Corrigé du brevet de maths 2002 : Amérique du Nord

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2002 : Amérique du Nord. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Vue d’ensemble du corrigé corrigé Amérique 2002

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Amérique 2002 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 9 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « Fractions, puissances et racines » (exercice 1). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Développer, factoriser, résoudre » (exercice 2). Puis le corrigé explique « Ventes de voitures et pourcentages » (exercice 3). Par ailleurs, la correction reprend « Système et problème de nombres » (second exercice 3). En outre, tu lis la démarche complète pour « Vecteurs dans un carré » (exercice 1 de géométrie).

Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Triangle rectangle et Thalès » (exercice 2 de géométrie). Puis le corrigé explique « Cônes opposés par le sommet » (exercice 3 de géométrie). Par ailleurs, la correction reprend « Lectures graphiques » (partie 1). Enfin, tu lis la démarche complète pour « Carré et cercle dans un repère » (partie 2).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Amérique 2002 sont les fractions, les racines carrées, les systèmes d’équations, les équations et les pourcentages, rédigées comme sur une copie.

Corrigé des activités numériques (Amérique 2002)

Corrigé de l’exercice 1 : fractions, puissances et racines

1. On calcule d’abord la parenthèse : \(\dfrac{1}{3} – 2 = \dfrac{1}{3} – \dfrac{6}{3} = -\dfrac{5}{3}\). Diviser par \(-\dfrac{5}{3}\), c’est multiplier par son inverse \(-\dfrac{3}{5}\) :

\[ \text{A} = \dfrac{7}{9} \times \left(-\dfrac{3}{5}\right) = -\dfrac{7 \times 3}{3 \times 3 \times 5} = -\dfrac{7}{15} \]

Donc \(\text{A} = -\dfrac{7}{15}\) (7 et 15 n’ont pas de diviseur commun autre que 1).

Pour B, on utilise \(\left(a^{m}\right)^{n} = a^{m \times n}\), \(a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}\) et \(\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}\) :

\[ \text{B} = \dfrac{7^{1} \times 7^{8}}{7^{11}} = \dfrac{7^{9}}{7^{11}} = 7^{-2} = \dfrac{1}{49} \]

Donc \(\text{B} = \dfrac{1}{49}\).

2. On fait apparaître \(\sqrt{6}\) dans chaque terme : \(54 = 9 \times 6\), donc \(\sqrt{54} = 3\sqrt{6}\) ; et \(\sqrt{2} \times \sqrt{12} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}\).

\[ \text{C} = 3 \times 3\sqrt{6} – 7\sqrt{6} – 2\sqrt{6} = (9 – 7 – 2)\sqrt{6} = 0 \]

C = 0, qui est bien un nombre entier.

Corrigé de l’exercice 2 : développer, factoriser, résoudre

1. D’abord, on développe chaque partie :

\[ (3x + 5)(2 – x) = 6x – 3x^2 + 10 – 5x = -3x^2 + x + 10 \]

\[ (2 – x)^2 = 4 – 4x + x^2 \]

Attention au signe « moins » devant le carré : il change le signe de chaque terme.

\[ D = -3x^2 + x + 10 – 4 + 4x – x^2 = -4x^2 + 5x + 6 \]

Donc \(D = -4x^2 + 5x + 6\).

2. Le facteur commun est \((2 – x)\) : \(D = (2 – x)(3x + 5) – (2 – x)(2 – x)\).

\[ D = (2 – x)\left[(3x + 5) – (2 – x)\right] = (2 – x)(3x + 5 – 2 + x) = (2 – x)(4x + 3) \]

Donc \(D = (2 – x)(4x + 3)\). Contrôle : \((2 – x)(4x + 3) = 8x + 6 – 4x^2 – 3x = -4x^2 + 5x + 6\).

3. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

\[ 2 – x = 0 \iff x = 2 \qquad 4x + 3 = 0 \iff x = -\dfrac{3}{4} \]

Les solutions sont 2 et \(-\dfrac{3}{4}\).

Corrigé de l’exercice 3 (Amérique 2002) : ventes de voitures

(L’énoncé écrit « l’an 200 » : il s’agit bien sûr de l’an 2000.)

1. Les voitures de marques étrangères représentent \(2\,134 – 602 – 262 – 398 = 872\) milliers de voitures. Leur fréquence est

\[ \dfrac{872}{2\,134} \times 100 \approx 40{,}86 \]

soit environ 41 % des ventes.

2. Ici le total de référence n’est plus l’ensemble des ventes, mais seulement les voitures françaises : \(602 + 262 + 398 = 1\,262\) milliers.

\[ \dfrac{602}{1\,262} \times 100 \approx 47{,}7 \]

Les Renault représentent environ 47,7 % (soit à peu près 48 %) des ventes de voitures françaises.

Corrigé du second exercice 3 : système et problème de nombres

1. Tout d’abord, on soustrait la deuxième équation de la première, membre à membre, pour éliminer \(x\) :

\[ (x – y) – (x – 3y) = 24 – 16 \iff 2y = 8 \iff y = 4 \]

Puis, dans la première équation : \(x = 24 + y = 28\). Vérification : \(28 – 4 = 24\) et \(28 – 3 \times 4 = 16\). La solution est \(x = 28\) et \(y = 4\).

2. Appelons \(x\) le plus grand nombre et \(y\) le plus petit. Leur différence est 24 : \(x – y = 24\). Augmentés de 8, ils deviennent \(x + 8\) et \(y + 8\), et le plus grand est le triple du plus petit :

\[ x + 8 = 3(y + 8) \iff x + 8 = 3y + 24 \iff x – 3y = 16 \]

On retrouve exactement le système de la question 1, donc les deux nombres sont 28 et 4. Vérification : \(28 – 4 = 24\), et \(28 + 8 = 36\) est bien le triple de \(4 + 8 = 12\).

Corrigé des activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 (Amérique 2002) : vecteurs dans le carré RIEN

1. P est l’image de I par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{RE}}\), donc \(\overrightarrow{\text{IP}} = \overrightarrow{\text{RE}}\) : le quadrilatère REPI est un parallélogramme. On place P en partant de I et en se déplaçant comme de R à E : 5 cm vers la droite et 5 cm vers le haut. P est donc sur la droite (NE), à 5 cm de E, de l’autre côté de N.

2.

• Relation de Chasles : \(\overrightarrow{\text{RE}} + \overrightarrow{\text{EI}} = \overrightarrow{\text{RI}}\).
• \(\overrightarrow{\text{IP}} = \overrightarrow{\text{RE}}\), donc \(\overrightarrow{\text{NR}} + \overrightarrow{\text{IP}} = \overrightarrow{\text{NR}} + \overrightarrow{\text{RE}}\), et par Chasles \(\overrightarrow{\text{NR}} + \overrightarrow{\text{IP}} = \overrightarrow{\text{NE}}\).
• Règle du parallélogramme : RIEN est un carré, donc un parallélogramme, et \(\overrightarrow{\text{RN}} + \overrightarrow{\text{RI}} = \overrightarrow{\text{RE}}\) (la diagonale issue de R).

Corrigé de l’exercice 2 : Pythagore, Thalès et trigonométrie

1. Le triangle RNT est rectangle en R, d’hypoténuse [NT]. D’après le théorème de Pythagore :

\[ \text{NT}^2 = \text{NR}^2 + \text{RT}^2 \quad \text{donc} \quad \text{RT}^2 = 10{,}2^2 – 9^2 = 104{,}04 – 81 = 23{,}04 \]

\[ \text{RT} = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8 \]

Donc RT = 4,8 cm.

2. B est sur [RT], donc RB = RT − BT = 4,8 − 1,6 = 3,2 cm. Les points R, A, N d’une part et R, B, T d’autre part sont alignés dans le même ordre. Ensuite, on compare :

\[ \dfrac{\text{RA}}{\text{RN}} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3} \qquad \dfrac{\text{RB}}{\text{RT}} = \dfrac{3{,}2}{4{,}8} = \dfrac{2}{3} \]

Les deux rapports sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (NT) sont parallèles.

3. Dans le triangle RNT rectangle en R, [NR] est le côté adjacent à l’angle \(\widehat{\text{RNT}}\) et [NT] l’hypoténuse :

\[ \cos \widehat{\text{RNT}} = \dfrac{\text{NR}}{\text{NT}} = \dfrac{9}{10{,}2} \]

À la calculatrice, \(\widehat{\text{RNT}} \approx 28{,}07°\), donc \(\widehat{\text{RNT}} \approx 28°\). (Avec la tangente, \(\tan \widehat{\text{RNT}} = \dfrac{4{,}8}{9}\), on trouve la même mesure.)

Corrigé de l’exercice 3 : deux cônes opposés par le sommet

1. Les droites (AB) et (KI) se coupent en S, et (BI) est parallèle à (KA). D’après le théorème de Thalès :

\[ \dfrac{\text{SI}}{\text{SK}} = \dfrac{\text{SB}}{\text{SA}} = \dfrac{\text{BI}}{\text{KA}} \qquad \text{donc} \qquad \dfrac{4}{6} = \dfrac{\text{BI}}{4{,}5} \]

\[ \text{BI} = \dfrac{4 \times 4{,}5}{6} = 3 \]

Donc BI = 3 cm.

2. Le cône 1 a pour rayon KA = 4,5 cm et pour hauteur KS = 6 cm. Le volume d’un cône est \(\dfrac{1}{3} \times \pi r^2 \times h\) :

\[ V_1 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 4{,}5^2 \times 6 = \dfrac{20{,}25 \times 6}{3}\,\pi = 40{,}5\pi \]

Valeur exacte \(V_1 = 40{,}5\pi\) cm³, valeur arrondie 127 cm³ (\(40{,}5\pi \approx 127{,}23\)).

3. Le coefficient de réduction est le rapport des hauteurs (ou des rayons) :

\[ k = \dfrac{\text{SI}}{\text{SK}} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \qquad \left(\text{ou } \dfrac{\text{BI}}{\text{KA}} = \dfrac{3}{4{,}5} = \dfrac{2}{3}\right) \]

Le coefficient de réduction est \(\dfrac{2}{3}\). Les volumes sont multipliés par \(k^3\), donc il faut multiplier \(V_1\) par \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}\). On obtient \(V_2 = \dfrac{8}{27} \times 40{,}5\pi = 12\pi \approx 37{,}7\) cm³, ce que confirme le calcul direct \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 = 12\pi\).

Corrigé du problème (Amérique 2002)

Corrigé de la partie 1 : lectures graphiques

1. a. \(f\) est de la forme \(x \mapsto ax\) avec \(a = 2\) : c’est une fonction linéaire (de coefficient 2).

b. Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l’origine. \((\Delta_1)\) passe par O(0 ; 0) et par le point (1 ; 2), et \(f(1) = 2\). La droite qui représente \(f\) passe par ces deux mêmes points, donc \((\Delta_1)\) représente bien \(f\).

2. a. \((\Delta_2)\) coupe l’axe des abscisses en A(2 ; 0).

b. \((\Delta_2)\) coupe l’axe des ordonnées en B(0 ; 4).

c. \(g\) est affine : \(g(x) = ax + b\). L’ordonnée à l’origine est \(b = 4\) (point B). Le coefficient directeur se calcule avec A et B : \(a = \dfrac{0 – 4}{2 – 0} = -2\). Donc \(g(x) = -2x + 4\). Vérification : \(g(2) = -4 + 4 = 0\).

d. Pour \(g(3)\), on part de 3 sur l’axe des abscisses, on descend verticalement jusqu’à \((\Delta_2)\), puis on rejoint horizontalement l’axe des ordonnées : \(g(3) = -2\). Pour \(g(x) = 4\), on part de 4 sur l’axe des ordonnées : la droite horizontale rencontre \((\Delta_2)\) au point B, d’abscisse 0 ; donc \(g(x) = 4\) pour \(x = 0\). Par le calcul : \(-2 \times 3 + 4 = -2\) et \(-2x + 4 = 4 \iff x = 0\).

Corrigé de la partie 2 : un carré et son cercle

1. a. Les points R(−7 ; −2), F(−5 ; 2) et V(−3 ; −4) sont placés sur la figure en fin de corrigé.

b. \(\overrightarrow{\text{RF}}\,(x_F – x_R\ ;\ y_F – y_R)\), soit \(\overrightarrow{\text{RF}}\,(-5 + 7\ ;\ 2 + 2)\) : \(\overrightarrow{\text{RF}}\,(2\ ;\ 4)\).

c. Dans un repère orthonormal, \(\text{RF} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}\). On a bien \(\text{RF} = 2\sqrt{5}\) cm.

d. Attention, l’énoncé comporte une coquille : avec les coordonnées données, \(\text{VF} = \sqrt{(-5 + 3)^2 + (2 + 4)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}\), et non \(2\sqrt{20}\) (qui vaut \(\sqrt{80}\)). Puis on raisonne avec la vraie valeur \(\text{VF} = \sqrt{40}\).

• \(\text{RF} = \text{RV} = \sqrt{20}\) : le triangle RFV est isocèle en R.
• \(\text{RF}^2 + \text{RV}^2 = 20 + 20 = 40\) et \(\text{VF}^2 = 40\) : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, il est rectangle en R.

Le triangle RFV est rectangle isocèle en R.

2. Les coordonnées du milieu sont les moyennes des coordonnées des extrémités :

\[ x_K = \dfrac{-5 + (-3)}{2} = -4 \qquad y_K = \dfrac{2 + (-4)}{2} = -1 \]

Donc K(−4 ; −1).

3. a. Le triangle RFV est rectangle en R, d’hypoténuse [FV]. Propriété : le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre son hypoténuse. Le cercle \((\mathcal{C})\) a donc pour centre K(−4 ; −1), milieu de [FV], et pour rayon \(\dfrac{\text{FV}}{2} = \dfrac{\sqrt{40}}{2} = \dfrac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}\) cm, soit environ 3,16 cm.

b. N est le symétrique de R par rapport à K, donc K est le milieu de [RN] : \(x_N = 2 \times (-4) – (-7) = -1\) et \(y_N = 2 \times (-1) – (-2) = 0\), d’où N(−1 ; 0). Le quadrilatère RFNV a des diagonales [RN] et [FV] qui ont le même milieu K : c’est un parallélogramme. Il a un angle droit en R (question 1.d) : c’est un rectangle. Il a deux côtés consécutifs égaux, RF = RV : c’est aussi un losange. Un quadrilatère à la fois rectangle et losange est un carré : RFNV est un carré.

c. Le côté du carré mesure \(2\sqrt{5}\) cm.

\[ \text{Périmètre} = 4 \times 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}\ \text{cm} \qquad \text{Aire} = \left(2\sqrt{5}\right)^2 = 4 \times 5 = 20\ \text{cm}^2 \]

Le périmètre vaut \(8\sqrt{5}\) cm et l’aire 20 cm².

4. Vérifions d’abord que P est sur le cercle : \(\text{KP} = \sqrt{(-3 + 4)^2 + (2 + 1)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}\), le rayon.

Les angles \(\widehat{\text{RPV}}\) et \(\widehat{\text{RFV}}\) sont deux angles inscrits dans le cercle \((\mathcal{C})\) qui interceptent le même arc \(\overset{\frown}{\text{RV}}\) (P et F sont du même côté de la corde [RV]). Ils ont donc la même mesure. Or le triangle RFV est rectangle isocèle en R, donc ses angles à la base mesurent \(\dfrac{180° – 90°}{2} = 45°\), et \(\widehat{\text{RFV}} = 45°\). Par conséquent \(\widehat{\text{RPV}} = 45°\).

Autre justification : l’angle au centre \(\widehat{\text{RKV}}\) mesure 90° (les diagonales d’un carré sont perpendiculaires), et un angle inscrit mesure la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc : \(90° \div 2 = 45°\).

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2002 : Amérique du Nord.

Bien réviser avec le corrigé corrigé Amérique 2002

Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.

Dans les questions sur les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Pour les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. En ce qui concerne les systèmes d’équations, remplace ensuite les valeurs trouvées dans chaque équation, car ce contrôle rapide évite de perdre des points. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé Amérique 2002 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Amérique 2002

Faut-il lire le corrigé corrigé Amérique 2002 en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2002. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les racines carrées, les systèmes d’équations et les équations. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Amérique 2002

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

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