Corrigé du brevet de maths 2004 : France, groupement Nord, septembre
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2004 : France, groupement Nord, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Ce que détaille le corrigé corrigé Nord septembre
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Nord septembre suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 9 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « Fractions, puissances, racines » (activités numériques). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Développer et factoriser » (exercice 1). Puis le corrigé explique « Système : viennoiseries » (exercice 2). Par ailleurs, la correction reprend « Nombres premiers entre eux » (exercice 3). En outre, tu lis la démarche complète pour « Repère et quadrilatère ABEF » (second exercice 3).
Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Tangente et cône » (activités géométriques). Puis le corrigé explique « Pythagore et Thalès » (exercice 1 de géométrie). Par ailleurs, la correction reprend « Tarifs du ciné-club » (exercice 2 de géométrie). Enfin, tu lis la démarche complète pour « Enquête statistique » (exercice 3 de géométrie).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Nord septembre sont les fractions, les puissances de 10, les racines carrées, les systèmes d’équations et la trigonométrie, rédigées comme sur une copie.
Corrigé des activités numériques (Nord septembre)
Corrigé de l’exercice 1 : fractions, puissances de 10 et racines carrées
1. La multiplication est prioritaire sur la soustraction. On calcule d’abord \(\dfrac{8}{3}\times\dfrac{5}{2}=\dfrac{40}{6}=\dfrac{20}{3}\).
Puis \(A=\dfrac{5}{3}-\dfrac{20}{3}=\dfrac{5-20}{3}=\dfrac{-15}{3}\), donc \(A=-5\).
2. On regroupe les nombres « ordinaires » d’un côté et les puissances de 10 de l’autre :
\[B=\dfrac{5\times36}{15}\times\dfrac{10^{-8}\times10^{4}}{10^{5}}=12\times10^{-8+4-5}=12\times10^{-9}\]
Ce n’est pas encore une écriture scientifique car 12 n’est pas compris entre 1 et 10. Comme \(12=1{,}2\times10^{1}\), on obtient \(B=1{,}2\times10^{-8}\).
3. Ensuite, on cherche dans 18 et 50 un facteur qui est un carré parfait : \(18=9\times2\) et \(50=25\times2\).
Donc \(\sqrt{18}=\sqrt{9}\times\sqrt{2}=3\sqrt{2}\) et \(\sqrt{50}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}\).
\(C=3\sqrt{2}-3\times5\sqrt{2}=3\sqrt{2}-15\sqrt{2}\), donc \(C=-12\sqrt{2}\) (ici \(a=-12\)).
Corrigé de l’exercice 2 : développer, factoriser, équation produit
1. D’abord, on développe le produit avec la double distributivité, et le carré avec l’identité remarquable \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) :
\((2x+3)(5-x)=10x-2x^2+15-3x=-2x^2+7x+15\)
\((2x+3)^2=4x^2+12x+9\)
Attention au signe « moins » devant le carré : il change tous les signes de la parenthèse.
\(F=-2x^2+7x+15-4x^2-12x-9\), donc \(F=-6x^2-5x+6\).
2. Le facteur \((2x+3)\) est commun aux deux termes, puisque \((2x+3)^2=(2x+3)(2x+3)\) :
\(F=(2x+3)\big[(5-x)-(2x+3)\big]=(2x+3)(5-x-2x-3)\), donc \(F=(2x+3)(2-3x)\).
Tu peux vérifier en développant : \((2x+3)(2-3x)=4x-6x^2+6-9x=-6x^2-5x+6\), on retrouve bien la question 1.
3. Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.
\(2x+3=0\) donne \(x=-\dfrac{3}{2}\) ; \(2-3x=0\) donne \(x=\dfrac{2}{3}\).
L’équation a deux solutions : \(-\dfrac{3}{2}\) et \(\dfrac{2}{3}\).
4. La forme factorisée est la plus rapide : pour \(x=3\), \(F=(2\times3+3)(2-3\times3)=9\times(-7)\), donc \(F=-63\).
Contrôle avec la forme développée : \(-6\times9-5\times3+6=-54-15+6=-63\).
Corrigé de l’exercice 3 (Nord septembre) : système de deux équations
1. Tout d’abord, on utilise la substitution. La première équation donne \(x=3-2y\).
Puis on remplace \(x\) dans la seconde : \(3(3-2y)+8y=10{,}9\), soit \(9-6y+8y=10{,}9\), donc \(2y=1{,}9\) et \(y=0{,}95\).
Alors \(x=3-2\times0{,}95=3-1{,}9=1{,}1\).
Vérification : \(1{,}1+2\times0{,}95=3\) et \(3\times1{,}1+8\times0{,}95=3{,}3+7{,}6=10{,}9\). La solution du système est le couple \((1{,}1\ ;\ 0{,}95)\).
2. Alors on note \(x\) le prix d’un pain au chocolat et \(y\) le prix d’un croissant, en euros. Les deux achats se traduisent par :
\(x+2y=3\) (1 pain au chocolat et 2 croissants pour 3 euros) et \(3x+8y=10{,}9\) (3 pains au chocolat et 8 croissants pour 10,90 euros).
C’est exactement le système de la question 1. Donc un pain au chocolat coûte 1,10 euro et un croissant 0,95 euro.
Corrigé du second exercice 3 : nombres premiers entre eux
Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut 1. Ensuite, on applique l’algorithme d’Euclide (divisions successives) :
| Division euclidienne | Reste |
|---|---|
| 185 = 133 × 1 + 52 | 52 |
| 133 = 52 × 2 + 29 | 29 |
| 52 = 29 × 1 + 23 | 23 |
| 29 = 23 × 1 + 6 | 6 |
| 23 = 6 × 3 + 5 | 5 |
| 6 = 5 × 1 + 1 | 1 |
| 5 = 1 × 5 + 0 | 0 |
Le dernier reste non nul est 1, donc PGCD(133 ; 185) = 1.
Autre façon de voir : \(133=7\times19\) et \(185=5\times37\) n’ont aucun facteur premier commun.
133 et 185 sont donc premiers entre eux.
Corrigé des activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 (Nord septembre) : triangle et quadrilatère dans un repère
1. Pour commencer, on place A(5 ; 1), B(−2 ; 2) et C(2 ; 5) dans le repère orthonormal (voir la figure plus bas).
2. a. Dans un repère orthonormal, \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).
\(AB^2=(-2-5)^2+(2-1)^2=49+1=50\), donc \(AB=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx7{,}07\).
\(BC^2=(2-(-2))^2+(5-2)^2=16+9=25\), donc \(BC=5\).
b. On a \(AC=5=BC\), donc le triangle ABC est isocèle en C.
De plus \(AC^2+BC^2=25+25=50=AB^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C (le sommet opposé au plus grand côté [AB]).
Le triangle ABC est donc rectangle et isocèle en C.
3. a. E est le symétrique de A par rapport à C, donc C est le milieu de [AE] : \(x_E=2\times2-5=-1\) et \(y_E=2\times5-1=9\), soit E(−1 ; 9).
De même C est le milieu de [BF] : \(x_F=2\times2-(-2)=6\) et \(y_F=2\times5-2=8\), soit F(6 ; 8).
b. Les diagonales du quadrilatère ABEF sont [AE] et [BF].
- Elles ont le même milieu C : ABEF est un parallélogramme.
- Elles ont la même longueur : \(AE=2AC=10\) et \(BF=2BC=10\). Un parallélogramme aux diagonales de même longueur est un rectangle.
- De même, elles sont perpendiculaires, puisque (AC) et (BC) le sont (question 2.b). Un parallélogramme aux diagonales perpendiculaires est un losange.
Rectangle et losange à la fois : ABEF est un carré.
Corrigé de l’exercice 2 : trigonométrie et cône de révolution
1. Dans le triangle AHO rectangle en H, on connaît le côté opposé à l’angle \(\widehat{A}\) (OH) et le côté adjacent (AH). On utilise donc la tangente :
\[\tan\widehat{A}=\dfrac{OH}{AH}=\dfrac{6}{3{,}2}=1{,}875\]
À la calculatrice, \(\widehat{A}=\arctan(1{,}875)\approx61{,}9^\circ\), donc \(\widehat{A}\approx62^\circ\) au degré près.
2. a. Le volume d’un cône de rayon de base \(r\) et de hauteur \(h\) est \(V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h\). Ici \(r=AH=3{,}2\) cm et \(h=OH=6\) cm :
\[V=\dfrac{1}{3}\times\pi\times3{,}2^2\times6=\dfrac{10{,}24\times6}{3}\pi=20{,}48\pi\]
La valeur exacte est \(V=20{,}48\pi\ \text{cm}^3\) et la valeur arrondie à l’unité est \(V\approx64\ \text{cm}^3\) (car \(20{,}48\pi\approx64{,}34\)).
b. Dans une réduction de rapport \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\). Avec \(k=\dfrac{1}{2}\) : \(k^3=\dfrac{1}{8}\), donc \(V^{\prime}=\dfrac{V}{8}\).
\(V^{\prime}=\dfrac{20{,}48\pi}{8}=2{,}56\pi\approx8{,}04\), donc \(V^{\prime}\approx8\ \text{cm}^3\) à l’unité près, comme annoncé.
Remarque : pars de la valeur exacte de V et non de 64, sinon tu obtiens pile 8 sans l’avoir vraiment démontré.
Corrigé de l’exercice 3 : Pythagore et réciproque de Thalès
1. Construction : trace le segment [RT] de 4,8 cm, puis la perpendiculaire à (RT) passant par R. Avec le compas, trace un arc de centre T et de rayon 8 cm : il coupe la perpendiculaire au point S.
2. Le triangle RST est rectangle en R, d’hypoténuse [ST]. D’après le théorème de Pythagore :
\[ST^2=RS^2+RT^2\quad\text{donc}\quad RS^2=8^2-4{,}8^2=64-23{,}04=40{,}96\]
D’où \(RS=\sqrt{40{,}96}\), soit \(RS=6{,}4\ \text{cm}\).
3. a. Les points R, T, U sont alignés dans cet ordre sur la demi-droite [RT), et les points R, S, V dans le même ordre sur la demi-droite [RS). Puis on compare les rapports :
\(\dfrac{RU}{RT}=\dfrac{6}{4{,}8}=1{,}25\) et \(\dfrac{RV}{RS}=\dfrac{8}{6{,}4}=1{,}25\).
Les rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (TS) et (UV) sont parallèles.
b. Les droites étant parallèles, le théorème de Thalès donne \(\dfrac{UV}{TS}=\dfrac{RU}{RT}=1{,}25\), donc \(UV=1{,}25\times8\), soit \(UV=10\ \text{cm}\).
Contrôle : le triangle RUV est rectangle en R, et \(RU^2+RV^2=36+64=100=10^2\).
Corrigé du problème (Nord septembre)
Corrigé de la première partie : comparer deux tarifs
1. Tarif A : \(25+8\times1{,}50=25+12\), soit 37 euros.
Tarif B : \(8\times5\), soit 40 euros. Pour 8 séances, le tarif A est plus avantageux.
2. Avec le tarif A, on paie la carte puis 1,50 euro par séance : \(P_A(x)=1{,}5x+25\).
Avec le tarif B, on paie 5 euros par séance : \(P_B(x)=5x\).
3. Pour 10 séances au tarif A : \(1{,}5\times10+25=15+25=40\) euros. C’est bien ce qu’a payé Vincent : il a assisté à 10 séances.
On peut aussi résoudre \(1{,}5x+25=40\) : \(1{,}5x=15\), donc \(x=10\).
4. Ensuite, on cherche les entiers \(x\) tels que \(5x\lt 1{,}5x+25\).
\(5x-1{,}5x\lt 25\), soit \(3{,}5x\lt 25\), donc \(x\lt \dfrac{25}{3{,}5}\approx7{,}14\).
Le nombre de séances est un entier : le tarif B est moins cher jusqu’à 7 séances au maximum. Vérification : pour 7 séances, B coûte 35 euros et A coûte 35,50 euros ; pour 8 séances, B coûte 40 euros et A 37 euros.
5. a. \(\mathcal{D}_1\) passe par l’origine (fonction linéaire) et par le point (10 ; 50). \(\mathcal{D}_2\) passe par (0 ; 25) et par (10 ; 40). Sur ta feuille, 1 cm par séance en abscisse et 1 cm pour 5 euros en ordonnée.
b. Le tarif B est inférieur au tarif A tant que \(\mathcal{D}_1\) est en dessous de \(\mathcal{D}_2\), c’est-à-dire à gauche de leur point d’intersection. Puis on trace les pointillés depuis ce point vers l’axe des abscisses : on lit une abscisse d’environ 7,1. Le plus grand entier avant cette valeur est 7, ce qui confirme la réponse de la question 4.
Corrigé de la deuxième partie : statistiques de l’enquête
1. D’abord, on additionne les effectifs : \(54+62+48+14+18=196\). Le gérant a obtenu 196 réponses.
2. a. \(\dfrac{48}{196}\times100\approx24{,}49\), donc environ 24,5 % des personnes ont vu 6 films.
b. « Au moins 7 films » signifie 7 ou 8 films : \(14+18=32\). 32 personnes ont vu au moins 7 films.
3. Alors on calcule la moyenne pondérée par les effectifs :
\[m=\dfrac{4\times54+5\times62+6\times48+7\times14+8\times18}{196}=\dfrac{216+310+288+98+144}{196}=\dfrac{1056}{196}\approx5{,}39\]
En moyenne, une personne a vu environ 5 films (arrondi à l’unité).
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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Nord septembre
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
Dans les questions sur les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Pour les puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. En ce qui concerne les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé Nord septembre parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Nord septembre
Faut-il lire le corrigé corrigé Nord septembre en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2004. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les puissances de 10, les racines carrées et les systèmes d’équations. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Nord septembre
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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