Sujet du brevet de maths 2004 : Centres étrangers (groupe de Nice)

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.

Activités numériques 12 points

Exercice 1

1. On donne : \(A = \dfrac{\dfrac{2}{3} + 3}{\dfrac{1}{3} + 5}\).
Écrire A sous forme de fraction irréductible.

2. On donne : \(B = 2\sqrt{50} – 3\sqrt{8} + 7\sqrt{18}\).
Écrire B sous la forme \(a\sqrt{2}\), avec \(a\) nombre entier.

3. On donne : \(C = \dfrac{2{,}6 \times 10^2 \times 1{,}7 \times 10^2}{0{,}2 \times 10^5 \times 10^3}\).
Donner l’écriture scientifique de C.

Exercice 2

On donne : \(E = (5x – 4)^2 + (5x – 4)(x + 3)\).

1. Développer et réduire \(E\).

2. Factoriser \(E\).

3. Calculer \(E\) pour \(x = -1\).

4. Résoudre l’équation : \((5x – 4)(6x – 1) = 0\).

Exercice 3

Au cours d’une course d’athlétisme (400 m), le temps mis par chaque coureur a été chronométré.
Ces mesures sont reportées dans le tableau ci-dessous :

Étude statistique de la course

1. Quelle est l’étendue de cette série ?

2. Donner la moyenne arrondie au centième de cette série.

3. Donner la médiane de cette série.

4. Quel pourcentage de coureurs ont mis moins de 52,50 secondes pour 400 mètres ?

Activités géométriques 12 points

Exercice 1

Les points A, B et C sont alignés ainsi que les points A, D et E.
Les droites (BD) et (CE) sont perpendiculaires à la droite (AE).
AB = 2,5
BD = 1,5
CE = 4,5.

1. Calculer AD. Justifier.

2. Déterminer la mesure arrondie au degré de l’angle \(\widehat{BAD}\).

3. Calculer AC et AE. Justifier.

Exercice 2

On considère la sphère de centre O et de rayon 6 cm.

1. Écrire le volume de cette sphère et en donner un arrondi au mm³.

2. On note O’ le point tel que : OO’ = 4 cm. (P) est le plan passant par le point O’ et perpendiculaire à la droite (OO’).
On note M le point appartenant au plan (P) et à la sphère.
Aucun calcul n’est nécessaire pour les deux constructions suivantes :

a. Tracer en vraie grandeur le triangle OO’M.

b. Tracer en vraie grandeur l’intersection de la sphère et du plan.

Problème 12 points

Dans un repère orthonormal (O, I, J) d’unité le centimètre, placer les points suivants :

\[A(6~;~5), \quad B(2~;~-3), \quad C(-4~;~0).\]

1. Montrer que \(AB = 4\sqrt{5}\).

2. On donne de plus \(AC = \sqrt{125}\), \(BC = \sqrt{45}\).
En déduire la nature du triangle ABC.
Justifier la réponse.

3. Calculer l’aire du triangle ABC en cm².

4. On considère le cercle circonscrit au triangle ABC.

a. Préciser la position de son centre appelé K et la longueur de son rayon.
Justifier.
Placer K.

b. Calculer les coordonnées de K.

5. a. Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AC}\).

b. En déduire les coordonnées du point D tel que ACBD soit un parallélogramme.

c. Placer le point D.

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