Corrigé du brevet de maths 2000 : Académie de Clermont-Ferrand

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2000 : Académie de Clermont-Ferrand. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Plan du corrigé corrigé Clermont 2000

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Clermont 2000 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 8 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Puissances et fractions » (exercice 1). Ensuite, la correction reprend « Calcul littéral » (exercice 2). Puis tu lis la démarche complète pour « Abonnements ALO et OLA » (exercice 3). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Triangle AOB et fonction affine » (exercice 1 de géométrie). En outre, le corrigé explique « Thalès et parallèles » (exercice 2 de géométrie).

Ensuite, la correction reprend « Longueurs du prisme » (1re partie). Puis tu lis la démarche complète pour « Aire totale exacte » (2e partie). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Pots de peinture » (3e partie).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Clermont 2000 sont les puissances de 10, les fractions, le calcul littéral, les équations et les vecteurs, rédigées comme sur une copie.

Partie numérique

Corrigé de l’exercice 1 (Clermont 2000) : puissances de 10 et fractions

Calcul de A. Ensuite, on sépare les nombres décimaux et les puissances de 10 :

\[A=\dfrac{1{,}6}{4}\times\dfrac{10^{-10}}{10^{-9}}=0{,}4\times 10^{-10-(-9)}=0{,}4\times 10^{-1}=0{,}04\]

Or \(0{,}04=\dfrac{4}{100}=\dfrac{1}{25}\). Donc \(A=\dfrac{1}{25}\).

Calcul de B. On calcule d’abord la parenthèse : \(\dfrac{11}{3}-7=\dfrac{11}{3}-\dfrac{21}{3}=-\dfrac{10}{3}\). Diviser par \(\dfrac{25}{6}\) revient à multiplier par son inverse \(\dfrac{6}{25}\) :

\[B=-\dfrac{10}{3}\times\dfrac{6}{25}=-\dfrac{10\times 6}{3\times 25}=-\dfrac{2\times 5\times 2\times 3}{3\times 5\times 5}=-\dfrac{4}{5}\]

Donc \(B=-\dfrac{4}{5}\).

Calcul de C. La multiplication est prioritaire : \(\dfrac{2}{5}\times\dfrac{15}{4}=\dfrac{30}{20}=\dfrac{3}{2}\).

\[C=\dfrac{3}{7}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{6}{14}-\dfrac{21}{14}=-\dfrac{15}{14}\]

Donc \(C=-\dfrac{15}{14}\), irréductible car \(15=3\times 5\) et \(14=2\times 7\).

Corrigé de l’exercice 2 : développer, évaluer, factoriser

1. D’abord, on développe chaque partie :

\[(3x+1)(6x-9)=18x^2-27x+6x-9=18x^2-21x-9\]

\[(2x-3)^2=4x^2-12x+9\]

\[D=18x^2-21x-9-4x^2+12x-9=14x^2-9x-18\]

Puis on obtient bien \(D=14x^2-9x-18\).

2. Pour \(x=\dfrac{3}{2}\) : \(x^2=\dfrac{9}{4}\), donc

\[D=14\times\dfrac{9}{4}-9\times\dfrac{3}{2}-18=\dfrac{63}{2}-\dfrac{27}{2}-18=18-18=0\]

Pour \(x=\dfrac{3}{2}\), \(D=0\).

De même, pour \(x=2\) : \(D=14\times 4-9\times 2-18=56-18-18=20\). Pour \(x=2\), \(D=20\).

Remarque : l’énoncé demande d’écrire ce résultat sous la forme \(a+b\sqrt{2}\), ce qui montre que la valeur prévue était sans doute \(x=\sqrt{2}\) (coquille du sujet). Dans ce cas, \(x^2=2\) et \(D=14\times 2-9\sqrt{2}-18\), soit \(D=10-9\sqrt{2}\) (\(a=10\), \(b=-9\)).

3. \(6x-9=3\times 2x-3\times 3\), donc \(6x-9=3(2x-3)\).

Alors on remplace dans \(D\) pour faire apparaître le facteur commun \((2x-3)\) :

\[D=3(3x+1)(2x-3)-(2x-3)^2=(2x-3)\left[3(3x+1)-(2x-3)\right]=(2x-3)(9x+3-2x+3)\]

Donc \(D=(2x-3)(7x+6)\).

4. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(2x-3=0\) donne \(x=\dfrac{3}{2}\) ; \(7x+6=0\) donne \(x=-\dfrac{6}{7}\).

L’équation \(D=0\) a deux solutions : \(\dfrac{3}{2}\) et \(-\dfrac{6}{7}\). On retrouve le résultat \(D=0\) de la question 2 pour \(x=\dfrac{3}{2}\).

Corrigé de l’exercice 3 (Clermont 2000) : comparer deux abonnements

1. Chaque facture est l’abonnement fixe plus le prix des minutes :

ALO : \(17{,}4+0{,}20x\) euros ; OLA : \(14{,}2+0{,}35x\) euros.

2. ALO est plus intéressant quand sa facture est la plus petite :

\[17{,}4+0{,}20x\lt 14{,}2+0{,}35x \iff 17{,}4-14{,}2\lt 0{,}35x-0{,}20x \iff 3{,}2\lt 0{,}15x \iff x\gt\dfrac{3{,}2}{0{,}15}=\dfrac{64}{3}\]

Or \(\dfrac{64}{3}\approx 21{,}33\) min, soit 21 min 20 s. On a intérêt à choisir ALO pour plus de 21 min 20 s de communication par mois, c’est-à-dire à partir de 22 minutes si l’on compte en minutes entières.

Contrôle : pour 22 min, ALO coûte 21,80 € et OLA 21,90 € ; pour 21 min, ALO coûte 21,60 € et OLA 21,55 €.

Partie géométrique

Corrigé de l’exercice 1 : triangle AOB, cercle et fonction affine

1. a. Les coordonnées d’un vecteur s’obtiennent par « arrivée moins départ » :

\[\overrightarrow{OA}\,(-7\ ;\ 1) \qquad \overrightarrow{OB}\,(1\ ;\ 7) \qquad \overrightarrow{AB}\,(1-(-7)\ ;\ 7-1)=(8\ ;\ 6)\]

Donc \(\overrightarrow{OA}\,(-7\ ;\ 1)\), \(\overrightarrow{OB}\,(1\ ;\ 7)\), \(\overrightarrow{AB}\,(8\ ;\ 6)\).

Le repère étant orthonormal, on calcule les carrés des longueurs :

\[OA^2=(-7)^2+1^2=50 \qquad OB^2=1^2+7^2=50 \qquad AB^2=8^2+6^2=100\]

\(OA^2=OB^2\), donc OA = OB : le triangle est isocèle en O. De plus \(OA^2+OB^2=50+50=100=AB^2\) : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, il est rectangle en O. AOB est un triangle rectangle isocèle en O.

b. Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse, ici [AB] :

\[x_S=\dfrac{-7+1}{2}=-3 \qquad y_S=\dfrac{1+7}{2}=4\]

Le rayon est la moitié de l’hypoténuse : \(AB=\sqrt{100}=10\), donc le rayon vaut 5. De même, le cercle a pour centre S(−3 ; 4) et pour rayon 5.

2. a. \(f\) est affine : \(f(x)=ax+b\). Le coefficient \(a\) est le rapport de l’écart des images sur l’écart des nombres :

\[a=\dfrac{f(1)-f(-7)}{1-(-7)}=\dfrac{7-1}{8}=\dfrac{3}{4}\]

Avec \(f(1)=7\) : \(\dfrac{3}{4}+b=7\), donc \(b=\dfrac{25}{4}\). Vérification : \(f(-7)=-\dfrac{21}{4}+\dfrac{25}{4}=1\). Ainsi \(f(x)=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{25}{4}\).

b. La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. Elle passe par les points de coordonnées (−7 ; 1) et (1 ; 7), c’est-à-dire A et B : c’est la droite (AB).

Corrigé de l’exercice 2 : parallèles ou pas ?

1. Les points I, R, S sont alignés et les points I, P, T sont alignés, dans le même ordre (R entre I et S, P entre I et T). Ensuite, on compare :

\[\dfrac{IR}{IS}=\dfrac{8}{10}=0{,}8 \qquad \dfrac{IP}{IT}=\dfrac{4{,}8}{6}=0{,}8\]

Les rapports sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (ST) et (RP) sont parallèles.

2. Puisque (RP) et (ST) sont parallèles, le théorème de Thalès donne aussi \(\dfrac{RP}{ST}=\dfrac{IR}{IS}=0{,}8\), soit \(\dfrac{10}{ST}=0{,}8\).

\[ST=\dfrac{10}{0{,}8}=12{,}5\]

Donc ST = 12,5 cm.

3. M est sur la droite (IT) et N sur la droite (IS), de l’autre côté de I. Puis on compare les rapports correspondants :

\[\dfrac{IM}{IT}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}67 \qquad \dfrac{IN}{IS}=\dfrac{6}{10}=0{,}6\]

Ces rapports sont différents. Si les droites (MN) et (ST) étaient parallèles, le théorème de Thalès imposerait leur égalité. Donc les droites (MN) et (ST) ne sont pas parallèles.

Problème

Corrigé de la 1re partie (Clermont 2000) : longueurs et aire latérale

1. Le triangle AGB est rectangle en G (angle du rectangle FGCD). Pour l’angle \(\widehat{GBA}=30^\circ\), le côté adjacent est [GB] et l’hypoténuse [AB] :

\[\cos 30^\circ=\dfrac{GB}{AB} \quad\text{donc}\quad \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{AB} \quad\text{donc}\quad AB=\dfrac{2\times 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6\]

Ensuite, on obtient bien AB = 6 m.

2. Le côté opposé à l’angle de 30° est [AG] :

\[\sin 30^\circ=\dfrac{AG}{AB} \quad\text{donc}\quad \dfrac{1}{2}=\dfrac{AG}{6} \quad\text{donc}\quad AG=3\]

Puis on obtient bien AG = 3 m.

3. E est le milieu de [FG], donc EF = 6. Le triangle DFE est rectangle en F, avec DF = GC = 8. D’après le théorème de Pythagore :

\[ED^2=EF^2+FD^2=36+64=100\]

Donc ED = 10 m.

4. Alors on calcule les côtés qui manquent : \(EA=EG-AG=6-3=3\), \(BC=GC-GB=8-3\sqrt{3}\) et \(CD=FG=12\).

\[AB+BC+CD+DE+EA=6+(8-3\sqrt{3})+12+10+3=39-3\sqrt{3}\]

Le périmètre du pentagone est bien \(39-3\sqrt{3}\) m.

5. L’aire latérale d’un prisme droit est égale au périmètre de la base multiplié par la hauteur :

\[\mathcal{A}_{\text{lat}}=(39-3\sqrt{3})\times 5=195-15\sqrt{3}\approx 169{,}0\]

L’aire latérale vaut \(195-15\sqrt{3}\) m², soit environ 169 m².

Corrigé de la 2e partie : aire totale exacte

1. \(FG\times GC=12\times 8=96\). L’aire du rectangle FGCD est 96 m².

2. Les deux triangles sont rectangles (en F et en G), on multiplie les côtés de l’angle droit et on divise par 2 :

\[\text{aire}(DFE)=\dfrac{FD\times FE}{2}=\dfrac{8\times 6}{2}=24 \qquad \text{aire}(AGB)=\dfrac{AG\times GB}{2}=\dfrac{3\times 3\sqrt{3}}{2}=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\]

Donc aire(DFE) = 24 m² et aire(AGB) = \(\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\) m².

3. Le pentagone s’obtient en retirant les deux triangles du rectangle :

\[\text{aire}(ABCDE)=96-24-\dfrac{9\sqrt{3}}{2}=72-\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\]

L’aire du pentagone vaut \(72-\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\) m² (environ 64,2 m²).

4. L’aire totale est l’aire latérale plus les deux bases :

\[\mathcal{A}_{\text{tot}}=195-15\sqrt{3}+2\left(72-\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\right)=195-15\sqrt{3}+144-9\sqrt{3}=339-24\sqrt{3}\]

La calculatrice donne 297,43…, donc l’aire totale vaut \(339-24\sqrt{3}\approx 297{,}4\) m².

Corrigé de la 3e partie : les pots de peinture

1. Un pot couvre 25 m² en première couche : \(\dfrac{298}{25}=11{,}92\). Il faut environ 12 pots pour la première couche.

2. La seconde couche demande 35 % de peinture en moins, soit \(100\,\%-35\,\%=65\,\%\) de la quantité de la première : \(11{,}92\times 0{,}65=7{,}748\). Il faut environ 8 pots pour la seconde couche.

3. Telle qu’elle est écrite, la question reprend la question 1 : on ne peut pas acheter 11,92 pots, il est donc indispensable d’en prendre 12 pour la première couche. L’intention du sujet est très probablement le nombre de pots indispensables pour les deux couches : \(11{,}92+7{,}748=19{,}668\), soit 20 pots au total (on retrouve aussi \(12+8=20\)).

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2000 : Académie de Clermont-Ferrand.

Bien réviser avec le corrigé corrigé Clermont 2000

Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.

En ce qui concerne les puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. Quant aux fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Dans les questions sur le calcul littéral, développe proprement terme à terme, ensuite réduis, et vérifie avec une valeur simple de x. Au besoin, la définition de la notion de notation scientifique sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé Clermont 2000 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Clermont 2000

Faut-il lire le corrigé corrigé Clermont 2000 en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2000. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur les puissances de 10, les fractions, le calcul littéral et les équations. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Clermont 2000

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

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