreaux vers la gauche ; le mot est couché, le O devient un rectangle horizontal placé en dessous.
Corrigé de l’exercice 2 : papillon de Thalès et cosinus
1. Les points A, O, C sont alignés, les points B, O, D sont alignés et les droites (AB) et (CD) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles OAB et OCD :
\[\dfrac{\text{OA}}{\text{OC}}=\dfrac{\text{OB}}{\text{OD}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{CD}}.\]
Avec les longueurs connues : \(\dfrac{3}{7{,}5}=\dfrac{4}{\text{CD}}\), donc \(\text{CD}=\dfrac{4\times7{,}5}{3}=\dfrac{30}{3}=10\). CD = 10 cm.
2. H est le pied de la perpendiculaire à (BD) issue de C, donc le triangle OHC est rectangle en H. Son hypoténuse est [OC] et l’angle \(\widehat{HOC}\) est l’angle \(\widehat{DOC}\), qui mesure 65° (H est sur la demi-droite [OD) car cet angle est aigu). [OH] est le côté adjacent à cet angle, donc :
\[\cos\widehat{HOC}=\dfrac{\text{OH}}{\text{OC}}\qquad \text{d^{\prime}où}\qquad \text{OH}=7{,}5\times\cos65^\circ\approx3{,}1696.\]
OH ≈ 3,17 cm (au centième).
Corrigé de l’exercice 3 : cercle et triangle rectangle dans un repère
Dans le repère (O, I, J), le point I a pour coordonnées (1 ; 0).
1. a. Ensuite, on place A en avançant de 5 unités sur l’axe des abscisses et de 3 unités vers le haut (voir la figure).
1. b. Pour aller de I à A, on se déplace de 4 unités vers la droite et de 3 unités vers le haut. Par le calcul : \((5-1\ ;\ 3-0)\). \(\overrightarrow{\text{IA}}\) a pour coordonnées (4 ; 3).
1. c. Dans un repère orthonormé, la distance se calcule avec le théorème de Pythagore : \(\text{IA}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\). IA = 5 cm.
2. a. On a déjà IA = 5, donc A est sur le cercle de centre I et de rayon 5. Pour B :
\[\text{IB}^2=(-1-1)^2+\left(\sqrt{21}-0\right)^2=4+21=25,\ \text{donc}\ \text{IB}=5.\]
IA = IB = 5 : A et B sont bien sur le cercle de centre I et de rayon 5.
2. b. Puis on trace le cercle au compas, pointe en I, écartement 5 cm. Comme \(\sqrt{21}\approx4{,}58\), B se place à l’abscisse \(-1\) sur ce cercle, en haut, à peu près à 4,6 unités au-dessus de l’axe des abscisses.
3. a. I est le milieu de [AC]. Ensuite, on repart de I avec le vecteur opposé à \(\overrightarrow{\text{IA}}\) : 4 unités vers la gauche et 3 vers le bas. C a pour coordonnées \((-3\ ;\ -3)\).
3. b. C est aussi sur le cercle (IC = IA = 5) et [AC] est un diamètre de ce cercle, car I en est le milieu. B est un point du cercle différent de A et de C. Or un triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre est rectangle, et l’angle droit est au sommet opposé à ce diamètre. Le triangle ABC est rectangle en B.
Vérification par le calcul : \(\text{AB}^2+\text{BC}^2=\left(66-6\sqrt{21}\right)+\left(34+6\sqrt{21}\right)=100=10^2=\text{AC}^2\), ce qui confirme l’angle droit en B par la réciproque de Pythagore.
Problème (corrigé Amérique 2004)
Corrigé de la partie A : cône, section et tronc de cône
1. La base est un disque de rayon 7 cm, d’aire \(\pi\times7^2=49\pi\ \text{cm}^2\). La hauteur est 14 cm :
\[\mathcal{V}_1=\dfrac{49\pi\times14}{3}=\dfrac{686\pi}{3}\ \text{cm}^3.\]
Puis on obtient bien \(\mathcal{V}_1=\dfrac{686\pi}{3}\ \text{cm}^3\) (environ 718,4 cm³).
2. Le petit cône de sommet S a pour hauteur \(\text{SO}^{\prime}=\text{SO}-\text{OO}^{\prime}=14-8=6\) cm. La section par un plan parallèle à la base est une réduction de la base, de rapport \(k=\dfrac{\text{SO}^{\prime}}{\text{SO}}=\dfrac{6}{14}=\dfrac{3}{7}\). Son rayon est donc \(7\times\dfrac{3}{7}=3\). Le rayon du disque de section est 3 cm.
3. Le cône \(C_2\) a une base de rayon 3 cm, d’aire \(9\pi\ \text{cm}^2\), et une hauteur SO′ = 6 cm :
\[\mathcal{V}_2=\dfrac{9\pi\times6}{3}=18\pi\ \text{cm}^3.\]
Autre façon : dans une réduction de rapport \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\) : \(\dfrac{686\pi}{3}\times\left(\dfrac{3}{7}\right)^3=\dfrac{686\pi}{3}\times\dfrac{27}{343}=18\pi\). \(\mathcal{V}_2=18\pi\ \text{cm}^3\).
4. Le volume du tronc de cône est la différence des deux volumes :
\[\dfrac{686\pi}{3}-18\pi=\dfrac{686\pi}{3}-\dfrac{54\pi}{3}=\dfrac{632\pi}{3}.\]
Le volume du tronc de cône est \(\dfrac{632\pi}{3}\ \text{cm}^3\), soit environ 661,8 cm³.
Corrigé de la partie B : tronc de cône contre cylindre
Le graphique annoncé par l’énoncé est redessiné ci-dessous, avec la droite du cylindre demandée à la question 2. c.
1. a. Alors on part de \(x=6\) sur l’axe des abscisses et on monte jusqu’à la courbe du tronc de cône : on lit une ordonnée d’environ 400. \(\mathcal{V}(6)\approx400\ \text{cm}^3\).
1. b. On remplace \(x\) par 6 : \(1+\dfrac{6}{6}=2\), puis \(2^3=8\) :
\[\mathcal{V}(6)=18\pi\left[2^3-1\right]=18\pi\times(8-1)=18\pi\times7=126\pi\approx395{,}84.\]
\(\mathcal{V}(6)=18\pi\times7\approx396\ \text{cm}^3\), ce qui est cohérent avec la lecture graphique.
2. a. Volume d’un cylindre : aire de la base \(\times\) hauteur. \(\pi\times5^2\times8=200\pi\). Le volume du cylindre est \(200\pi\ \text{cm}^3\) (environ 628 cm³).
2. b. Le liquide occupe un cylindre de même base (rayon 5 cm) et de hauteur \(x\) : son volume est \(\pi\times5^2\times x=25\pi x\). De même, le volume de liquide est bien \(25\pi x\ \text{cm}^3\).
2. c. \(f\) est une fonction linéaire, sa représentation est une droite qui passe par l’origine. Il suffit d’un second point : \(f(8)=200\pi\approx628\). On trace le segment de (0 ; 0) à (8 ; 628) environ, c’est-à-dire un peu plus de 12,5 carreaux en hauteur (droite rouge ci-dessus).
3. a. Le point M se trouve entre les abscisses 7 et 8. \(7\lt x_M\lt 8\).
3. b. Son ordonnée est entre les graduations 550 et 600. \(550\lt y_M\lt 600\).
Pour contrôler : en résolvant \(18\left[\left(1+\dfrac{x}{6}\right)^3-1\right]=25x\) (à la calculatrice), on trouve \(x_M\approx7{,}52\) et \(y_M=25\pi x_M\approx591\).
4. Le tronc de cône contient plus de liquide lorsque sa courbe est au-dessus de la droite du cylindre. Sur le graphique, c’est le cas seulement à droite de M, jusqu’à la hauteur maximale de 8 cm. Pour \(x=8\) on vérifie : \(\mathcal{V}(8)=\dfrac{632\pi}{3}\approx662\), qui dépasse \(f(8)\approx628\). Le tronc de cône contient plus de liquide que le cylindre pour \(x\) compris entre environ 7,5 cm et 8 cm.
Ce résultat s’explique : le tronc de cône repose sur sa petite base (rayon 3 cm, plus étroite que le cylindre) et ne s’élargit au-delà de 5 cm de rayon que vers le haut, donc il ne rattrape le cylindre qu’à la fin du remplissage.
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Bien réviser avec le corrigé corrigé Amérique 2004
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
En ce qui concerne les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Quant aux racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Dans les questions sur les équations, garde l’équilibre des deux membres à chaque étape, ainsi tu évites les erreurs de signe. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé Amérique 2004 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Amérique 2004
Faut-il lire le corrigé corrigé Amérique 2004 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2004. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les racines carrées, les équations et les systèmes d’équations. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Amérique 2004
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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