Corrigé du brevet de maths 2004 : France, groupement Est, septembre
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2004 : France, groupement Est, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé Est septembre
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Est septembre est découpé en 8 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Fractions et priorités » (exercice 1). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Racines carrées à comparer » (exercice 2). Puis tu trouves la solution rédigée de « Développer, factoriser, résoudre » (exercice 3). Par ailleurs, le corrigé explique « Système et score au rugby » (exercice 4). Puis en outre, la correction reprend « Vecteurs et losange » (exercice 1 de géométrie).
Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Pythagore, sinus et Thalès » (exercice 2 de géométrie). Puis tu trouves la solution rédigée de « Pyramide réduite » (exercice 3 de géométrie). Enfin, le corrigé explique « Partage du terrain de M. Jean » (problème).
Ainsi, le corrigé corrigé Est septembre te fait revoir les fractions, les racines carrées, les systèmes d’équations, les vecteurs et la trigonométrie, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Activités numériques (corrigé Est septembre)
Corrigé de l’exercice 1 : priorités et division par une fraction
Calcul de A. La multiplication est prioritaire : on calcule d’abord \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{7}{4} = \dfrac{14}{12} = \dfrac{7}{6}\). Puis on met au même dénominateur 6 :
\[A = \dfrac{5}{3} – \dfrac{7}{6} = \dfrac{10}{6} – \dfrac{7}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\]
\(A = \dfrac{1}{2}\).
Calcul de B. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : l’inverse de \(\dfrac{6}{7}\) est \(\dfrac{7}{6}\).
\[B = (-3) \times \dfrac{7}{6} = -\dfrac{21}{6} = -\dfrac{3 \times 7}{3 \times 2} = -\dfrac{7}{2}\]
\(B = -\dfrac{7}{2}\), fraction irréductible puisque 7 et 2 n’ont pas de diviseur commun autre que 1.
Corrigé de l’exercice 2 : racines carrées et comparaison
1. Pour C, on distribue \(\sqrt{2}\) et on utilise \(\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\) et \(\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}\) :
\[C = \sqrt{2} \times \sqrt{2} + 5\sqrt{2} \times \sqrt{3} = 2 + 5\sqrt{6}\]
Pour D, on fait apparaître un carré parfait sous chaque racine : \(24 = 4 \times 6\), \(54 = 9 \times 6\) et \(\sqrt{9} = 3\).
\[D = 2\sqrt{6} + 3 + 3\sqrt{6} = 3 + 5\sqrt{6}\]
Donc \(C = 2 + 5\sqrt{6}\) et \(D = 3 + 5\sqrt{6}\).
2. Les deux nombres ont la même partie \(5\sqrt{6}\) ; on les compare par leur différence :
\[D – C = (3 + 5\sqrt{6}) – (2 + 5\sqrt{6}) = 1\]
La différence est positive, donc \(C \lt D\) (D dépasse C de 1).
Corrigé de l’exercice 3 (Est septembre) : développer, factoriser, résoudre
1. \((x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1\) (identité remarquable) et \((x + 1)(2x – 3) = 2x^2 – 3x + 2x – 3 = 2x^2 – x – 3\) (double distributivité).
\[E = x^2 + 2x + 1 + 2x^2 – x – 3\]
Donc \(E = 3x^2 + x – 2\).
2. Le facteur \((x + 1)\) est commun aux deux termes :
\[E = (x + 1)\big[(x + 1) + (2x – 3)\big] = (x + 1)(3x – 2)\]
\(E = (x + 1)(3x – 2)\). Contrôle : \((x + 1)(3x – 2) = 3x^2 – 2x + 3x – 2 = 3x^2 + x – 2\).
3. Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul : \(x + 1 = 0\) donne \(x = -1\) ; \(3x – 2 = 0\) donne \(x = \dfrac{2}{3}\).
L’équation a deux solutions : \(-1\) et \(\dfrac{2}{3}\).
Corrigé de l’exercice 4 : système et score au rugby
1. Par substitution : la première équation donne \(y = 7 – x\). Ensuite, on remplace dans la seconde :
\[7x + 5(7 – x) = 39 \quad \text{donc} \quad 7x + 35 – 5x = 39 \quad \text{donc} \quad 2x = 4\]
D’où \(x = 2\), puis \(y = 7 – 2 = 5\). Vérification : \(2 + 5 = 7\) et \(7 \times 2 + 5 \times 5 = 14 + 25 = 39\). Puis la solution du système est le couple \((x ; y) = (2 ; 5)\).
2. Ensuite, on note \(x\) le nombre d’essais transformés et \(y\) le nombre d’essais non transformés.
- La France a marqué 7 essais : \(x + y = 7\).
- Les 2 pénalités rapportent \(2 \times 3 = 6\) points, donc les essais rapportent \(45 – 6 = 39\) points : \(7x + 5y = 39\).
On retrouve exactement le système de la question 1, donc \(x = 2\) et \(y = 5\). De plus, la France a marqué 2 essais transformés et 5 essais non transformés. Contrôle : \(2 \times 7 + 5 \times 5 + 2 \times 3 = 14 + 25 + 6 = 45\).
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : repère, vecteurs et losange
1. Les points sont placés dans le repère ci-dessus (unité 1 cm).
2. Les coordonnées de \(\overrightarrow{\text{AB}}\) sont \((x_B – x_A ; y_B – y_A)\) :
\[\overrightarrow{\text{AB}}\,(3 – (-2) ; 6 – 1) \quad \text{soit} \quad \overrightarrow{\text{AB}}\,(5 ; 5)\]
\(\overrightarrow{\text{AB}}\) a pour coordonnées (5 ; 5).
3. Dans un repère orthonormal, \(\text{AB} = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\) :
\[\text{AB} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\]
Puis on a bien \(\text{AB} = 5\sqrt{2}\) cm.
4. Alors on calcule BC de la même façon : \(\overrightarrow{\text{BC}}\,(4 – 3 ; -1 – 6)\), soit \((1 ; -7)\).
\[\text{BC} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\]
BA = BC, donc le triangle ABC est isocèle de sommet B.
5. a. D’après la règle du parallélogramme, \(\overrightarrow{\text{BD}} = \overrightarrow{\text{BA}} + \overrightarrow{\text{BC}}\) signifie que D est le quatrième sommet du parallélogramme construit sur [BA] et [BC]. Par le calcul : \(\overrightarrow{\text{BA}}\,(-5 ; -5)\) et \(\overrightarrow{\text{BC}}\,(1 ; -7)\), donc \(\overrightarrow{\text{BD}}\,(-4 ; -12)\) et D(−1 ; −6). Ensuite, en pratique, on part de C et on applique le déplacement de \(\overrightarrow{\text{BA}}\) : 5 carreaux à gauche, 5 carreaux vers le bas.
b. Par construction, ABCD est un parallélogramme. Par ailleurs, ce parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, BA = BC. Or un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs égaux est un losange : ABCD est un losange.
Ce n’est pas un carré : l’angle \(\widehat{\text{ABC}}\) n’est pas droit, car \(\text{AC}^2 = 6^2 + (-2)^2 = 40\) alors que \(\text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 100\).
Corrigé de l’exercice 2 (Est septembre) : Pythagore, sinus et Thalès
1. On trace [AC] de 6 cm, puis la perpendiculaire à (AC) en A. Ensuite, on pique le compas en C avec un écartement de 12 cm : l’arc coupe la perpendiculaire en B.
2. Le triangle ABC est rectangle en A, d’hypoténuse [BC]. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{AB}^2 = \text{BC}^2 – \text{AC}^2 = 144 – 36 = 108\]
\(\text{AB} = \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}\). Puis on a bien \(\text{AB} = 6\sqrt{3}\) cm.
3. Dans le triangle ABC rectangle en A, le côté opposé à l’angle \(\widehat{\text{ABC}}\) est [AC] :
\[\sin \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{BC}} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\]
\(\sin \widehat{\text{ABC}} = 0{,}5\), et l’angle aigu dont le sinus vaut 0,5 mesure exactement 30° : \(\widehat{\text{ABC}} = 30°\).
4. a. \(4\sqrt{3} \approx 6{,}9\) cm : on place M sur [AB] à environ 6,9 cm de B, et N sur [BC] à 8 cm de B.
b. Les points B, M, A sont alignés dans cet ordre, ainsi que B, N, C. Puis on compare :
\[\dfrac{\text{B}M}{\text{BA}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \qquad \dfrac{\text{B}N}{\text{BC}} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}\]
Les rapports sont égaux ; d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \((MN)\) et (AC) sont parallèles.
Corrigé de l’exercice 3 : pyramide et réduction
1. La base est un carré de côté 6 cm, d’aire \(6^2 = 36\ \text{cm}^2\), et la hauteur est SA = 9 cm.
\[V = \dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3} = \dfrac{36 \times 9}{3} = 108\]
Le volume de \(\mathcal{P}\) est 108 cm³.
2. Les hauteurs des deux pyramides sont SE et SA. Ensuite, le coefficient de réduction est leur rapport :
\[k = \dfrac{\text{SE}}{\text{SA}} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\]
\(k = \dfrac{2}{3}\).
3. Dans une réduction de rapport \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\) :
\[V_1 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 \times 108 = \dfrac{8}{27} \times 108 = 8 \times 4 = 32\]
Le volume de \(\mathcal{P}_1\) est 32 cm³. Contrôle : la section EFGH est un carré de côté \(\dfrac{2}{3} \times 6 = 4\) cm, et \(\dfrac{4^2 \times 6}{3} = 32\).
Problème
Corrigé du problème : partager le terrain en deux lots de même aire
1. a. Le triangle ABC est rectangle en A : ses côtés de l’angle droit [AB] et [AC] servent de base et de hauteur.
\[\mathcal{A}_{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB} \times \text{AC}}{2} = \dfrac{50 \times 80}{2} = 2\,000\]
L’aire du terrain est 2 000 m².
b. Deux lots de même aire se partagent le terrain, donc chacun mesure \(2\,000 \div 2 =\) 1 000 m².
2. a. Le triangle AMC est rectangle en A, de côtés de l’angle droit AM = \(x\) et AC = 80 :
\[\mathcal{A}_{\text{AMC}} = \dfrac{x \times 80}{2} = 40x\]
L’aire de AMC vaut \(40x\) m².
b. Les deux triangles AMC et BMC recouvrent tout le terrain, sans se chevaucher. Donc \(\mathcal{A}_{\text{BMC}} = 2\,000 – 40x\).
c. Ensuite, on veut \(40x = 2\,000 – 40x\), soit \(80x = 2\,000\) et \(x = 25\). Chaque lot mesure alors \(40 \times 25 = 1\,000\) m².
d. AM = 25 m et AB = 50 m, donc AM = \(\dfrac{\text{AB}}{2}\) : M est le milieu de [AB]. C’est logique : la médiane (CM) coupe le triangle en deux triangles de même base et de même hauteur.
3. a. \(f\) est linéaire : sa droite passe par (0 ; 0) et (50 ; 2 000). \(g\) est affine : sa droite passe par (0 ; 2 000) et (50 ; 0). Avec les unités imposées, l’axe des abscisses mesure 10 cm (50 m) et l’axe des ordonnées 20 cm (2 000 m²).
b. Les deux droites se coupent au point de coordonnées (25 ; 1 000). Son abscisse est la valeur de \(x\) pour laquelle \(f(x) = g(x)\), c’est-à-dire pour laquelle les deux triangles ont la même aire : on retrouve \(x = 25\), avec 1 000 m² pour chaque lot.
Corrigé du problème : partager le terrain en deux lots de même aire (suite)
4. a. Dans le triangle ABC, M est sur [AB], N sur [AC] et \((MN)\) est parallèle à (BC). D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{\text{A}M}{\text{AB}} = \dfrac{\text{A}N}{\text{AC}} \quad \text{donc} \quad \dfrac{x}{50} = \dfrac{\text{A}N}{80}\]
\(\text{A}N = \dfrac{80x}{50}\), soit \(\text{A}N = 1{,}6x\).
b. Le triangle AMN est rectangle en A, donc :
\[\mathcal{A}_{\text{AMN}} = \dfrac{\text{A}M \times \text{A}N}{2} = \dfrac{x \times 1{,}6x}{2} = 0{,}8x^2\]
Attention, l’énoncé comporte une erreur : l’aire du triangle AMN n’est pas \(x^2\) mais \(0{,}8x^2\) m². Puis on le vérifie facilement : pour \(x = 50\), M est en B, N est en C, et l’aire doit être celle du terrain, 2 000 m² ; or \(0{,}8 \times 50^2 = 2\,000\), tandis que \(50^2 = 2\,500\). La courbe fournie pour la question 5 est d’ailleurs bien celle de \(0{,}8x^2\), puisqu’elle atteint 2 000 pour \(x = 50\).
5. Les deux lots ont la même aire quand le triangle AMN mesure 1 000 m². Sur le graphique, on part de 1 000 sur l’axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu’à la courbe, puis on descend sur l’axe des abscisses : on lit une valeur un peu au-dessus de 35.
Par le calcul : \(0{,}8x^2 = 1\,000\) donne \(x^2 = 1\,250\) et \(x = \sqrt{1\,250} \approx 35{,}36\) (\(x\) est positif). Au mètre près, \(x \approx 35\) m.
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Comment utiliser le corrigé corrigé Est septembre
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
Pour les fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. En ce qui concerne les racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Quant aux systèmes d’équations, choisis la substitution ou la combinaison selon les coefficients, puis vérifie le couple trouvé dans les deux équations. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de fraction, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé Est septembre, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé Est septembre
Faut-il lire le corrigé corrigé Est septembre en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2004. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les fractions, les racines carrées, les systèmes d’équations et les vecteurs. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Est septembre
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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