Corrigé du brevet de maths 2002 : France, groupement Nord, septembre
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2002 : France, groupement Nord, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé septembre 2002
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé septembre 2002 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 8 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Fraction, puissances et racines » (exercice 1). Ensuite, la correction reprend « Développer et factoriser » (exercice 2). Puis tu lis la démarche complète pour « Sachets du pâtissier (PGCD) » (exercice 3). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Sondage du cinéma » (exercice 4). Puis en outre, le corrigé explique « Thalès et réciproque » (exercice 1 de géométrie).
Ensuite, la correction reprend « Triangle rectangle et tangente » (exercice 2 de géométrie). Puis tu lis la démarche complète pour « Cloche et boîte cylindrique » (exercice 3 de géométrie). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Location de cassettes vidéo » (problème).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé septembre 2002 sont les fractions, les puissances de 10, les agrandissements et réductions, les racines carrées et les pourcentages, rédigées comme sur une copie.
Activités numériques (corrigé septembre 2002)
Corrigé de l’exercice 1 : fraction, écriture scientifique et racines
1. La division est prioritaire sur la soustraction. Diviser par \(\dfrac{12}{7}\), c’est multiplier par \(\dfrac{7}{12}\) :
\[\dfrac{3}{5} : \dfrac{12}{7} = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{7}{12} = \dfrac{21}{60} = \dfrac{7}{20}\]
\[A = \dfrac{1}{5} – \dfrac{7}{20} = \dfrac{4}{20} – \dfrac{7}{20} = -\dfrac{3}{20}\]
3 et 20 n’ont pas de diviseur commun autre que 1 : \(A = -\dfrac{3}{20}\).
2. On utilise \(\left(10^5\right)^2 = 10^{10}\), puis on sépare nombres et puissances de 10 :
\[B = \dfrac{7}{35} \times \dfrac{10^{10} \times 10^{-3}}{10^{3}} = 0{,}2 \times \dfrac{10^{7}}{10^{3}} = 0{,}2 \times 10^{4}\]
Comme \(0{,}2 = 2 \times 10^{-1}\), on obtient \(B = 2 \times 10^{3}\) (soit 2 000).
3. Ensuite, on fait apparaître \(\sqrt{5}\) dans chaque terme en extrayant un carré parfait :
\[4\sqrt{45} = 4\sqrt{9 \times 5} = 4 \times 3\sqrt{5} = 12\sqrt{5} \qquad \sqrt{500} = \sqrt{100 \times 5} = 10\sqrt{5}\]
\[C = 12\sqrt{5} + 2\sqrt{5} – 10\sqrt{5} = (12 + 2 – 10)\sqrt{5}\]
\(C = 4\sqrt{5}\), avec \(a = 4\).
Corrigé de l’exercice 2 : développer, factoriser, résoudre
1. La double distributivité donne \((2x – 5)(x + 3) = 2x^2 + 6x – 5x – 15 = 2x^2 + x – 15\). De plus, L’identité remarquable \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) donne \((2x – 5)^2 = 4x^2 – 20x + 25\). Attention au signe moins devant ce carré, qui change tous les signes :
\[D = 2x^2 + x – 15 – 4x^2 + 20x – 25\]
\(D = -2x^2 + 21x – 40\).
2. Le facteur commun est \((2x – 5)\) :
\[D = (2x – 5)\big[(x + 3) – (2x – 5)\big] = (2x – 5)(x + 3 – 2x + 5)\]
\(D = (2x – 5)(-x + 8)\). Contrôle : \((2x – 5)(-x + 8) = -2x^2 + 16x + 5x – 40 = -2x^2 + 21x – 40\).
3. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul :
\(2x – 5 = 0\) donne \(x = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\) ; \(-x + 8 = 0\) donne \(x = 8\).
L’équation a deux solutions : \(\dfrac{5}{2}\) et 8.
Corrigé de l’exercice 3 (septembre 2002) : les sachets du pâtissier
1. Chaque sachet contient le même nombre de gâteaux, et les sachets ne mélangent pas pains au chocolat et croissants. Ensuite, ce nombre doit donc diviser à la fois 910 et 693 : c’est un diviseur commun. Puis on cherche le PGCD par l’algorithme d’Euclide :
- \(910 = 1 \times 693 + 217\)
- \(693 = 3 \times 217 + 42\)
- \(217 = 5 \times 42 + 7\)
- \(42 = 6 \times 7 + 0\)
Le dernier reste non nul est 7 : PGCD(910 ; 693) = 7. Par ailleurs, les diviseurs communs à 910 et 693 sont les diviseurs de 7, c’est-à-dire 1 et 7. Puis un sachet d’un seul gâteau n’a pas de sens ici (les sachets contiennent « des gâteaux »), donc le pâtissier a mis 7 gâteaux dans chaque sachet.
2. Il y a \(693 \div 7 = 99\) sachets de croissants. 99 sachets contiennent des croissants (et \(910 \div 7 = 130\) sachets contiennent des pains au chocolat).
Corrigé de l’exercice 4 : le sondage du cinéma
1. L’effectif total est 400. Ensuite, la somme des effectifs connus est \(50 + 60 + 120 + 40 + 50 + 30 + 20 + 10 = 380\), donc l’effectif manquant (6 films) est \(400 – 380 = 20\). Chaque effectif cumulé croissant s’obtient en ajoutant l’effectif de la ligne au cumul précédent.
| nombre de films regardés | effectifs | effectifs cumulés croissants |
|---|---|---|
| 0 | 50 | 50 |
| 1 | 60 | 110 |
| 2 | 120 | 230 |
| 3 | 40 | 270 |
| 4 | 50 | 320 |
| 5 | 30 | 350 |
| 6 | 20 | 370 |
| 7 | 20 | 390 |
| 8 | 10 | 400 |
Le dernier cumul vaut bien 400, ce qui confirme les calculs.
2. a. Alors on lit l’effectif de la ligne « 1 » : 60 personnes ont vu un seul film.
b. \(\dfrac{60}{400} \times 100 = 15\). Cela représente 15 % des personnes interrogées.
3. « Moins de 4 films » signifie 0, 1, 2 ou 3 films. C’est l’effectif cumulé de la ligne « 3 » : 270 personnes.
4. La moyenne est la somme des produits « nombre de films × effectif », divisée par l’effectif total :
\[\bar{x} = \dfrac{0 \times 50 + 1 \times 60 + 2 \times 120 + 3 \times 40 + 4 \times 50 + 5 \times 30 + 6 \times 20 + 7 \times 20 + 8 \times 10}{400}\]
\[\bar{x} = \dfrac{0 + 60 + 240 + 120 + 200 + 150 + 120 + 140 + 80}{400} = \dfrac{1\,110}{400} = 2{,}775\]
En moyenne, les personnes interrogées ont vu environ 3 films le mois dernier (arrondi à l’unité).
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : Thalès et sa réciproque
1. Sur la figure, les points G, A, B, D sont alignés et les points F, A, C, E sont alignés : les droites (GB) et (FC) se coupent en A. Puis les points B et G sont de part et d’autre de A, ainsi que C et F. Comme (BC) et (GF) sont parallèles, le théorème de Thalès dans les triangles ABC et AGF (configuration « papillon ») donne :
\[\dfrac{AB}{AG} = \dfrac{AC}{AF} = \dfrac{BC}{GF} \quad \text{soit} \quad \dfrac{3}{AG} = \dfrac{4}{3{,}6} = \dfrac{4{,}5}{GF}\]
Ensuite, on utilise l’égalité qui ne contient que GF comme inconnue : \(GF = \dfrac{4{,}5 \times 3{,}6}{4} = \dfrac{16{,}2}{4} = 4{,}05\).
GF = 4,05 cm.
2. Les points A, C, E sont alignés dans cet ordre, ainsi que A, B, D. Puis on calcule :
\(AE = AC + CE = 4 + 2{,}4 = 6{,}4\) et \(AD = AB + BD = 3 + 1{,}8 = 4{,}8\).
\[\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{4}{6{,}4} = 0{,}625 \qquad \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{3}{4{,}8} = 0{,}625\]
Les deux rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (ED) sont parallèles.
Corrigé de l’exercice 2 (septembre 2002) : triangle rectangle et tangente
Construction : trace [BC] de 7 cm, puis un arc de centre B et de rayon 4,2 cm et un arc de centre C et de rayon 5,6 cm ; ils se coupent en A.
1. Le plus grand côté est [BC]. Ensuite, on compare :
\[BC^2 = 7^2 = 49 \qquad AB^2 + AC^2 = 4{,}2^2 + 5{,}6^2 = 17{,}64 + 31{,}36 = 49\]
Puis on a \(BC^2 = AB^2 + AC^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A : \(\widehat{BAC}\) est un angle droit.
2. L’énoncé comporte une coquille : \(\widehat{BAC}\) mesure 90° (question 1) et un angle droit n’a pas de tangente. De plus, l’angle demandé est un angle aigu du triangle, en pratique \(\widehat{ABC}\). Ensuite, dans le triangle ABC rectangle en A, pour l’angle \(\widehat{ABC}\), le côté opposé est [AC] et le côté adjacent est [AB] :
\[\tan \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{5{,}6}{4{,}2} = \dfrac{4}{3}\]
La calculatrice (touche \(\tan^{-1}\)) donne \(\widehat{ABC} \approx 53{,}1^\circ\), soit \(\widehat{ABC} \approx 53^\circ\) au degré près. Par ailleurs, l’autre angle aigu mesure alors \(\widehat{ACB} \approx 90^\circ – 53{,}1^\circ \approx 37^\circ\) (on le retrouve avec \(\tan \widehat{ACB} = \dfrac{4{,}2}{5{,}6} = 0{,}75\)).
3. Le point M est sur [AC], donc l’angle \(\widehat{BAM}\) est droit : le triangle ABM est rectangle en A, d’hypoténuse [BM]. D’après le théorème de Pythagore :
\[AM^2 = BM^2 – AB^2 = 5{,}5^2 – 4{,}2^2 = 30{,}25 – 17{,}64 = 12{,}61\]
\(AM = \sqrt{12{,}61} \approx 3{,}551\) cm. AM ≈ 3,6 cm au millimètre près. (M est bien sur le segment [AC], car 3,6 cm est inférieur à AC = 5,6 cm.)
Corrigé de l’exercice 3 : la cloche et la boîte
1. La cloche est une demi-sphère : son volume est la moitié de celui de la sphère de rayon 9 cm.
\[V = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3}\pi \times 9^3 = \dfrac{2}{3}\pi \times 729 = 486\pi\]
Le volume de la cloche est \(486\pi\) cm³, soit environ 1 527 cm³ (\(486\pi \approx 1\,526{,}8\)).
2. La boîte a le même rayon, 9 cm, et le même volume. Alors on note \(H\) sa hauteur :
\[\pi \times 9^2 \times H = 486\pi \quad \text{donc} \quad 81H = 486 \quad \text{donc} \quad H = \dfrac{486}{81} = 6\]
La boîte cylindrique a une hauteur de 6 cm. En gardant la valeur exacte \(486\pi\), le \(\pi\) se simplifie et on obtient un résultat exact.
Problème
Corrigé du problème : les tarifs de location de cassettes
1. Avec le tarif 1, on ajoute 15 € à 0,70 € par cassette ; avec le tarif 2, 11 € à 1,50 € par cassette. Par exemple pour 6 cassettes : \(15 + 0{,}7 \times 6 = 19{,}2\) € et \(11 + 1{,}5 \times 6 = 20\) €.
| nombre de cassettes louées | 0 | 1 | 2 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| prix payé avec le tarif 1 (€) | 15 | 15,70 | 16,40 | 19,20 | 22 |
| prix payé avec le tarif 2 (€) | 11 | 12,50 | 14 | 20 | 26 |
2. a. \(P_1(x) = 0{,}7x + 15\).
b. \(P_2(x) = 1{,}5x + 11\).
3. Ce sont deux fonctions affines : leurs représentations sont des droites. Puis on place deux points du tableau pour chacune, par exemple (0 ; 15) et (10 ; 22) pour \(P_1\), (0 ; 11) et (10 ; 26) pour \(P_2\). Ensuite, le graphique ci-dessous répond aussi aux questions 4.b, 5, 6 et 8.a.
4. a. On regroupe les \(x\) d’un côté et les nombres de l’autre :
\[15 – 11 = 1{,}5x – 0{,}7x \quad \text{donc} \quad 4 = 0{,}8x \quad \text{donc} \quad x = \dfrac{4}{0{,}8} = 5\]
La solution est \(x = 5\). Interprétation : pour 5 cassettes louées dans le mois, les deux tarifs coûtent le même prix, \(0{,}7 \times 5 + 15 = 18{,}50\) €.
b. Sur le graphique, les deux droites se coupent au point de coordonnées (5 ; 18,5) : les pointillés vers les axes donnent bien 5 cassettes et 18,50 €.
5. Le tarif 1 est plus intéressant quand sa droite est en dessous de celle du tarif 2, c’est-à-dire à droite du point d’intersection, pour \(x\) supérieur à 5. Comme on loue un nombre entier de cassettes, il faut louer au moins 6 cassettes dans le mois pour que le tarif 1 soit plus intéressant.
Corrigé du problème : les tarifs de location de cassettes (suite)
6. On part de 29 sur l’axe des ordonnées, on rejoint horizontalement la droite du tarif 2, puis on descend sur l’axe des abscisses : on lit 12. Monsieur Avent a loué 12 cassettes. (Contrôle : \(1{,}5 \times 12 + 11 = 29\).)
7. a. Avec le tarif 1 : \(0{,}7x + 15 = 19{,}9\), donc \(0{,}7x = 4{,}9\) et \(x = \dfrac{4{,}9}{0{,}7} = 7\). Monsieur Comic a loué 7 cassettes.
b. Le prix moyen par cassette est le prix total (abonnement compris) divisé par le nombre de cassettes : \(\dfrac{19{,}90}{7} \approx 2{,}842\). Une cassette lui revient en moyenne à environ 2,84 €.
8. a. \(P_3(x) = 23\) pour tout \(x\) : c’est une fonction constante, représentée par la droite horizontale d’ordonnée 23 (en vert sur le graphique).
b. Le tarif 3 est le plus avantageux quand sa droite est en dessous des deux autres. Puis elle coupe la droite du tarif 2 en \(x = 8\) (car \(1{,}5x + 11 = 23\) donne \(x = 8\)) et celle du tarif 1 en \(x = \dfrac{8}{0{,}7} \approx 11{,}4\) (car \(0{,}7x + 15 = 23\)). Au-delà de 11,4, les deux autres droites sont au-dessus de 23.
Vérification sur des nombres entiers : pour 11 cassettes, le tarif 1 coûte 22,70 €, moins que 23 € ; pour 12 cassettes, il coûte 23,40 € et le tarif 2 coûte 29 €. Il faut louer au moins 12 cassettes dans le mois pour que le tarif 3 soit le plus avantageux.
Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2002 : France, groupement Nord, septembre.
Méthode pour exploiter le corrigé corrigé septembre 2002
Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.
En ce qui concerne les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Quant aux puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. De plus, dans les questions sur les agrandissements et réductions, calcule d’abord le coefficient d’agrandissement ou de réduction, puis applique-le aux longueurs, aux aires et aux volumes. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé septembre 2002 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé septembre 2002
Faut-il lire le corrigé corrigé septembre 2002 en entier ?
Non, pas forcément. Ensuite, en effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2002. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les puissances de 10, les agrandissements et réductions et les racines carrées. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. Par ailleurs, en outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé septembre 2002
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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