Corrigé du brevet de maths 2004 : Académie de Bordeaux, septembre

Corrigé de maths – Brevet 2004 : Académie de Bordeaux, septembre – Maths-pdf.fr

Sommaire

Ce corrigé du brevet de septembre 2004 de l’académie de Bordeaux reprend toutes les questions dans l’ordre. Tu y vois comment traiter une fraction à étages, simplifier \(\sqrt{60}\), factoriser une différence de deux carrés et résoudre un système de deux équations pour retrouver le prix d’un DVD et d’un livre. En géométrie, les distances dans un repère prouvent qu’un triangle est isocèle et donnent une médiatrice, le terrain des Hoarau combine aire d’un trapèze et théorème de Pythagore, et le théorème des milieux justifie un parallélisme. Le problème fait passer d’une vitesse en m/min à des km/h, puis regroupe des pulsations en classes pour tracer un histogramme. Une erreur de l’énoncé sur la moyenne y est expliquée.

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2004 : Académie de Bordeaux, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Ce que détaille le corrigé corrigé septembre 2004

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé septembre 2004 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 9 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « Deux fractions irréductibles » (activités numériques). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Racine carrée à simplifier » (exercice 1 de la partie numérique). Puis le corrigé explique « Développer et factoriser E » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, la correction reprend « Système : DVD et livres » (exercice 3 de la partie numérique). Ensuite, en outre, tu lis la démarche complète pour « Triangle isocèle dans un repère » (exercice 4 de la partie numérique).

Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Terrain en trapèze » (activités géométriques). Puis le corrigé explique « Symétries et parallélisme » (exercice 1 de géométrie). Par ailleurs, la correction reprend « Tours de stade et vitesse » (exercice 2 de géométrie). Enfin, tu lis la démarche complète pour « Pulsations et histogramme » (exercice 3 de géométrie).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé septembre 2004 sont les fractions, les racines carrées, le calcul littéral, les systèmes d’équations et les équations, rédigées comme sur une copie.

Activités numériques (corrigé septembre 2004)

Corrigé de l’exercice 1 : deux fractions

Pour A, la multiplication passe avant l’addition :

\[ \text{A} = \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{18} + \dfrac{3}{18} = \dfrac{7}{18} \]

7 est premier et ne divise pas 18 : \(\text{A} = \dfrac{7}{18}\) est irréductible.

Pour B, on calcule d’abord le numérateur, puis on divise par \(\dfrac{3}{5}\), c’est-à-dire qu’on multiplie par son inverse \(\dfrac{5}{3}\) :

\[ \dfrac{8}{3} – 2 = \dfrac{8}{3} – \dfrac{6}{3} = \dfrac{2}{3} \qquad \text{B} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{3} = \dfrac{10}{9} \]

10 et 9 n’ont aucun diviseur commun autre que 1 : \(\text{B} = \dfrac{10}{9}\).

À retenir : diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. Dans une fraction à étages, on simplifie séparément le numérateur et le dénominateur avant de diviser.

Corrigé de l’exercice 2 : une racine carrée à simplifier

D’abord, on cherche le plus grand carré parfait qui divise 60 : \(60 = 4 \times 15\). Donc \(\sqrt{60} = \sqrt{4} \times \sqrt{15} = 2\sqrt{15}\).

\[ \text{C} = 3\sqrt{15} + 2\sqrt{15} = 5\sqrt{15} \]

\(\text{C} = 5\sqrt{15}\). Par ailleurs, on peut vérifier à la calculatrice : les deux écritures valent environ 19,36.

À retenir : on ne peut additionner des racines carrées que si le nombre sous la racine est le même ; il faut donc d’abord les simplifier avec \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\).

Corrigé de l’exercice 3 (septembre 2004) : développer, factoriser, résoudre

1. Avec l’identité \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) :

\[ (3x-4)^2 = 9x^2 – 24x + 16 \]

\[ E = 9x^2 – 24x + 16 – 4x^2 = 5x^2 – 24x + 16 \]

Donc \(E = 5x^2 – 24x + 16\).

2. Ensuite, on remarque que \(4x^2 = (2x)^2\) : \(E\) est une différence de deux carrés, et \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\) avec \(a = 3x-4\) et \(b = 2x\).

\[ E = (3x – 4 – 2x)(3x – 4 + 2x) = (x-4)(5x-4) \]

Donc \(E = (x-4)(5x-4)\). Contrôle : \((x-4)(5x-4) = 5x^2 – 4x – 20x + 16 = 5x^2 – 24x + 16\).

3. a. Avec la forme développée : \(E = 5 \times 0 – 24 \times 0 + 16\), donc \(E = 16\) pour \(x = 0\).

b. Avec la forme factorisée : \(E = (-1-4)(5 \times (-1) – 4) = (-5) \times (-9) = 45\). Avec la forme développée : \(5 + 24 + 16 = 45\). Donc \(E = 45\) pour \(x = -1\).

4. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

\(5x – 4 = 0\) donne \(x = \dfrac{4}{5}\) ; \(x – 4 = 0\) donne \(x = 4\).

Les solutions sont \(\dfrac{4}{5}\) et 4. Puis ce sont les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(E = 0\).

À retenir : une expression de la forme « un carré moins un carré » se factorise toujours avec \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\). Pense à mettre des parenthèses autour de \(a\) et \(b\) pour ne pas te tromper de signes.

Corrigé de l’exercice 4 : système et problème d’achats

1. La première équation donne \(x = y + 8\). Ensuite, on remplace \(x\) dans la seconde (méthode par substitution) :

\[ 7(y + 8) + 5y = 104 \]

\[ 12y + 56 = 104 \quad \text{donc} \quad 12y = 48 \quad \text{et} \quad y = 4 \]

Puis \(x = 4 + 8 = 12\). Vérification : \(12 – 4 = 8\) et \(7 \times 12 + 5 \times 4 = 84 + 20 = 104\). Puis la solution du système est le couple \((x\ ;\ y) = (12\ ;\ 4)\).

2. Appelons \(x\) le prix d’un DVD et \(y\) le prix d’un livre, en euros. « 7 DVD et 5 livres coûtent 104 euros » s’écrit \(7x + 5y = 104\), et « un livre coûte 8 euros de moins qu’un DVD » s’écrit \(y = x – 8\), c’est-à-dire \(x – y = 8\). De plus, on retrouve exactement le système de la question 1.

a. Ensuite, un DVD coûte 12 euros.

b. Par ailleurs, un livre coûte 4 euros.

À retenir : pour mettre un problème en équations, choisis les inconnues, puis traduis chaque phrase de l’énoncé par une équation. Vérifie toujours la solution dans les deux équations.

Activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 (septembre 2004) : triangle isocèle dans un repère

1. Voir la figure ci-dessous.

2. a. Puis dans un repère orthonormé, la distance entre deux points est \(\sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}\).

\[ \text{AC} = \sqrt{(-4 – 2)^2 + (-3 – (-1))^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \]

\[ \text{BC} = \sqrt{(-4 – (-2))^2 + (-3 – 3)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \]

\(\text{AC} = \text{BC} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6{,}3\) cm.

b. Ensuite, les côtés [CA] et [CB] ont la même longueur : le triangle ABC est isocèle en C.

3. Le milieu de [AB] a pour coordonnées :

\[ \left( \dfrac{2 + (-2)}{2}\ ;\ \dfrac{-1 + 3}{2} \right) = (0\ ;\ 1) \]

Ce sont les coordonnées du point J, puisque dans le repère (O ; I, J) on a J(0 ; 1). Donc J est le milieu de [AB].

4. La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points situés à égale distance de ses extrémités.

C est équidistant de A et de B (CA = CB), donc C appartient à la médiatrice de [AB].
J est le milieu de [AB], donc JA = JB et J appartient aussi à cette médiatrice.

Les points C et J sont distincts, et une droite est déterminée par deux points : la droite (CJ) est la médiatrice de [AB].

À retenir : pour prouver qu’une droite est la médiatrice d’un segment, il suffit de trouver deux points distincts de cette droite qui sont chacun à égale distance des extrémités du segment.

Corrigé de l’exercice 2 : le terrain de la famille Hoarau

Dans l’énoncé, « AB = l5m » se lit AB = 15 m (la lettre l remplace le chiffre 1).

1. ABCD est un trapèze de bases [AB] et [DC] et de hauteur AD. Son aire est :

\[ \mathcal{A} = \dfrac{(\text{AB} + \text{DC}) \times \text{AD}}{2} = \dfrac{(15 + 25) \times 20}{2} = \dfrac{800}{2} = 400 \]

On peut aussi découper : le rectangle ABHD mesure \(15 \times 20 = 300\) m², et le triangle BHC, rectangle en H, a pour côtés BH = 20 m et HC = 25 − 15 = 10 m, d’aire \(\dfrac{20 \times 10}{2} = 100\) m². Total : 400 m².

2. ABHD est un rectangle, donc DH = AB = 15 m et BH = AD = 20 m. Alors HC = DC − DH = 25 − 15 = 10 m. Puis dans le triangle BHC rectangle en H, le théorème de Pythagore donne :

\[ \text{BC}^2 = \text{BH}^2 + \text{HC}^2 = 20^2 + 10^2 = 400 + 100 = 500 \]

\[ \text{BC} = \sqrt{500} \approx 22{,}36 \]

BC ≈ 22,4 m au dixième de mètre.

3. La clôture fait le tour du terrain, donc sa longueur est le périmètre de ABCD :

\[ \text{AB} + \text{BC} + \text{CD} + \text{DA} \approx 15 + 22{,}36 + 25 + 20 = 82{,}36 \]

Le périmètre vaut environ 82,4 m, ce qui est inférieur à 90 m : oui, 90 mètres de grillage suffisent (il en reste environ 7,6 m).

À retenir : l’aire d’un trapèze se calcule avec \(\dfrac{(\text{grande base} + \text{petite base}) \times \text{hauteur}}{2}\). Pour un côté oblique, on trace une hauteur afin de faire apparaître un triangle rectangle et on applique Pythagore.

Corrigé de l’exercice 3 : symétries et parallélisme

1. Trace [AC] de 6 cm. Au compas, trace un arc de centre A et de rayon 4 cm, puis un arc de centre C et de rayon 3 cm : leur intersection est B.

2. a. De plus, place I au milieu de [AC] (à 3 cm de A), trace la demi-droite [BI) et reporte au compas la longueur BI au-delà de I : on obtient D, avec I milieu de [BD].

b. Par construction, I est le milieu de [AC] et le milieu de [BD]. Ensuite, un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme : ABCD est un parallélogramme.

Ce n’est pas un losange, car ses côtés consécutifs AB = 4 et BC = 3 sont différents. Par ailleurs, ce n’est pas un rectangle non plus : \(\text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 16 + 9 = 25\) alors que \(\text{AC}^2 = 36\), donc l’angle \(\widehat{\text{ABC}}\) n’est pas droit (contraposée du théorème de Pythagore).

3. Soit H le point d’intersection de [BF] et de (AC). Comme F est le symétrique de B par rapport à (AC), la droite (AC) est la médiatrice de [BF] : H est donc le milieu de [BF].

Dans le triangle BDF :

I est le milieu du côté [BD] (question 2) ;
H est le milieu du côté [BF].

D’après le théorème des milieux, la droite (IH) est parallèle au troisième côté (DF). Or I et H sont deux points de la droite (AC), et ils sont distincts (si H était en I, la droite (BI) serait la médiatrice de [AC], et on aurait BA = BC, ce qui est faux). Donc (IH) est la droite (AC), et les droites (DF) et (AC) sont parallèles.

Corrigé de l’exercice 3 : symétries et parallélisme (suite)

À retenir : la droite qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté. Pour l’utiliser, repère un triangle dont deux côtés ont un milieu connu : ici, la symétrie centrale et la symétrie axiale fournissent chacune un milieu.

Problème (corrigé septembre 2004)

Corrigé de la première partie : courir autour du stade

1. Un tour de stade correspond au périmètre du rectangle :

\[ 2 \times (90 + 60) = 2 \times 150 = 300 \]

Un tour mesure 300 m.

2. Pour un tour, l’élève met \(24 \div 15 = 1{,}6\) minute. Or \(0{,}6\) min \(= 0{,}6 \times 60\) s \(= 36\) s. Puis il doit mettre 1 min 36 s par tour.

3. En 6 tours, l’élève parcourt \(6 \times 300 = 1\,800\) m en 9 minutes. Sa vitesse est :

\[ v = \dfrac{1\,800\ \text{m}}{9\ \text{min}} = 200\ \text{m/min} \]

En une heure (60 minutes), il parcourrait \(200 \times 60 = 12\,000\) m, soit 12 km. Sa vitesse est 200 m/min, soit 12 km/h.

À retenir : une vitesse est une distance divisée par une durée. Pour passer des m/min aux km/h, on multiplie par 60 (minutes dans une heure) puis on divise par 1 000 (mètres dans un kilomètre). Attention : 1,6 min ne fait pas 1 min 60 s mais 1 min 36 s.

Corrigé de la deuxième partie : pulsations des élèves

1. Tout d’abord, on additionne les 32 valeurs du tableau. Ensuite, la première ligne donne 945 et la seconde 981, soit un total de 1 926. La moyenne est :

\[ \dfrac{1\,926}{32} = 60{,}187\,5 \]

Attention : avec les valeurs imprimées, on obtient 60,1875 (environ 60,2) et non 60,25. L’énoncé contient une erreur : pour obtenir 60,25, il faudrait une somme de \(60{,}25 \times 32 = 1\,928\), soit 2 pulsations de plus. Une valeur a sans doute été mal recopiée dans le tableau (par exemple un 58 à la place d’un 60). La méthode reste la même : somme des valeurs divisée par l’effectif total.

2. Les bornes du tableau se chevauchent (56, 60 et 64 appartiennent chacune à deux classes). On adopte la convention habituelle : chaque classe contient sa borne de gauche mais pas celle de droite, par exemple \(56 \leqslant n \lt 60\). Seules les deux valeurs 60 sont concernées : elles vont dans la classe de 60 à 64 (aucune valeur n’est égale à 56 ou 64). Puis on compte :

Nombre \(n\) de pulsations par minute	\(52 \leqslant n \lt 56\)	\(56 \leqslant n \lt 60\)	\(60 \leqslant n \lt 64\)	\(64 \leqslant n \leqslant 68\)
Effectif	5	9	14	4

Détail : de 52 à 55, on trouve 55, 52, 54, 54, 55 ; de 56 à 59, les valeurs 57, 57, 58 et six fois 59 ; de 64 à 68, les valeurs 67, 65, 65, 66 ; les 14 autres valeurs sont entre 60 et 63. Contrôle : \(5 + 9 + 14 + 4 = 32\).

Corrigé de la deuxième partie : pulsations des élèves (suite)

3. Les classes ont toutes la même amplitude (4 pulsations, soit 4 cm) : la hauteur de chaque rectangle est égale à l’effectif, à raison de 1 cm par élève.

4. Les élèves qui ont au moins 60 pulsations sont ceux des deux dernières classes : \(14 + 4 = 18\). 18 élèves ont au moins 60 pulsations par minute.

5. De même, les élèves qui ont moins de 60 pulsations sont \(5 + 9 = 14\) (ou \(32 – 18 = 14\)). Leur proportion est :

\[ \dfrac{14}{32} = 0{,}437\,5 = 43{,}75\ \% \]

43,75 % des élèves ont moins de 60 pulsations par minute.

À retenir : dans un tableau par classes, chaque valeur doit appartenir à une seule classe : on inclut la borne de gauche et on exclut celle de droite. Un pourcentage s’obtient en divisant l’effectif concerné par l’effectif total, puis en multipliant par 100.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2004 : Académie de Bordeaux, septembre.

Méthode pour exploiter le corrigé corrigé septembre 2004

Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.

Dans les questions sur les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Pour les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. En ce qui concerne le calcul littéral, développe proprement terme à terme, ensuite réduis, et vérifie avec une valeur simple de x. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé septembre 2004 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé septembre 2004

Faut-il lire le corrigé corrigé septembre 2004 en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2004. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les racines carrées, le calcul littéral et les systèmes d’équations. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé septembre 2004

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

Les autres corrigés du brevet 2004

Tous les sujets classés par année : brevet de maths.

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