Corrigé du brevet de maths 2004 : Académie de Bordeaux

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Sommaire

Dans ce corrigé du brevet de juin 2004 de l’académie de Bordeaux, chaque réponse est justifiée comme sur une copie. Tu y apprends à regrouper les puissances de 10, à diviser par une fraction négative et à utiliser \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) avec des racines carrées, puis à factoriser par \((x-2)\) et à résoudre une équation produit. Le système d’équations est relié au problème des perles, dont le prix se déduit directement. En géométrie, la réciproque de Pythagore, la tangente et le théorème de Thalès règlent le triangle 5-12-13, la formule du volume donne le côté de la base de la pyramide, et les distances dans un repère montrent pourquoi (CK) n’est pas la médiatrice. Le problème traduit l’aire d’un trapèze par la fonction affine \(x\mapsto 3x+30\).

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2004 : Académie de Bordeaux. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Corrigé des activités numériques

Corrigé de l’exercice 1 : trois calculs à résultat entier

Calcul de A. On sépare les nombres et les puissances de 10 :

\[A=\dfrac{96\times 5}{3\times 2}\times\dfrac{10^{-4}\times 10^{-2}}{10^{-1}\times 10^{-6}}=\dfrac{480}{6}\times\dfrac{10^{-6}}{10^{-7}}=80\times 10^{-6-(-7)}=80\times 10^{1}\]

Donc \(A=800\).

Calcul de B. On commence par la parenthèse, en réduisant au même dénominateur 6 :

\[\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{2}=\dfrac{4}{6}-\dfrac{15}{6}=-\dfrac{11}{6}\]

Diviser par \(-\dfrac{11}{6}\) revient à multiplier par son inverse \(-\dfrac{6}{11}\) :

\[B=11\times\left(-\dfrac{6}{11}\right)=-6\]

Donc \(B=-6\).

Calcul de C. On reconnaît l’identité remarquable \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) avec \(a=2\sqrt{3}\) et \(b=3\) :

\[C=\left(2\sqrt{3}\right)^2-3^2=4\times 3-9=12-9=3\]

Donc \(C=3\).

À retenir : \(\dfrac{10^{m}}{10^{n}}=10^{m-n}\), diviser par une fraction c’est multiplier par son inverse, et \(\left(k\sqrt{a}\right)^2=k^2\times a\).

Corrigé de l’exercice 2 : factoriser et développer

1. \((x-2)\) est un facteur commun aux deux termes, puisque \((x-2)^2=(x-2)(x-2)\) :

\[D=(x-2)\big[(x-2)-2\big]=(x-2)(x-4)\]

Donc \(D=(x-2)(x-4)\).

2. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul :

\[x-2=0 \quad\text{ou}\quad x-4=0\]

L’équation a deux solutions : 2 et 4.

3. \((x-2)^2=x^2-4x+4\) et \(-2(x-2)=-2x+4\), donc :

\[D=x^2-4x+4-2x+4=x^2-6x+8\]

Donc \(D=x^2-6x+8\). On peut contrôler avec la forme factorisée : \((x-2)(x-4)=x^2-4x-2x+8\).

4. Pour \(x=1\), avec la forme développée : \(D=1^2-6\times 1+8=3\). Avec la forme factorisée : \((1-2)(1-4)=(-1)\times(-3)=3\). Donc \(D=3\).

À retenir : repère le facteur commun avant de développer ; la forme factorisée sert à résoudre \(D=0\), la forme développée à calculer rapidement.

Corrigé de l’exercice 3 : système et prix des perles

1. Les deux équations contiennent \(2y\) : on les soustrait membre à membre pour éliminer \(y\).

\[(5x+2y)-(x+2y)=12-8 \quad\text{donc}\quad 4x=4 \quad\text{donc}\quad x=1\]

On remplace dans la deuxième équation : \(1+2y=8\), donc \(2y=7\) et \(y=3{,}5\).

La solution du système est le couple (1 ; 3,5). Vérification : \(5\times 1+2\times 3{,}5=5+7=12\) et \(1+7=8\).

2. On remplace \(x\) par 1 et \(y\) par 3,5 :

\(10\times 1+4\times 3{,}5=10+14=24\) et \(3\times 1+6\times 3{,}5=3+21=24\).

Les deux égalités sont vraies : (1 ; 3,5) est solution du second système. D’ailleurs ce système est équivalent au premier : on obtient le premier en divisant la première équation par 2 et la seconde par 3, il a donc la même solution unique.

3. Appelons \(x\) le prix en euros d’une perle noire et \(y\) celui d’une perle dorée. Les deux sacs donnent :

\[\left\{\begin{array}{l} 10x+4y=24\\ 3x+6y=24 \end{array}\right.\]

C’est le système de la question 2 : une perle noire coûte 1 € et une perle dorée 3,50 €. Pour 4 perles noires et 3 perles dorées :

\[4\times 1+3\times 3{,}5=4+10{,}5=14{,}5\]

Ce sac serait vendu 14,50 €.

À retenir : pour mettre un problème en équations, choisis clairement les inconnues, écris une équation par information, puis vérifie la solution dans l’énoncé.

Corrigé des activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : le triangle 5-12-13

1. Trace [EF] de 12 cm. Au compas, trace un arc de centre E et de rayon 5 cm, puis un arc de centre F et de rayon 13 cm : ils se coupent en G.

2. Le plus grand côté est [FG]. On calcule séparément :

\[FG^2=13^2=169 \qquad EF^2+EG^2=12^2+5^2=144+25=169\]

Comme \(FG^2=EF^2+EG^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en E.

3. Dans le triangle EFG rectangle en E, pour l’angle \(\widehat{F}\), le côté opposé est [EG] et le côté adjacent est [EF] :

\[\tan\widehat{F}=\dfrac{EG}{EF}=\dfrac{5}{12}\]

La calculatrice donne \(\widehat{F}\approx 22{,}6°\), donc \(\widehat{F}\approx 23°\). (Avec le sinus, \(\sin\widehat{F}=\dfrac{5}{13}\), on trouve la même valeur.)

4. Place B sur [EF] à 7 cm de E, puis trace la parallèle à (FG) passant par B (avec l’équerre et la règle, en faisant glisser l’équerre le long de la règle). Elle coupe [EG] en M.

5. Les points E, B, F sont alignés, les points E, M, G sont alignés et (BM) est parallèle à (FG). D’après le théorème de Thalès dans les triangles EBM et EFG :

\[\dfrac{EB}{EF}=\dfrac{EM}{EG}=\dfrac{BM}{FG}\]

\[\dfrac{7}{12}=\dfrac{BM}{13} \quad\text{donc}\quad BM=\dfrac{7\times 13}{12}=\dfrac{91}{12}\]

La valeur exacte est \(BM=\dfrac{91}{12}\) cm ; comme \(\dfrac{91}{12}\approx 7{,}583\), l’arrondi au millimètre est BM ≈ 7,6 cm.

À retenir : la réciproque de Pythagore prouve un angle droit, le théorème de Thalès donne une longueur dès que deux droites parallèles coupent deux sécantes ; garde la fraction pour la valeur exacte.

Corrigé de l’exercice 2 : la pyramide régulière

1. Le volume d’une pyramide est \(V=\dfrac{\text{aire de la base}\times\text{hauteur}}{3}\). En notant \(\mathcal{B}\) l’aire de la base :

\[24=\dfrac{\mathcal{B}\times 4}{3} \quad\text{donc}\quad \mathcal{B}\times 4=72 \quad\text{donc}\quad \mathcal{B}=18\]

L’aire de la base est bien 18 cm².

2. La base est un carré de côté AB, donc \(AB^2=18\) et, comme une longueur est positive :

\[AB=\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}=3\sqrt{2}\]

Le côté mesure \(3\sqrt{2}\) cm.

3. Le triangle ABC est rectangle en B (angle d’un carré). D’après le théorème de Pythagore :

\[AC^2=AB^2+BC^2=18+18=36 \quad\text{donc}\quad AC=6\]

La diagonale [AC] mesure 6 cm.

4. H est sur [AC] et la hauteur [OH] est perpendiculaire à la base, donc à (AC) : [OH] est la hauteur du triangle AOC relative au côté [AC].

\[\text{aire}(AOC)=\dfrac{AC\times OH}{2}=\dfrac{6\times 4}{2}=12\]

L’aire du triangle AOC est 12 cm².

À retenir : volume d’une pyramide = \(\dfrac{1}{3}\) × aire de la base × hauteur ; la diagonale d’un carré de côté \(c\) mesure \(c\sqrt{2}\).

Corrigé de l’exercice 3 : distances et médiatrice

1. On place A(2 ; 2), B(−4 ; 5) et C(−4 ; −2). B et C ont la même abscisse −4 : ils sont sur une même droite verticale.

2. a. Dans un repère orthonormé :

\[AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}=\sqrt{(-4-2)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}\]

On a bien \(AC=\sqrt{52}\) cm.

b. \(BC=\sqrt{(-4-(-4))^2+(-2-5)^2}=\sqrt{0+49}=7\). Donc BC = 7 cm (on pouvait aussi compter : de l’ordonnée 5 à l’ordonnée −2, il y a 7 unités).

c. Le triangle serait isocèle en C si CA = CB. Or \(CA^2=52\) et \(CB^2=49\) : \(52\neq 49\), donc \(CA\neq CB\) (\(CA\approx 7{,}21\)). Le triangle ABC n’est pas isocèle en C.

3. a. Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées :

\[x_K=\dfrac{2+(-4)}{2}=-1 \qquad y_K=\dfrac{2+5}{2}=3{,}5\]

On place K(−1 ; 3,5).

b. La médiatrice de [AB] est l’ensemble des points situés à égale distance de A et de B. D’après la question 2.c, \(CA\neq CB\) : le point C n’est pas sur la médiatrice de [AB]. La droite (CK) passe bien par le milieu K, mais pas par un second point de la médiatrice, donc (CK) n’est pas la médiatrice de [AB].

À retenir : un point appartient à la médiatrice d’un segment si et seulement s’il est à égale distance des extrémités ; il ne suffit pas qu’une droite passe par le milieu.

Corrigé du problème

Corrigé de la partie A : aire du trapèze pour ED = 3 cm

1. Trace le rectangle ABCD avec AB = DC = 5 cm et BC = AD = 6 cm, puis prolonge [CD] au-delà de D et place E tel que ED = 3 cm. Relie A et E.

2. \(\text{aire}(ABCD)=AB\times BC=5\times 6=30\). L’aire du rectangle est 30 cm².

3. Le triangle ADE est rectangle en D, ses côtés de l’angle droit mesurent AD = BC = 6 cm et ED = 3 cm :

\[\text{aire}(ADE)=\dfrac{ED\times AD}{2}=\dfrac{3\times 6}{2}=9\]

L’aire du triangle est 9 cm².

4. Le trapèze ABCE est formé du rectangle ABCD et du triangle ADE, qui ne se chevauchent pas : \(30+9=39\). L’aire du trapèze est bien 39 cm².

Contrôle avec la formule du trapèze : bases AB = 5 et EC = 3 + 5 = 8, hauteur 6, donc \(\dfrac{(5+8)\times 6}{2}=39\).

À retenir : pour calculer l’aire d’une figure complexe, découpe-la en figures simples (rectangle, triangle) et additionne leurs aires.

Corrigé de la partie B : l’aire en fonction de ED

1. L’aire du rectangle ABCD ne dépend pas de \(x\) : elle vaut toujours 30 cm². L’aire du triangle ADE devient \(\dfrac{x\times 6}{2}=3x\). Donc l’aire du trapèze est \(3x+30\) cm².

2. La fonction \(x\mapsto 3x+30\) est affine : sa représentation est une droite. Deux points suffisent, par exemple \((0\ ;\ 30)\) et \((6\ ;\ 48)\) car \(3\times 6+30=48\). Un troisième point, \((2\ ;\ 36)\), permet de vérifier l’alignement.

3. On part de 36 sur l’axe des ordonnées, on trace un trait horizontal en pointillés jusqu’à la droite, puis un trait vertical jusqu’à l’axe des abscisses : on lit \(x=2\).

4. On résout l’équation :

\[3x+30=36 \quad\text{donc}\quad 3x=6 \quad\text{donc}\quad x=2\]

L’aire du trapèze vaut 36 cm² quand ED = 2 cm, ce qui confirme la lecture graphique.

À retenir : une fonction affine se représente par une droite, tracée à partir de deux points bien choisis ; une lecture graphique se confirme toujours par une équation.

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