Corrigé du brevet de maths 2002 : Centres étrangers

Corrigé de maths – Brevet 2002 : Centres étrangers – Maths-pdf.fr

Sommaire

Ce corrigé du brevet 2002 des centres étrangers (groupe Est, juin 2002) explique chaque réponse. Tu y retrouves la simplification de fractions avant de multiplier, le calcul de \(\dfrac{18\times10^7}{0{,}9\times10^4}\), la réduction de \(\sqrt{12}+4\sqrt{75}\), les trois identités remarquables à compléter et les inéquations qui donnent la note d’écrit nécessaire pour une moyenne pondérée. En géométrie, on enchaîne Pythagore, Thalès et tangente dans un triangle rectangle, puis translation, symétries et rotation dans un repère, en signalant une incohérence de la figure. Le problème montre comment passer d’un tableau de tarifs à deux fonctions, lire un point d’intersection et résoudre une inéquation pour choisir l’offre de location la plus intéressante.

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2002 : Centres étrangers. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Plan du corrigé corrigé étrangers 2002

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé étrangers 2002 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 8 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « Calculs numériques » (activités numériques). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Identités remarquables à trous » (exercice 1 de la partie numérique). Puis le corrigé explique « Moyenne pondérée d’un examen » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, la correction reprend « Pythagore, Thalès et tangente » (exercice 3 de la partie numérique). De plus, en outre, tu lis la démarche complète pour « Repère et transformations » (activités géométriques).

Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Deux options de location » (exercice 1 de géométrie). Puis le corrigé explique « Fonctions et graphique » (exercice 2 de géométrie). Enfin, la correction reprend « Offre Cinémaths » (problème).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé étrangers 2002 sont les fractions, les puissances de 10, les agrandissements et réductions, les racines carrées et les équations, rédigées comme sur une copie.

Activités numériques (corrigé étrangers 2002)

Corrigé de l’exercice 1 : calculs numériques

1. Pour A, on décompose avant de multiplier afin de simplifier : \(14=2\times7\), \(45=5\times9\), \(27=3\times9\) et \(49=7\times7\).

\[\text{A}=\dfrac{2\times7\times3\times9}{5\times9\times7\times7}=\dfrac{2\times3}{5\times7}=\dfrac{6}{35}.\]

Pour B, on calcule d’abord la parenthèse, puis on multiplie par l’inverse de \(\dfrac{7}{11}\) :

\[\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{4}{6}-\dfrac{9}{6}=-\dfrac{5}{6}\qquad \text{B}=-\dfrac{5}{6}\times\dfrac{11}{7}=-\dfrac{55}{42}.\]

55 = 5 × 11 et 42 = 2 × 3 × 7 n’ont aucun facteur commun. \(\text{A}=\dfrac{6}{35}\) et \(\text{B}=-\dfrac{55}{42}\).

2. Les multiplications passent avant l’addition et la soustraction : \(5\times\dfrac{1}{10}=0{,}5\) et \(4\times\dfrac{1}{100}=0{,}04\). Donc \(\text{C}=3-0{,}5+0{,}04=2{,}54\). C = 2,54.

3. Ensuite, on sépare les nombres et les puissances de 10 :

\[\text{D}=\dfrac{18}{0{,}9}\times\dfrac{10^7}{10^4}=20\times10^{3}=2\times10\times10^3=2\times10^4.\]

\(\text{D}=2\times10^4\) (soit 20 000).

4. Puis on fait apparaître le plus grand carré parfait sous chaque racine : \(12=4\times3\) et \(75=25\times3\).

\[\text{E}=\sqrt{4}\times\sqrt{3}+4\times\sqrt{25}\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}+4\times5\sqrt{3}=2\sqrt{3}+20\sqrt{3}=22\sqrt{3}.\]

\(\text{E}=22\sqrt{3}\), donc \(b=22\).

À retenir : on simplifie les fractions avant de multiplier, on divise par une fraction en multipliant par son inverse, et \(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\) permet de sortir un carré parfait d’une racine.

Corrigé de l’exercice 2 : identités remarquables à trous

1. D’abord, on utilise \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) avec \(a=x\). Ensuite, le double produit \(2\times x\times b\) doit valoir \(6x\), donc \(b=3\), et \(b^2=9\). \((x+3)^2=x^2+6x+9\).

2. Alors on utilise \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Par ailleurs, le premier terme \(4x^2\) donne \(a=2x\), le dernier 25 donne \(b=5\). Puis le double produit vaut \(2\times2x\times5=20x\), précédé du signe moins. \((2x-5)^2=4x^2-20x+25\).

3. Ensuite, on utilise \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Ensuite, le facteur \(7x\) donne \(a=7x\) donc \(a^2=49x^2\), et \(64=8^2\) donne \(b=8\). \(49x^2-64=(7x-8)(7x+8)\).

À retenir : pour compléter une identité, on identifie \(a\) et \(b\) grâce aux carrés, puis on contrôle le double produit \(2ab\). Tu peux toujours vérifier en redéveloppant.

Corrigé de l’exercice 3 (étrangers 2002) : moyenne pondérée

1. Tout d’abord, on remplace \(x\) par 13 et \(y\) par 7 :

\[m=\dfrac{4\times13+6\times7}{10}=\dfrac{52+42}{10}=\dfrac{94}{10}=9{,}4.\]

Or \(9{,}4\lt 10\). Caroline n’est pas reçue : sa bonne note d’oral a un coefficient plus faible que sa note d’écrit.

2. a. Avec \(x=7\), on cherche \(y\) tel que \(m=10\) :

\[\dfrac{28+6y}{10}=10\quad \text{donc}\quad 28+6y=100\quad \text{donc}\quad 6y=72\quad \text{donc}\quad y=12.\]

Vérification : \(\dfrac{28+72}{10}=10\). Etienne doit obtenir 12 à l’écrit.

2. b. On veut \(m\geqslant 13\), c’est-à-dire :

\[\dfrac{28+6y}{10}\geqslant 13\quad \text{donc}\quad 28+6y\geqslant 130\quad \text{donc}\quad 6y\geqslant 102\quad \text{donc}\quad y\geqslant 17.\]

Puis on multiplie et on divise par des nombres positifs (10 et 6), le sens de l’inégalité ne change pas. Il doit obtenir au minimum 17 à l’écrit.

À retenir : dans une moyenne pondérée, chaque note compte autant de fois que son coefficient. Une condition « au moins » se traduit par une inéquation, qui se résout comme une équation tant qu’on ne multiplie ni ne divise par un nombre négatif.

Activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : Pythagore, Thalès et tangente

1. a. Pour commencer, on trace un angle droit en A, on place B à 3 cm de A sur un côté et C à 9 cm de A sur l’autre. I est sur [AC] à 5 cm de C, donc à \(9-5=4\) cm de A.

1. b. Le triangle ABC est rectangle en A, d’hypoténuse [BC]. D’après le théorème de Pythagore :

\[\text{BC}^2=\text{AB}^2+\text{AC}^2=3^2+9^2=9+81=90.\]

Donc \(\text{BC}=\sqrt{90}=\sqrt{9\times10}=3\sqrt{10}\approx9{,}487\). \(\text{BC}=3\sqrt{10}\) cm, soit environ 9,5 cm au millimètre près.

2. Les points C, I, A sont alignés, les points C, E, B sont alignés et les droites (IE) et (AB) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles CIE et CAB :

\[\dfrac{\text{CI}}{\text{CA}}=\dfrac{\text{CE}}{\text{CB}}=\dfrac{\text{IE}}{\text{AB}}.\]

On utilise \(\dfrac{5}{9}=\dfrac{\text{EI}}{3}\), d’où \(\text{EI}=\dfrac{5\times3}{9}=\dfrac{15}{9}=\dfrac{5}{3}\). \(\text{EI}=\dfrac{5}{3}\) cm (environ 1,67 cm).

3. Dans le triangle ABC rectangle en A, pour l’angle \(\widehat{\text{ACB}}\), le côté opposé est [AB] et le côté adjacent est [AC] :

\[\tan\widehat{\text{ACB}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}.\]

À la calculatrice, \(\arctan\left(\dfrac{1}{3}\right)\approx18{,}43^\circ\). \(\tan\widehat{\text{ACB}}=\dfrac{1}{3}\) et \(\widehat{\text{ACB}}\approx18^\circ\).

Contrôle : dans le petit triangle CIE rectangle en I, \(\dfrac{\text{EI}}{\text{CI}}=\dfrac{5/3}{5}=\dfrac{1}{3}\), on retrouve la même tangente.

À retenir : Pythagore donne une longueur dans un triangle rectangle ; Thalès en donne une quand deux droites sont parallèles ; la tangente relie un angle aux côtés opposé et adjacent. Garde la valeur exacte le plus longtemps possible et n’arrondis qu’à la fin.

Corrigé de l’exercice 2 : repère et transformations

Remarque importante : l’énoncé donne A(0 ; −2), mais sur la figure le point A est placé un carreau trop bas, en (0 ; −3). Ensuite, on suit ici les coordonnées écrites dans le texte ; les résultats obtenus avec le point de la figure sont indiqués entre parenthèses.

1. En partant de C, on descend en pointillé jusqu’à l’axe des abscisses (on lit 5), puis on se déplace horizontalement jusqu’à l’axe des ordonnées (on lit −1). C(5 ; −1).

2. Pour aller de A à B, on se déplace de 3 carreaux vers la gauche et de 4 carreaux vers le haut. Par le calcul : \((x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)=(-3-0\ ;\ 2-(-2))\). \(\overrightarrow{\text{AB}}\) a pour coordonnées \((-3\ ;\ 4)\) (avec le point de la figure : \((-3\ ;\ 5)\)).

3. Le repère est orthonormé, donc :

\[\text{AB}=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.\]

AB = 5 cm (avec le point de la figure : \(\sqrt{34}\approx5{,}83\) cm).

4. a. La translation qui transforme A en B déplace chaque point de 3 carreaux vers la gauche et de 4 vers le haut. Puis en partant de C(5 ; −1) : \(5-3=2\) et \(-1+4=3\). D(2 ; 3) (avec la figure : D(2 ; 4)).

4. b. Par construction, \(\overrightarrow{\text{CD}}=\overrightarrow{\text{AB}}\). Quand \(\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{CD}}\), le quadrilatère ABDC (dans cet ordre) est un parallélogramme. ABDC est un parallélogramme. Ce n’est pas un losange, car \(\text{AC}=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}\neq\text{AB}\), et pas un rectangle, car ses côtés [AB] et [AC] ne sont pas perpendiculaires (on le voit sur le dessin et \(\text{BC}^2=8^2+3^2=73\), alors que \(\text{AB}^2+\text{AC}^2=25+26=51\)).

Corrigé de l’exercice 2 : repère et transformations (suite)

5. Dans la symétrie de centre O, O est le milieu de [BE] : on change le signe des deux coordonnées. E(3 ; −2).

6. Dans la symétrie d’axe (Ox), l’abscisse est conservée et l’ordonnée change de signe. F(5 ; 1).

7. A est sur l’axe des ordonnées, à 2 carreaux sous O. De plus, en tournant d’un quart de tour dans le sens des aiguilles d’une montre autour de O, le « bas » devient la « gauche » : l’image est sur l’axe des abscisses, à 2 carreaux à gauche de O. G(−2 ; 0) (avec la figure : G(−3 ; 0)).

À retenir : les coordonnées de \(\overrightarrow{\text{AB}}\) sont \((x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)\) ; si \(\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{CD}}\), alors ABDC est un parallélogramme. Symétrie de centre O : \((x\ ;\ y)\) devient \((-x\ ;\ -y)\) ; symétrie d’axe (Ox) : \((x\ ;\ y)\) devient \((x\ ;\ -y)\).

Problème (corrigé étrangers 2002)

Corrigé de la partie A : deux options de location

1. a. Option A : on multiplie le nombre de cassettes par 3. Option B : on multiplie par 1,50 puis on ajoute les 15 € de la carte. Par exemple, pour 4 cassettes : \(4\times3=12\) et \(15+4\times1{,}5=21\).

Nombre de cassettes louées en 6 mois	4	8	10	12
Prix avec l’option A (€)	12	24	30	36
Prix avec l’option B (€)	21	27	30	33

1. b. Puis on compare colonne par colonne : pour 4 et 8 cassettes, l’option A est la plus avantageuse ; pour 10 cassettes, les deux options coûtent 30 € ; pour 12 cassettes, l’option B est la plus avantageuse.

2. a. Chaque cassette coûte 3 €. \(A(x)=3x\).

2. b. On paie la carte de 15 € puis 1,50 € par cassette. \(B(x)=1{,}5x+15\).

À retenir : un tarif « prix unitaire seul » donne une fonction linéaire \(ax\) ; un tarif « abonnement + prix unitaire » donne une fonction affine \(ax+b\), où \(b\) est le prix de l’abonnement.

Corrigé de la partie B : lecture graphique et inéquation

1. \(f\) est linéaire : sa droite passe par l’origine et, par exemple, par (10 ; 30). \(g\) est affine : sa droite passe par (0 ; 15) et (10 ; 30). Avec 1 cm pour 1 cassette et 1 cm pour 2 €, on obtient le graphique ci-dessous (les pointillés correspondent aux lectures des questions suivantes).

2. a. Les deux droites se coupent au point d’abscisse 10 et d’ordonnée 30. E(10 ; 30).

2. b. Pour 10 cassettes louées en 6 mois, Nicolas paie le même prix, 30 €, avec l’option A et avec l’option B. Alors on le vérifie : \(f(10)=30\) et \(g(10)=15+15=30\).

3. Ensuite, on part de 11 sur l’axe des abscisses, on monte jusqu’à la droite de \(f\) et on lit 33 en ordonnée. Avec l’option A, 11 cassettes coûtent 33 € (\(3\times11=33\)).

4. Puis on part de 24 sur l’axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu’à la droite de \(g\) et on descend : on lit 6. Avec 24 € et l’option B, il peut louer 6 cassettes (\(15+6\times1{,}5=24\)).

5. L’option B est plus avantageuse quand elle coûte strictement moins cher :

\[1{,}5x+15\lt 3x\quad \text{donc}\quad 15\lt 3x-1{,}5x\quad \text{donc}\quad 15\lt 1{,}5x\quad \text{donc}\quad x\gt 10.\]

L’option B est plus avantageuse dès que Nicolas loue plus de 10 cassettes, c’est-à-dire à partir de 11 cassettes. Cela correspond, sur le graphique, à la partie où la droite bleue est sous la droite rouge, à droite de E.

À retenir : l’abscisse du point d’intersection de deux droites est la valeur pour laquelle les deux tarifs sont égaux. Pour savoir quand un tarif est meilleur, on résout une inéquation, puis on interprète le résultat (ici, un nombre entier de cassettes).

Corrigé de la partie C : une troisième offre

1. D’abord, on trace la droite horizontale d’ordonnée 36 et on lit les abscisses des points d’intersection. Avec la droite de \(f\), on lit 12 ; avec celle de \(g\), on lit 14. Avec 36 €, il peut louer 12 cassettes avec l’option A et 14 cassettes avec l’option B. Contrôle : \(3\times12=36\) et \(15+14\times1{,}5=15+21=36\).

2. a. Chez Cinémaths, il paie l’abonnement de 7,50 € une fois, puis 2,50 € par cassette. Ensuite, pour \(x\) cassettes : \(7{,}5+2{,}5\times x\). Ensuite, on a bien \(h(x)=2{,}5x+7{,}5\).

2. b. On cherche le plus grand entier \(x\) tel que \(h(x)\leqslant 36\) :

\[2{,}5x+7{,}5\leqslant 36\quad \text{donc}\quad 2{,}5x\leqslant 28{,}5\quad \text{donc}\quad x\leqslant 11{,}4.\]

Le nombre de cassettes est entier. Chez Cinémaths, il peut louer au maximum 11 cassettes (il paiera \(2{,}5\times11+7{,}5=35\) €).

2. c. Avec un budget de 36 € : 12 cassettes avec l’option A, 14 avec l’option B de Vidéomaths, 11 chez Cinémaths. L’offre la plus avantageuse pour Nicolas est l’option B de Vidéomaths (abonnement à 15 €), qui lui permet de louer 14 cassettes.

À retenir : avec un budget fixé, l’offre la plus avantageuse est celle qui donne la plus grande quantité. Quand le résultat d’une inéquation n’est pas entier, on garde le plus grand entier qui la vérifie.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2002 : Centres étrangers.

Comment utiliser le corrigé corrigé étrangers 2002

Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.

Dans les questions sur les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Par ailleurs, pour les puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. Puis en ce qui concerne les agrandissements et réductions, calcule d’abord le coefficient d’agrandissement ou de réduction, puis applique-le aux longueurs, aux aires et aux volumes. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé étrangers 2002 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé étrangers 2002

Faut-il lire le corrigé corrigé étrangers 2002 en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2002. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les puissances de 10, les agrandissements et réductions et les racines carrées. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé étrangers 2002

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

Les autres corrigés du brevet 2002

Tous les sujets classés par année : brevet de maths.

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