Corrigé du brevet de maths 2000 : Centres étrangers

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2000 : Centres étrangers. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Ce que détaille le corrigé corrigé étrangers 2000

Comme l’énoncé, le corrigé corrigé étrangers 2000 est découpé en 9 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Racines carrées et fractions » (exercice 1). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Fractions irréductibles » (exercice 2). Puis tu trouves la solution rédigée de « Développer et factoriser » (exercice 3). Par ailleurs, le corrigé explique « Randonnée à vélo » (exercice 4). Puis en outre, la correction reprend « Triangle et rectangle ADCH » (exercice 1 de géométrie).

Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Translation et vecteurs » (exercice 2 de géométrie). Puis tu trouves la solution rédigée de « Pyramide et patron » (exercice 3 de géométrie). Par ailleurs, le corrigé explique « Appentis de 1,2 m » (partie A). Enfin, la correction reprend « Choix de la profondeur » (partie B).

Ainsi, le corrigé corrigé étrangers 2000 te fait revoir les racines carrées, les fractions, le calcul littéral, le théorème de Pythagore et les transformations du plan, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.

Corrigé de la partie numérique (étrangers 2000)

Corrigé de l’exercice 1 : racines carrées et fractions

1. D’abord, on fait apparaître \(\sqrt{5}\) dans chaque terme en cherchant un carré parfait : \(45 = 9 \times 5\) et \(500 = 100 \times 5\).

\[ \sqrt{45} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5} \qquad \sqrt{500} = \sqrt{100} \times \sqrt{5} = 10\sqrt{5} \]

\[ A = 3\sqrt{5} – 2\sqrt{5} + 10\sqrt{5} = (3 – 2 + 10)\sqrt{5} = 11\sqrt{5} \]

Donc \(A = 11\sqrt{5}\).

2. La multiplication est prioritaire ; on simplifie avant de multiplier (\(15 = 3 \times 5\), \(25 = 5 \times 5\), \(12 = 3 \times 4\)) :

\[ \dfrac{3}{15} \times \dfrac{25}{12} = \dfrac{3 \times 5 \times 5}{3 \times 5 \times 3 \times 4} = \dfrac{5}{12} \]

\[ B = \dfrac{7}{8} – \dfrac{5}{12} = \dfrac{21}{24} – \dfrac{10}{24} = \dfrac{11}{24} \]

Donc \(B = \dfrac{11}{24}\), irréductible car 11 est premier et ne divise pas 24.

Corrigé de l’exercice 2 : fractions irréductibles

1. Tout d’abord, on décompose : \(36 = 2^2 \times 3^2\). Ensuite, le nombre 47 est premier (il n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, et \(7 \times 7 = 49 \gt 47\)). 47 ne figure pas dans la décomposition de 36, donc 36 et 47 n’ont aucun diviseur commun autre que 1 : \(\dfrac{36}{47}\) est irréductible.

2. Ensuite, on remarque que \(216 = 6 \times 36\) et \(282 = 6 \times 47\). Puis en simplifiant par 6 :

\[ \dfrac{216}{282} = \dfrac{6 \times 36}{6 \times 47} = \dfrac{36}{47} \]

Donc \(\dfrac{216}{282} = \dfrac{36}{47}\), fraction irréductible d’après la question 1 (le PGCD de 216 et 282 est donc 6).

Corrigé de l’exercice 3 (étrangers 2000) : développer, factoriser, résoudre

1. Pour commencer, on développe le carré avec \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) et le produit par distributivité :

\[ (x-2)^2 = x^2 – 4x + 4 \qquad 4x(x-2) = 4x^2 – 8x \]

\[ E = x^2 – 4x + 4 – 4x^2 + 8x \]

Donc \(E = -3x^2 + 4x + 4\).

2. Le facteur commun est \((x-2)\) :

\[ E = (x-2)\big[(x-2) – 4x\big] = (x-2)(-3x – 2) \]

Donc \(E = (x-2)(-3x-2)\). Contrôle : \((x-2)(-3x-2) = -3x^2 – 2x + 6x + 4 = -3x^2 + 4x + 4\).

3. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

\(x – 2 = 0\) donne \(x = 2\) ; \(-3x – 2 = 0\) donne \(-3x = 2\), soit \(x = -\dfrac{2}{3}\).

L’équation a deux solutions : 2 et \(-\dfrac{2}{3}\).

Corrigé de l’exercice 4 : vitesses et fréquences

1. a. 45 minutes représentent \(\dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\) heure. Donc 1 h 45 min = 1 h + 0,75 h = 1,75 h.

b. La vitesse moyenne est la distance divisée par la durée :

\[ v = \dfrac{28}{1{,}75} = 16 \]

La vitesse moyenne de Louise est 16 km/h.

2. De même, la fréquence d’une classe est son effectif divisé par l’effectif total 32, multiplié par 100 pour l’avoir en pourcentage. Par exemple, pour la première classe : \(\dfrac{6}{32} \times 100 = 18{,}75\).

La somme des fréquences fait bien 100 %. (L’énoncé écrit « \(10 \leqslant V \leqslant 15\) » pour la deuxième classe ; il faut lire \(10 \leqslant V \lt 15\), sinon une vitesse de 15 km/h appartiendrait à deux classes.)

3. Chaque groupe compte \(32 \div 2 = 16\) personnes. De plus, on compte les cyclistes en partant des plus rapides :

• \(30 \leqslant V \lt 35\) : 2 personnes ;
• \(25 \leqslant V \lt 30\) : 8 personnes, soit 10 au total ;
• \(20 \leqslant V \lt 25\) : 2 personnes, soit 12 au total ;
• \(15 \leqslant V \lt 20\) : 4 personnes, soit 16 au total.

Les 16 plus rapides sont exactement ceux qui ont roulé à 15 km/h ou plus. Il fallait atteindre ou dépasser 15 km/h pour faire partie du groupe des plus rapides (Louise, avec 16 km/h, en fait partie).

Corrigé de la partie géométrique

Corrigé de l’exercice 1 (étrangers 2000) : triangle et rectangle

1. Construction à la règle graduée et au compas :

• trace un segment [BC] de longueur 5,8 + 4,5 = 10,3 cm et place H sur [BC] à 5,8 cm de B ;
• trace un arc de cercle de centre H et de rayon 6 cm ;
• trace un arc de cercle de centre C et de rayon 7,5 cm ;
• ces deux arcs se coupent en A (au-dessus de [BC]) ; trace [AB], [AC] et [AH].

Ce qui suit montre que [AH] est bien perpendiculaire à [BC] : la figure obtenue est la bonne, sans avoir besoin d’équerre.

https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2000-centres-etrangers/gen-rectangle-adch.webp

2. Dans le triangle ACH, le plus grand côté est [AC]. Puis on compare :

\[ \text{AC}^2 = 7{,}5^2 = 56{,}25 \qquad \text{AH}^2 + \text{HC}^2 = 6^2 + 4{,}5^2 = 36 + 20{,}25 = 56{,}25 \]

Comme \(\text{AC}^2 = \text{AH}^2 + \text{HC}^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ACH est rectangle en H.

3. D’après la question 2, (AH) est perpendiculaire à (BC) : [AH] est la hauteur relative à la base [BC], avec BC = 5,8 + 4,5 = 10,3 cm.

\[ \mathcal{A}_{\text{ABC}} = \dfrac{\text{BC} \times \text{AH}}{2} = \dfrac{10{,}3 \times 6}{2} = 30{,}9 \]

L’aire du triangle ABC est 30,9 cm².

4. M est le milieu de [AC] ; D est le symétrique de H par rapport à M, donc M est aussi le milieu de [HD]. Ensuite, on place M au milieu de [AC], puis D sur la demi-droite [HM) de sorte que MD = MH.

Corrigé de l’exercice 1 (étrangers 2000) : triangle et rectangle (suite)

Les diagonales [AC] et [HD] du quadrilatère ADCH ont le même milieu M : ADCH est donc un parallélogramme. De plus, son angle \(\widehat{\text{AHC}}\) est droit (question 2). Par ailleurs, un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle : ADCH est un rectangle.

Corrigé de l’exercice 2 : translation et vecteurs dans un repère

1. D’abord, on place A(−1 ; 3) et B(3 ; 2) dans le repère, en commençant par l’abscisse.

2. Pour aller de A à B, on se déplace de \(3 – (-1) = 4\) unités vers la droite et de \(2 – 3 = -1\), soit 1 unité vers le bas. Puis la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\) fait subir ce même déplacement à O(0 ; 0) : C(4 ; −1). Ensuite, on a \(\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{\text{AB}}\), donc ABCO est un parallélogramme.

3. Dans un repère orthonormé :

\[ \text{AB} = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{17} \]

Donc \(\text{AB} = \sqrt{17} \approx 4{,}12\) unités.

4. J a pour coordonnées (0 ; 1). Puis le vecteur \(\overrightarrow{\text{JA}}\) correspond au déplacement (−1 ; +2) et \(\overrightarrow{\text{JB}}\) au déplacement (+3 ; +1). Leur somme est le déplacement (+2 ; +3). De plus, en partant de J, on arrive en D(2 ; 4). Géométriquement, D est le quatrième sommet du parallélogramme JADB construit sur [JA] et [JB].

Corrigé de l’exercice 3 : pyramide et patron

1. Le triangle ABC est rectangle en B : ses côtés de l’angle droit [AB] et [BC] sont une base et la hauteur associée.

\[ \mathcal{A}_{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB} \times \text{BC}}{2} = \dfrac{4 \times 3}{2} = 6 \]

L’aire de la base est 6 cm². Ensuite, le volume d’une pyramide est le tiers du produit de l’aire de la base par la hauteur :

\[ V = \dfrac{6 \times 5}{3} = 10 \]

Le volume de la pyramide est 10 cm³.

2. Le patron est formé de la base ABC et des trois faces latérales rabattues autour d’elle. Par ailleurs, il faut connaître leurs longueurs :

• SAB est rectangle en A (l’arête [SA] est perpendiculaire à la base) avec SA = 5 cm et AB = 4 cm ;
• SAC est rectangle en A avec SA = 5 cm et AC = \(\sqrt{4^2 + 3^2} = 5\) cm (Pythagore dans ABC) ;
• SBC est rectangle en B, avec BC = 3 cm et SB = \(\sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41} \approx 6{,}4\) cm, et SC = \(\sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} \approx 7{,}07\) cm.

Tu dessines d’abord le triangle ABC rectangle en B (4 cm et 3 cm). Sur [AB], tu construis SAB rectangle en A avec SA = 5 cm ; sur [AC], SAC rectangle en A avec SA = 5 cm ; sur [BC], SBC rectangle en B avec BS = \(\sqrt{41}\) cm. Contrôle : les trois « S » sont à la bonne distance (SC ≈ 7,07 cm dans les deux faces qui contiennent [SC]).

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Corrigé du problème (étrangers 2000)

Corrigé de la partie A : l’appentis de 1,2 m de profondeur

1. Les droites (TH) et (OB) sont parallèles (toutes deux horizontales) et coupées par la sécante (VO). Les angles \(\widehat{\text{VTH}}\) et \(\widehat{\text{AOB}}\) sont du même côté de la sécante et placés de la même façon par rapport aux parallèles : ce sont des angles correspondants. Deux angles correspondants formés par des droites parallèles sont égaux, donc \(\widehat{\text{AOB}} = 40°\).

Le triangle STO est rectangle en S (le mur [ST] est vertical, le sol [SO] horizontal) et \(\widehat{\text{TOS}} = \widehat{\text{AOB}} = 40°\) (S et B sont sur la même demi-droite issue de O). La somme des angles d’un triangle vaut 180° :

\[ \widehat{\text{STO}} = 180° – 90° – 40° = 50° \]

Donc \(\widehat{\text{STO}} = 50°\).

2. À l’échelle 1/50, 1 cm sur le dessin représente 50 cm en réalité : on divise les longueurs réelles par 50. ST = 300 cm donne 6 cm ; SB = 120 cm donne 2,4 cm ; OS ≈ 357,5 cm (question 3. a) donne environ 7,15 cm.

Tu traces [SB] horizontal de 2,4 cm, [ST] vertical de 6 cm en S, puis la perpendiculaire à (SB) en B. Depuis T, tu traces la demi-droite qui fait un angle de 50° avec [TS] (ou bien tu places O sur (SB) à 7,15 cm de S et tu joins T à O) : elle coupe la perpendiculaire en B au point A et la droite (SB) en O.

Corrigé de la partie A : l’appentis de 1,2 m de profondeur (suite)

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3. a. Dans le triangle STO rectangle en S, [OS] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{\text{STO}}\) et [ST] le côté adjacent :

\[ \tan \widehat{\text{STO}} = \dfrac{\text{OS}}{\text{ST}} \quad \text{donc} \quad \text{OS} = 3 \times \tan 50° \approx 3{,}5753 \]

Donc OS ≈ 3,58 m. Comme B est entre S et O : \(\text{OB} = \text{OS} – \text{SB} \approx 3{,}5753 – 1{,}2 = 2{,}3753\), donc OB ≈ 2,38 m.

b. Dans le triangle ABO rectangle en B :

\[ \tan \widehat{\text{AOB}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{OB}} \quad \text{donc} \quad \text{AB} = \text{OB} \times \tan 40° \approx 2{,}3753 \times 0{,}8391 \approx 1{,}993 \]

Donc AB ≈ 1,99 m. (Avec la valeur arrondie OB = 2,38 m, on trouverait 2,00 m : c’est pourquoi il vaut mieux garder les valeurs non arrondies dans la calculatrice.)

c. Le volume d’un prisme droit est l’aire de sa base multipliée par sa hauteur. La base est le trapèze rectangle ABST, de bases parallèles ST = 3 m et AB ≈ 1,993 m et de hauteur SB = 1,2 m ; la hauteur du prisme est BC = 2,5 m.

\[ \mathcal{A}_{\text{ABST}} = \dfrac{(\text{ST} + \text{AB}) \times \text{SB}}{2} \approx \dfrac{(3 + 1{,}993) \times 1{,}2}{2} \approx 2{,}996 \]

\[ V \approx 2{,}996 \times 2{,}5 \approx 7{,}49 \]

Le volume de l’appentis est d’environ 7,5 m³.

Corrigé de la partie B : choisir la profondeur

1. B est sur [SO] avec SB = \(x\) et OS = 3,6 m, donc \(\text{OB} = 3{,}6 – x\).

2. Les points O, B, S sont alignés, ainsi que O, A, T, et les droites (AB) et (TS) sont parallèles (toutes deux verticales, perpendiculaires au sol). D’après le théorème de Thalès dans les triangles OAB et OTS :

\[ \dfrac{\text{OB}}{\text{OS}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{ST}} \quad \text{soit} \quad \dfrac{3{,}6 – x}{3{,}6} = \dfrac{\text{AB}}{3} \]

\[ \text{AB} = \dfrac{3(3{,}6 – x)}{3{,}6} = \dfrac{10{,}8}{3{,}6} – \dfrac{3x}{3{,}6} = 3 – \dfrac{x}{1{,}2} \]

(on a simplifié \(\dfrac{3}{3{,}6} = \dfrac{1}{1{,}2}\)). Alors on obtient bien \(\text{AB} = 3 – \dfrac{x}{1{,}2}\).

3. Ensuite, on isole \(x\) :

\[ 3 – \dfrac{x}{1{,}2} \gt 1{,}6 \iff -\dfrac{x}{1{,}2} \gt -1{,}4 \iff \dfrac{x}{1{,}2} \lt 1{,}4 \iff x \lt 1{,}68 \]

Attention : en multipliant par −1, on change le sens de l’inégalité. Les solutions sont les nombres \(x\) strictement inférieurs à 1,68. Autrement dit, la hauteur AB dépasse 1,60 m tant que la profondeur SB reste inférieure à 1,68 m.

4. On trace la droite horizontale d’ordonnée 8 et on regarde où la courbe est au-dessus : c’est le cas dès que \(x\) dépasse environ 1,3 (et jusqu’au bout de la courbe, 3,6). Cinq valeurs possibles : \(x = 1{,}5\) ; 2 ; 2,5 ; 3 ; 3,5. (Par le calcul, le volume vaut \(2{,}5x\left(3 – \dfrac{x}{2{,}4}\right)\) et dépasse 8 m³ pour \(x\) supérieur à environ 1,302.)

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5. Il faut que les deux conditions soient réunies : \(x \lt 1{,}68\) (question 3) et \(x\) supérieur à environ 1,3 (question 4). Parmi les valeurs du 4, seule 1,5 convient. Monsieur Ferdinand peut choisir SB = 1,5 m.

Corrigé de la partie B : choisir la profondeur (suite)

Vérification : \(\text{AB} = 3 – \dfrac{1{,}5}{1{,}2} = 1{,}75\) m, qui dépasse 1,60 m, et le volume vaut \(\dfrac{(3 + 1{,}75) \times 1{,}5}{2} \times 2{,}5 \approx 8{,}9\) m³, qui dépasse 8 m³.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2000 : Centres étrangers.

Bien réviser avec le corrigé corrigé étrangers 2000

Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.

Pour les racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. En ce qui concerne les fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. Quant au calcul littéral, repère d’abord la forme de l’expression (produit, carré, différence de deux carrés), puis choisis l’identité adaptée. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de racine carrée, puis reviens à la question.

Après avoir lu le corrigé corrigé étrangers 2000, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.

Tes questions sur le corrigé corrigé étrangers 2000

Faut-il lire le corrigé corrigé étrangers 2000 en entier ?

Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.

Où trouver l’énoncé de ce sujet ?

L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2000. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.

Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?

On y retrouve principalement les racines carrées, les fractions, le calcul littéral et le théorème de Pythagore. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.

Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?

C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.

Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé étrangers 2000

Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.

Télécharger ou imprimer cette fiche «corrigé du brevet de maths 2000 : Centres étrangers» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

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