Corrigé du brevet de maths 2000 : Centres étrangers (groupe II)

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2000 : Centres étrangers (groupe II). Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Plan du corrigé corrigé groupe II

Comme l’énoncé, le corrigé corrigé groupe II est découpé en 7 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Fractions et racines » (exercice 1). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Différence de deux carrés » (exercice 2). Puis tu trouves la solution rédigée de « Trois longueurs à calculer » (exercice 1 de géométrie). Par ailleurs, le corrigé explique « Pyramide SABC » (exercice 2 de géométrie). En outre, la correction reprend « Triangle isocèle MSH » (partie A).

Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Aires en fonction de x » (partie B). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Milieu de [MF] » (partie C).

Ainsi, le corrigé corrigé groupe II te fait revoir les fractions, les racines carrées, le théorème de Pythagore, la trigonométrie et le théorème de Thalès, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.

Partie numérique

Corrigé de l’exercice 1 (groupe II) : fractions et racines carrées

1. La division est prioritaire sur l’addition. Diviser par \(\dfrac{2}{5}\), c’est multiplier par son inverse \(\dfrac{5}{2}\).

\[\dfrac{1}{6}\div\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{5}{2}=\dfrac{5}{12}\]

\[A=\dfrac{8}{12}+\dfrac{5}{12}=\dfrac{13}{12}\]

13 est un nombre premier qui ne divise pas 12, donc la fraction est irréductible : \(A=\dfrac{13}{12}\).

2. Ensuite, on reconnaît l’identité remarquable \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) avec \(a=5\) et \(b=\sqrt{3}\).

\[B=5^2-\left(\sqrt{3}\right)^2=25-3\]

Donc \(B=22\).

3. Puis on fait apparaître \(\sqrt{5}\) : \(45=9\times 5\) et \(500=100\times 5\).

\[3\sqrt{45}=3\times\sqrt{9}\times\sqrt{5}=3\times 3\sqrt{5}=9\sqrt{5}\qquad\sqrt{500}=\sqrt{100}\times\sqrt{5}=10\sqrt{5}\]

\[C=4\sqrt{5}-9\sqrt{5}+10\sqrt{5}=(4-9+10)\sqrt{5}\]

Donc \(C=5\sqrt{5}\), avec \(a=5\) et \(b=5\).

Corrigé de l’exercice 2 : différence de deux carrés

1. D’abord, on développe le carré avec \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) :

\[D=9x^2+6x+1-36\]

Donc \(D=9x^2+6x-35\).

2. Comme \(36=6^2\), \(D\) est de la forme \(a^2-b^2\) avec \(a=3x+1\) et \(b=6\). D’après \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) :

\[D=(3x+1-6)(3x+1+6)\]

Donc \(D=(3x-5)(3x+7)\). Contrôle : \((3x-5)(3x+7)=9x^2+21x-15x-35=9x^2+6x-35\).

3. La forme de départ est la plus rapide ici, car \(3\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)+1=-1+1=0\).

\[D=0^2-36=-36\]

Donc pour \(x=-\dfrac{1}{3}\), \(D=-36\). Avec la forme développée : \(9\times\dfrac{1}{9}+6\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)-35=1-2-35=-36\), même résultat.

4. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.

\[3x+7=0\iff x=-\dfrac{7}{3}\qquad\qquad 3x-5=0\iff x=\dfrac{5}{3}\]

L’équation a deux solutions : \(-\dfrac{7}{3}\) et \(\dfrac{5}{3}\).

Partie géométrique

Corrigé de l’exercice 1 (groupe II) : choisir le bon outil

1. Calcul de BC. O est le milieu de [GC] (codage), donc \(GC=2\times OG=2\times 5=10\) cm. Le triangle GBC est rectangle en B, d’hypoténuse [GC]. D’après le théorème de Pythagore :

\[GC^2=BG^2+BC^2\quad\text{donc}\quad BC^2=10^2-8^2=100-64=36\]

Donc BC = 6 cm.

2. Calcul de EG. Le triangle EHG est rectangle en H. Pour l’angle \(\widehat{GEH}=30^\circ\), le côté [HG] est opposé et [EG] est l’hypoténuse. Alors on utilise le sinus :

\[\sin\widehat{GEH}=\dfrac{HG}{EG}\quad\text{donc}\quad EG=\dfrac{HG}{\sin 30^\circ}=\dfrac{4}{0{,}5}=8\]

Donc EG = 8 cm (valeur exacte, car \(\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}\) exactement). L’angle \(\widehat{EFH}=40^\circ\) ne sert pas.

3. Calcul de ST. Les droites (QT) et (RS) se coupent en P ; les points Q, P, T sont alignés, ainsi que R, P, S, et les droites (QR) et (ST) sont parallèles (toutes deux parallèles à (UV)). D’après le théorème de Thalès (configuration « papillon ») :

\[\dfrac{PS}{PR}=\dfrac{PT}{PQ}=\dfrac{ST}{QR}\quad\text{donc}\quad\dfrac{4{,}5}{4}=\dfrac{ST}{2{,}4}\]

\[ST=\dfrac{4{,}5\times 2{,}4}{4}=\dfrac{10{,}8}{4}=2{,}7\]

Donc ST = 2,7 cm. La longueur PV est inutile ici.

Corrigé de l’exercice 2 : pyramide et vraie grandeur

1. La base ABC est rectangle et isocèle en A, donc AB = AC = 3 cm et son aire vaut \(\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{3\times 3}{2}=4{,}5\ \text{cm}^2\). La hauteur est SA = 4 cm.

\[V=\dfrac{4{,}5\times 4}{3}=\dfrac{18}{3}=6\]

Le volume de la pyramide SABC est 6 cm³.

2. a. La hauteur [SA] est perpendiculaire à la base, donc à (AB) et à (AC) : les triangles ASC et ASB sont rectangles en A.

• ASC : on trace un angle droit en A, on porte AC = 3 cm sur un côté et AS = 4 cm sur l’autre, puis on joint S et C.
• ASB : même construction avec AB = 3 cm et AS = 4 cm ; il est superposable à ASC.
• ABC : un angle droit en A, avec AB = AC = 3 cm.

b. Les trois côtés du triangle BSC ont déjà été tracés en vraie grandeur : [SC] est l’hypoténuse de ASC, [SB] celle de ASB et [BC] celle de ABC. On trace donc un segment [BC] de même longueur que l’hypoténuse de ABC (on la reporte au compas), puis on trace deux arcs de cercle, l’un de centre B avec pour rayon l’hypoténuse de ASB, l’autre de centre C avec pour rayon l’hypoténuse de ASC. Leur point d’intersection est S. Le triangle BSC est obtenu au compas, sans aucun calcul ; il est isocèle en S puisque SB = SC.

Pour information (ce n’était pas demandé), on aurait SB = SC = 5 cm et \(BC=3\sqrt{2}\approx 4{,}24\) cm.

Problème

Corrigé de la partie A (groupe II) : le triangle isocèle MSH

1. Tout d’abord, on trace un carré MATH de 12 cm de côté et ses diagonales, qui se coupent en E. On place O au milieu de [MH] (à 6 cm de M), on trace [EO], perpendiculaire à [MH], puis on place S sur [EO] à 4 cm de O. On trace enfin [SM] et [SH].

2. La droite (EO) passe par le milieu O de [MH] et lui est perpendiculaire : c’est la médiatrice de [MH]. S appartient à cette médiatrice, donc il est à égale distance de M et de H : SM = SH. Le triangle MSH est isocèle en S.

3. a. Le triangle MOS est rectangle en O, avec MO = 6 cm et SO = 4 cm. D’après le théorème de Pythagore :

\[SM^2=MO^2+SO^2=6^2+4^2=36+16=52\]

Donc \(SM=\sqrt{52}\) cm, que l’on peut aussi écrire \(2\sqrt{13}\) cm (environ 7,21 cm).

b. Le périmètre est la somme des trois côtés, avec MH = 12 cm et SH = SM = \(\sqrt{52}\) cm :

\[\mathcal{P}=MH+SM+SH=12+\sqrt{52}+\sqrt{52}=12+2\sqrt{52}\]

Ensuite, on trouve bien \(12+2\sqrt{52}\) cm (environ 26,42 cm).

Corrigé de la partie B : aires en fonction de x

1. Le triangle HNO est rectangle en O, car N est sur (EO), perpendiculaire à (MH). Ses deux côtés de l’angle droit mesurent HO = 6 cm et NO = \(x\) cm.

\[A_1=\dfrac{HO\times NO}{2}=\dfrac{6x}{2}=3x\]

Puis on a bien \(A_1=3x\).

2. N est sur le segment [SO], donc SN = SO − NO : \(SN=4-x\).

3. Dans le triangle MSN, on prend [SN] comme base. La droite (MO) est perpendiculaire à (SN), qui est portée par (EO) : [MO] est donc la hauteur issue de M, et MO = 6 cm.

\[A_2=\dfrac{SN\times MO}{2}=\dfrac{(4-x)\times 6}{2}=3(4-x)\]

Ensuite, on a bien \(A_2=3(4-x)\).

4. Puis on résout l’équation \(A_1=3A_2\) :

\[3x=3\times 3(4-x)\iff 3x=36-9x\iff 12x=36\iff x=3\]

Cette valeur convient puisque N doit être sur [SO], soit \(0\leqslant x\leqslant 4\). On a \(A_1=3A_2\) pour \(x=3\) cm. Vérification : \(A_1=9\) cm² et \(A_2=3\times 1=3\) cm², et \(9=3\times 3\).

Corrigé de la partie C : la droite des milieux

Pour commencer, on se place dans le triangle MHF (si F est en H, le triangle est aplati et I est simplement O, milieu de [MH]).

• O est le milieu du côté [MH].
• La droite (EO) est perpendiculaire à (MH), et la droite (TH) est aussi perpendiculaire à (MH) puisque MATH est un carré. Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : (OI) est parallèle à (HF).

Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d’un côté et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu. La droite (OI) passe par le milieu O de [MH] et est parallèle à (HF) : elle coupe [MF] en son milieu. Ce point d’intersection est I, donc I est le milieu du segment [MF], quelle que soit la position de F sur [TH].

Tu peux aussi le justifier avec Thalès dans le triangle MHF : \(\dfrac{MI}{MF}=\dfrac{MO}{MH}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}\).

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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé groupe II

Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.

Pour les fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. En ce qui concerne les racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Quant au théorème de Pythagore, commence par nommer l’angle droit, car c’est lui qui désigne l’hypoténuse dans l’égalité. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de fraction, puis reviens à la question.

Après avoir lu le corrigé corrigé groupe II, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.

Tes questions sur le corrigé corrigé groupe II

Faut-il lire le corrigé corrigé groupe II en entier ?

Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.

Où trouver l’énoncé de ce sujet ?

L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2000. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.

Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?

On y retrouve principalement les fractions, les racines carrées, le théorème de Pythagore et la trigonométrie. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.

Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?

C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.

Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé groupe II

Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.

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