Corrigé du brevet de maths 2002 : Académie de Bordeaux

Accueil >> Brevet de maths >> Corrigés du brevet >> Corrigé du brevet de maths 2002 : Académie de Bordeaux
Corrigé de maths – Brevet 2002 : Académie de Bordeaux – Maths-pdf.fr
Ce corrigé du brevet de juin 2002 de l’académie de Bordeaux détaille chaque réponse comme sur une copie. Tu y verras comment la différence de deux carrés factorise \(Q\) et redonne le développement de \(P\), comment le théorème de Pythagore exprime \(AC^2\) en fonction de \(x\), et comment une mise en équation retrouve 7 triangles et 11 rectangles sur la couverture du livre. Les racines carrées se simplifient en extrayant les carrés parfaits. En géométrie, la translation fabrique un parallélogramme dont les diagonales se coupent en leur milieu, la boule remplit environ 52 % du cube, et la réciproque du théorème de Thalès tranche la question des parallèles. Les questions enchaînées réutilisent Pythagore, le cercle circonscrit, la tangente et Thalès pour trouver \(x=3\).

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2002 : Académie de Bordeaux. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Corrigé des activités numériques

Corrigé de l’exercice 1 : développer, factoriser et Pythagore

1. On multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde (double distributivité) :

\[P=x\times x+x\times 2+12\times x+12\times 2=x^2+2x+12x+24\]

Donc \(P=x^2+14x+24\).

2. Comme \(25=5^2\), \(Q\) est une différence de deux carrés \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) avec \(a=x+7\) et \(b=5\) :

\[Q=(x+7-5)(x+7+5)\]

Donc \(Q=(x+2)(x+12)\). Tu remarques que c’est exactement l’expression \(P\) : \(P\) et \(Q\) sont égales pour toute valeur de \(x\).

3. Schéma : trace un triangle ABC avec un angle droit en A ; l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, c’est [BC], de longueur \(x+7\) ; le côté [AB] mesure 5 ; le côté [AC] est inconnu.

Le triangle ABC est rectangle en A, donc d’après le théorème de Pythagore :

\[BC^2=AB^2+AC^2 \quad\text{donc}\quad AC^2=BC^2-AB^2=(x+7)^2-5^2\]

On reconnaît l’expression \(Q\), qui est égale à \(P\) d’après les questions 1 et 2. Donc \(AC^2=x^2+14x+24\).

On peut aussi développer directement : \((x+7)^2-25=x^2+14x+49-25=x^2+14x+24\).

À retenir : repérer une différence de deux carrés \(a^2-b^2\) permet de factoriser en une ligne ; dans un triangle rectangle, un côté de l’angle droit vérifie \(AC^2=BC^2-AB^2\).

Corrigé de l’exercice 2 : deux équations

Première équation. On développe en faisant attention au signe moins devant la parenthèse, qui change le signe de chaque terme :

\[3(5+3x)-(x-3)=15+9x-x+3=8x+18\]

L’équation devient \(8x+18=0\), soit \(8x=-18\), donc \(x=-\dfrac{18}{8}=-\dfrac{9}{4}\).

La solution est \(x=-\dfrac{9}{4}=-2{,}25\). Vérification : \(3(5-6{,}75)-(-2{,}25-3)=-5{,}25+5{,}25=0\).

Seconde équation. C’est un produit de facteurs égal à 0. Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul. Le facteur 3 n’est jamais nul, donc :

\[5+3x=0 \quad\text{ou}\quad x-3=0\]

\[x=-\dfrac{5}{3} \quad\text{ou}\quad x=3\]

L’équation a deux solutions : \(-\dfrac{5}{3}\) et 3.

À retenir : un signe moins devant une parenthèse change tous les signes à l’intérieur ; pour une équation produit nul, on écrit « un des facteurs est nul » et on résout chaque petite équation.

Corrigé de l’exercice 3 : triangles et rectangles sur une couverture

1. Un triangle a 3 sommets et un rectangle en a 4. Comme les figures n’ont aucun sommet commun, on additionne simplement :

\[4\times 3+6\times 4=12+24=36\]

On compterait 36 sommets.

2. Appelons \(t\) le nombre de triangles et \(r\) le nombre de rectangles. Les deux informations donnent le système :

\[\left\{\begin{array}{l} t+r=18\\ 3t+4r=65 \end{array}\right.\]

De la première équation, \(t=18-r\). On remplace dans la seconde :

\[3(18-r)+4r=65 \quad\text{donc}\quad 54-3r+4r=65 \quad\text{donc}\quad r=11\]

Puis \(t=18-11=7\). Vérification : \(7\times 3+11\times 4=21+44=65\) sommets pour \(7+11=18\) figures.

Il y a 7 triangles et 11 rectangles sur la couverture.

À retenir : deux inconnues et deux informations donnent un système ; on le résout par substitution, puis on vérifie les deux conditions de l’énoncé.

Corrigé de l’exercice 4 : calculs avec des racines carrées

Calcul de A. On développe le produit en utilisant \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) :

\[\left(3\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)=3\sqrt{2}\times\sqrt{2}+3\sqrt{2}-\sqrt{2}-1=3\times 2+2\sqrt{2}-1=5+2\sqrt{2}\]

\[A=5+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}\]

Donc \(A=5\).

Calcul de B. On fait apparaître le carré parfait le plus grand sous chaque racine : \(27=9\times 3\) et \(75=25\times 3\).

\[\sqrt{27}=\sqrt{9}\times\sqrt{3}=3\sqrt{3} \qquad \sqrt{75}=\sqrt{25}\times\sqrt{3}=5\sqrt{3}\]

\[B=5\times 3\sqrt{3}+5\sqrt{3}=15\sqrt{3}+5\sqrt{3}\]

Donc \(B=20\sqrt{3}\) (ici \(a=20\)).

À retenir : \(\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a\) et \(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\) ; pour simplifier une racine, on cherche un facteur qui est un carré parfait (4, 9, 16, 25…).

Corrigé des activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : translation et parallélogramme dans un repère

Voici la figure complète, avec les points des deux questions :

Repère avec A(3 ; -5), B(-2 ; 5), C(-2 ; -4), D(-7 ; 6), le parallélogramme ABDC et ses diagonales [AD] et [BC] qui se coupent en M(-2 ; 0,5)

1. a. On place A trois unités à droite et cinq unités vers le bas, B deux unités à gauche et cinq unités vers le haut (voir la figure).

b. Les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) s’obtiennent par « arrivée moins départ » : \((x_B-x_A~;~y_B-y_A)=(-2-3~;~5-(-5))\).

Donc \(\overrightarrow{AB}(-5~;~10)\).

c. Le repère est orthonormal, donc :

\[AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(-5)^2+10^2}=\sqrt{25+100}=\sqrt{125}\]

Comme \(125=25\times 5\), \(AB=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\) cm (environ 11,2 cm).

2. a. Pour placer D, on part de C et on applique le même déplacement que de A vers B : 5 unités vers la gauche et 10 unités vers le haut.

b. \(x_D=-2+(-5)=-7\) et \(y_D=-4+10=6\), donc \(D(-7~;~6)\).

c. Nature de ABDC. D est l’image de C par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\), donc \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\). Les points A, B, C ne sont pas alignés (la droite (AB) a pour équation \(y=-2x+1\) et pour \(x=-2\) elle passe par l’ordonnée 5, pas par \(-4\)). Or si \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) avec A, B, C non alignés, alors le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.

Donc ABDC est un parallélogramme. (Ce n’est ni un rectangle ni un losange : \(AC=\sqrt{26}\) est différent de \(AB=\sqrt{125}\), et les longueurs \(AD=\sqrt{221}\) et \(BC=9\) des diagonales ne sont pas égales.)

Coordonnées de M. [AD] et [BC] sont les diagonales du parallélogramme ABDC. Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu, donc M est le milieu de [AD] (et aussi de [BC]) :

\[x_M=\dfrac{3+(-7)}{2}=-2 \qquad y_M=\dfrac{-5+6}{2}=\dfrac{1}{2}\]

Contrôle avec [BC] : \(\left(\dfrac{-2-2}{2}~;~\dfrac{5-4}{2}\right)=(-2~;~0{,}5)\). Donc \(M(-2~;~0{,}5)\).

À retenir : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) signifie que ABDC est un parallélogramme (attention à l’ordre des lettres) ; le point d’intersection des diagonales est alors le milieu de chacune d’elles.

Corrigé de l’exercice 2 : taux de remplissage d’une boîte cubique

Volume de la boîte : \(V_{\text{cube}}=7^3=343\ \text{cm}^3\).

La boule a un diamètre de 7 cm, donc un rayon \(r=3{,}5\) cm. Son volume vaut :

\[V_{\text{boule}}=\dfrac{4}{3}\pi r^3=\dfrac{4}{3}\pi\times 3{,}5^3=\dfrac{4}{3}\pi\times 42{,}875\approx 179{,}6\ \text{cm}^3\]

Le taux de remplissage est le quotient des deux volumes, exprimé en pourcentage :

\[\dfrac{V_{\text{boule}}}{V_{\text{cube}}}\times 100\approx\dfrac{179{,}59}{343}\times 100\approx 52{,}36\]

Le taux de remplissage est d’environ 52 %.

Remarque : en valeur exacte, le quotient vaut \(\dfrac{\pi}{6}\approx 0{,}5236\), quelle que soit la taille du cube, dès que la boule a pour diamètre l’arête.

À retenir : le volume d’une boule est \(\dfrac{4}{3}\pi r^3\) avec le rayon, pas le diamètre ; un pourcentage d’une quantité par rapport à une autre s’obtient par \(\dfrac{\text{partie}}{\text{total}}\times 100\).

Corrigé de l’exercice 3 : parallèles dans une figure en papillon

1. Construction : trace un segment [AC] de 16 cm et place B sur ce segment à 6 cm de A (donc à 10 cm de C). Trace ensuite une autre droite passant par B, et places-y E à 4,8 cm de B d’un côté, et F à 8 cm de B de l’autre côté, de sorte que B soit entre E et F. On obtient deux triangles BAE et BCF opposés par le sommet B.

2. Les points A, B, C sont alignés, ainsi que E, B, F, et ils sont dans le même ordre (B est entre A et C, et entre E et F). On compare les rapports :

\[\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{6}{10}=0{,}6 \qquad \dfrac{BE}{BF}=\dfrac{4{,}8}{8}=0{,}6\]

Les rapports sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AE) et (FC) sont parallèles.

3. Cette fois, le triangle qui contient A doit être associé à F : on compare \(\dfrac{BA}{BC}\) et \(\dfrac{BF}{BE}\).

\[\dfrac{BA}{BC}=0{,}6 \qquad \dfrac{BF}{BE}=\dfrac{8}{4{,}8}=\dfrac{5}{3}\approx 1{,}67\]

Si (AF) et (EC) étaient parallèles, le théorème de Thalès imposerait l’égalité de ces deux rapports. Ils sont différents, donc les droites (AF) et (EC) ne sont pas parallèles.

À retenir : pour prouver un parallélisme, on utilise la réciproque de Thalès (rapports égaux et points dans le même ordre) ; pour prouver un non-parallélisme, on montre que les rapports sont différents (contraposée de Thalès).

Corrigé des questions enchaînées

Construction du triangle : trace [MN] de 12 cm, puis un arc de cercle de centre M et de rayon 5 cm et un arc de centre N et de rayon 13 cm ; leur point d’intersection est P.

Corrigé de la partie A : le triangle 5-12-13

1. Le plus grand côté est [PN]. On calcule séparément :

\[PN^2=13^2=169 \qquad PM^2+MN^2=5^2+12^2=25+144=169\]

On a \(PN^2=PM^2+MN^2\), donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MNP est rectangle en M (le sommet opposé au plus grand côté).

2. Périmètre : \(5+12+13=30\), soit 30 cm.

Aire : les côtés de l’angle droit [PM] et [MN] sont base et hauteur, donc \(\mathcal{A}=\dfrac{PM\times MN}{2}=\dfrac{5\times 12}{2}=30\), soit 30 cm².

3. Un triangle rectangle est inscrit dans le cercle dont un diamètre est son hypoténuse. Le centre O du cercle circonscrit est donc le milieu de l’hypoténuse [PN], et le rayon vaut \(\dfrac{PN}{2}=\dfrac{13}{2}\), soit 6,5 cm.

4. Dans le triangle MNP rectangle en M, pour l’angle \(\widehat{PNM}\), le côté opposé est [PM] et le côté adjacent est [MN] :

\[\tan\widehat{PNM}=\dfrac{PM}{MN}=\dfrac{5}{12}\approx 0{,}417\]

Avec la calculatrice (touche \(\tan^{-1}\) ou Arctan), \(\widehat{PNM}\approx 22{,}6°\), donc \(\widehat{PNM}\approx 23°\) au degré près.

À retenir : un triangle rectangle a pour cercle circonscrit le cercle de diamètre son hypoténuse ; tangente = côté opposé / côté adjacent.

Corrigé de la partie B : un triangle de périmètre 18 cm

1. Dans le triangle MPN, A est sur [MP], B est sur [MN] et les droites (AB) et (PN) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{MA}{MP}=\dfrac{MB}{MN}=\dfrac{AB}{PN} \quad\text{soit}\quad \dfrac{x}{5}=\dfrac{MB}{12}=\dfrac{AB}{13}\]

Par produits en croix : \(MB=\dfrac{12x}{5}\) et \(AB=\dfrac{13x}{5}\).

2. Le périmètre du triangle AMB est \(AM+MB+AB\) :

\[x+\dfrac{12x}{5}+\dfrac{13x}{5}=\dfrac{5x}{5}+\dfrac{12x}{5}+\dfrac{13x}{5}=\dfrac{30x}{5}=6x\]

Le périmètre vaut \(6x\) (en cm).

3. D’après la question 2, l’équation s’écrit \(6x=18\), donc \(x=\dfrac{18}{6}\). La solution est \(x=3\).

4. a. L’équation de la question 3 traduit exactement « le périmètre de AMB vaut 18 cm ». Il faut donc placer A sur [PM] à 3 cm de M, puis tracer la parallèle à (PN) passant par A, qui coupe [MN] en B. On a alors \(MB=\dfrac{12\times 3}{5}=7{,}2\) cm et \(AB=\dfrac{13\times 3}{5}=7{,}8\) cm, et \(3+7{,}2+7{,}8=18\).

Triangle MNP rectangle en M avec PM = 5, MN = 12, son cercle circonscrit de centre O milieu de [PN], et le segment [AB] parallèle à (PN) avec AM = 3, MB = 7,2 et AB = 7,8

b. Le triangle AMB est rectangle en M (A est sur [MP] et B sur [MN]), donc :

\[\mathcal{A}_{AMB}=\dfrac{AM\times MB}{2}=\dfrac{3\times 7{,}2}{2}=10{,}8\]

L’aire du triangle AMB est 10,8 cm². Contrôle : AMB est une réduction de MPN de rapport \(\dfrac{3}{5}\), donc son aire vaut \(\left(\dfrac{3}{5}\right)^2\times 30=0{,}36\times 30=10{,}8\) cm².

À retenir : dans une configuration de Thalès, toutes les longueurs du petit triangle s’expriment en fonction d’une seule ; dans une réduction de rapport \(k\), les longueurs sont multipliées par \(k\) et les aires par \(k^2\).

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2002 : Académie de Bordeaux.

Les autres corrigés du brevet 2002

Tous les sujets classés par année : brevet de maths.

Voter.. post
Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «corrigé du brevet de maths 2002 : Académie de Bordeaux» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

Nombre de fichiers PDF téléchargés.  Maths PDF c'est 16 200 933 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.

Télécharger les manuels scolaires de maths en PDF du CP à la Terminale