Sujet du brevet de maths 2004 : Centres étrangers (groupe de Bordeaux)

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.

Activités numériques 12 points

Exercice 1

1. On donne : \(\text{A} = 2- \dfrac{4}{5}\) et \(\text{B} = \dfrac{5}{3} – \dfrac{2}{3} : \dfrac{6}{5}\).

Écrire A et B sous forme de fraction irréductible en indiquant toutes les étapes du calcul.

2. On donne \(\text{C} = 2\sqrt{18} – 3\sqrt{2} + \sqrt{8}\).

Écrire C sous forme \(a\sqrt{b}\), où \(a\) et \(b\) sont deux entiers.

Exercice 2

On donne \(D = (3x – 2)^2 – 9\).

1. Développer et réduire \(D\).

2. Factoriser \(D\).

3. Résoudre l’équation : \((3x – 5)(3x + 1) = 0\).

Exercice 3

1. Résoudre le système suivant : \(\left\{\begin{array}{l} 2x+y=41 \\ 3x + 2y = 64 \end{array}\right.\)

2. Dans un grand magasin, tous les CD sont à un prix unique ainsi que tous les livres de poche.

Louis a acheté 2 CD et 1 livre pour 41 euros.

Loïc a acheté 3 CD et 2 livres pour 64 euros.

Quel est le prix d’un CD ? d’un livre ?

Exercice 4

On donne : \(\text{E} = \left(\sqrt{7} + 1\right)^2 + \left(\sqrt{7} – 1\right)\).

1. Après avoir développé les carrés, montrer que E est un nombre entier.

2. En déduire la nature d’un triangle dont les côtés mesurent respectivement, en centimètres, \(\sqrt{7} + 1\), \(\sqrt{7} – 1\) et 4 ; justifier votre réponse.

Activités géométriques 12 points

Exercice 1

On donne : \(\text{Volume du cône} = \dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}\).

Un bassin a la forme d’un cône qui a pour base un disque de 3 m de rayon et pour hauteur 6 m.

1. a. Montrer que son volume exact V, en m³, est égal à \(18\pi\), en donner l’arrondi au m³.

b. Ce volume représente-t-il plus ou moins de 10 000 litres ?

2. a. Combien de temps faudrait-il à une pompe débitant 15 litres par seconde pour remplir complètement ce bassin ?

Donner le résultat arrondi à la seconde.

b. Cette durée est-elle inférieure à 1 heure ?

3. On remplit ce bassin avec de l’eau sur une hauteur de 4 m.

On admet que l’eau occupe un cône qui est une réduction du bassin.

a. Quel est le coefficient de la réduction ?

b. En déduire le volume d’eau exact V’ contenu dans le bassin.

Exercice 2

Dans un repère orthonormé (O, I, J) on considère les points

\[\text{A}(-3\ ;\ 0) \quad ; \quad \text{B}(1\ ;\ 4) \quad ; \quad \text{C}(5\ ;\ 3) \quad ; \quad \text{D}(1\ ;\ -1).\]

1. Placer ces points, l’unité graphique étant le centimètre.

2. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{DC}}\).

3. Que peut-on en déduire pour la nature du quadrilatère ABCD ?

Pour la suite, ce quadrilatère ABCD est appelé figure ①.

4. Construire la figure ② symétrique de la figure ① par rapport au point B.

5. Construire la figure ③ symétrique de la figure ① par rapport à la droite (CD).

6. a. Construire la figure ④ image de la figure ① par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{AC}}\).

b. Quelle autre transformation permet de passer de la figure ① à la figure ④ ?

Problème 12 points

ABCD est un losange dont les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O.

On donne : AB = 5 cm et AC = 6 cm.

Sur cette figure, les dimensions ne sont pas respectées.

Partie I

1. Calculer BO, justifier ; en déduire que BD = 8 cm.

2. Calculer la mesure arrondie au degré de l’angle \(\widehat{\text{ABO}}\).

3. Calculer l’aire du losange ABCD.

Partie II

On place un point \(M\) sur le segment [AB].

La droite passant par \(M\) et parallèle à la droite (BD) coupe le côté [AD] en \(N\).

1. On suppose que \(\text{A}M = 3\). Calculer \(\text{A}N\) et \(MN\). Justifier.

2. On pose \(\text{A}M = x\). Montrer que \(MN = 1{,}6x\).

Partie III

Pour cette partie, on a encore \(\text{A}M = x\).

La droite passant par \(M\) et parallèle à la droite (AC) coupe le côté [BC] en \(P\).

1. Exprimer \(\text{B}M\) en fonction de \(x\), puis montrer que \(MP = 6 – 1{,}2x\).

2. Calculer la valeur de \(x\) pour laquelle le triangle \(MNP\) est isocèle en \(M\).

Partie IV

1. Montrer que la droite (AC) est perpendiculaire à la droite (MN) puis que \(\text{A}M = \text{A}N\).

En déduire que la droite (AC) est la médiatrice du segment \([MN]\).

De la même façon, on démontrerait que la droite (BD) est la médiatrice du segment \([MP]\).

2. En déduire le rôle du point O pour le triangle \(MNP\).

Télécharger ou imprimer cette fiche «sujet du brevet de maths 2004 : Centres étrangers (groupe de Bordeaux)» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

 Maths PDF c'est 16 201 040 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.