Corrigé du brevet de maths 2002 : Académie de Reims, septembre

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2002 : Académie de Reims, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Plan du corrigé corrigé Reims 2002

Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Reims 2002 est découpé en 8 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Calcul littéral » (activités numériques). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Statistiques au cinéma » (exercice 1). Puis tu trouves la solution rédigée de « Fonction affine » (exercice 2). Par ailleurs, le corrigé explique « Cercle et sinus » (exercice 3). En outre, la correction reprend « Triangle ABD et Thalès » (activités géométriques).

Ensuite, tu lis la démarche complète pour « QCM vecteurs dans un carré » (exercice 1 de géométrie). Puis tu trouves la solution rédigée de « Pyramide hexagonale » (exercice 2 de géométrie). Enfin, le corrigé explique « Abat-jour et réduction » (exercice 3 de géométrie).

Ainsi, le corrigé corrigé Reims 2002 te fait revoir le calcul littéral, les fonctions affines, les angles inscrits, la trigonométrie et le théorème de Pythagore, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.

Corrigé des activités numériques (Reims 2002)

Corrigé de l’exercice 1 : calcul littéral

1. D’abord, on développe le produit par double distributivité et le carré avec \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) :

\((2x-3)(x-4)=2x^2-8x-3x+12=2x^2-11x+12\)

\((2x-3)^2=4x^2-12x+9\)

Le signe « moins » devant le carré change tous les signes : \(A=2x^2-11x+12-4x^2+12x-9\), donc \(A=-2x^2+x+3\).

2. Pour \(x=\dfrac{3}{2}\), le plus simple est de partir de l’expression de départ : \(2x-3=2\times\dfrac{3}{2}-3=0\), donc les deux termes sont nuls et \(A=0\).

Contrôle avec la forme développée : \(-2\times\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{2}+3=-\dfrac{9}{2}+\dfrac{3}{2}+3=-3+3=0\).

Pour \(x=3\sqrt{2}\), on utilise la forme développée. On a \(x^2=(3\sqrt{2})^2=9\times2=18\), donc

\[A=-2\times18+3\sqrt{2}+3=-36+3+3\sqrt{2}\]

soit \(A=-33+3\sqrt{2}\).

3. Le facteur commun est \((2x-3)\) :

\(A=(2x-3)\big[(x-4)-(2x-3)\big]=(2x-3)(x-4-2x+3)\), donc \(A=(2x-3)(-x-1)\).

Vérification : \((2x-3)(-x-1)=-2x^2-2x+3x+3=-2x^2+x+3\).

4. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul.

\(2x-3=0\) donne \(x=\dfrac{3}{2}\) ; \(-x-1=0\) donne \(x=-1\).

L’équation a deux solutions : \(\dfrac{3}{2}\) et \(-1\). On retrouve au passage que A s’annule pour \(x=\dfrac{3}{2}\), comme à la question 2.

Corrigé de l’exercice 2 : spectateurs d’une salle de cinéma

1. La fréquence en pourcentage d’une classe s’obtient en divisant son effectif par l’effectif total, puis en multipliant par 100. Pour la classe [15 ; 25[ :

\[\dfrac{90}{288}\times100=31{,}25\]

De la même façon : \(\dfrac{54}{288}\times100=18{,}75\) et \(\dfrac{72}{288}\times100=25\).

Pour la classe [55 ; 65[, on connaît la fréquence : son effectif vaut \(288\times\dfrac{12{,}5}{100}=36\).

L’effectif de la classe [45 ; 55[ est ce qui reste : \(288-90-54-72-36=36\), ce qui fait aussi 12,50 %.

Contrôle : \(31{,}25+18{,}75+25+12{,}5+12{,}5=100\).

2. Les centres des classes sont 20, 30, 40, 50 et 60. Ensuite, on calcule la moyenne pondérée par les effectifs :

\[m=\dfrac{20\times90+30\times54+40\times72+50\times36+60\times36}{288}=\dfrac{1800+1620+2880+1800+2160}{288}=\dfrac{10260}{288}\]

donc \(m=35{,}625\) ans, soit environ 35,6 ans.

Corrigé de l’exercice 3 (Reims 2002) : fonction affine

1. \(f(3)=\dfrac{2}{3}\times3+1=2+1\), donc l’image de 3 est 3.

\(f(-3)=\dfrac{2}{3}\times(-3)+1=-2+1\), donc l’image de \(-3\) est \(-1\).

2. La représentation de \(f\) est une droite. Deux points suffisent pour la tracer ; la question 1 en fournit deux : (3 ; 3) et (−3 ; −1). Le point (0 ; 1), où l’ordonnée à l’origine vaut 1, sert de contrôle.

3. Graphiquement, on part de 5 sur l’axe des ordonnées, on rejoint horizontalement la droite, puis on descend verticalement sur l’axe des abscisses : on lit \(x=6\).

Par le calcul : \(\dfrac{2}{3}x+1=5\) donne \(\dfrac{2}{3}x=4\), puis \(x=4\times\dfrac{3}{2}\), soit \(x=6\).

Corrigé des activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : cercle, angles inscrits et sinus

1. Le point C est sur le cercle \(\mathcal{C}\) de diamètre [AE]. Or si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors il est rectangle, et l’angle droit est le sommet opposé à ce diamètre. Le triangle ACE est donc rectangle en C.

2. Les angles \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{AEC}\) sont deux angles inscrits dans le même cercle \(\mathcal{C}\), et ils interceptent le même arc \(\overset{\frown}{AC}\) (celui qui ne contient ni B ni E). Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure, donc \(\widehat{ABC}=\widehat{AEC}\).

3. [AH] est la hauteur issue de A, donc le triangle ABH est rectangle en H, d’hypoténuse [AB]. Le côté opposé à l’angle \(\widehat{ABH}\) est [AH] :

\[\sin\widehat{ABH}=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{2{,}5}{3}=\dfrac{5}{6}\]

La valeur exacte est \(\sin\widehat{ABH}=\dfrac{5}{6}\). À la calculatrice, \(\widehat{ABH}\approx56{,}4^\circ\).

Comme H est sur le segment [BC], l’angle \(\widehat{ABH}\) est le même que \(\widehat{ABC}\), qui est égal à \(\widehat{AEC}\) d’après la question 2. Donc \(\widehat{AEC}\approx56^\circ\) au degré près.

Corrigé de l’exercice 2 : triangle rectangle, rectangle et Thalès

1. Construction : trace [BD] de 10 cm, puis un arc de centre B et de rayon 6 cm et un arc de centre D et de rayon 8 cm ; leur point d’intersection est A.

2. Le plus grand côté est [BD]. Puis on compare \(BD^2=10^2=100\) et \(AB^2+AD^2=36+64=100\).

Comme \(BD^2=AB^2+AD^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en A.

3. L’égalité \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\) signifie que C est l’image de B par la translation qui transforme A en D. Elle se traduit par : les segments [AC] et [BD] ont le même milieu. ABCD est donc un parallélogramme.

Ce parallélogramme a un angle droit en A (question 2). Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle : ABCD est un rectangle.

4. Les points A, K, B sont alignés, les points A, S, D aussi, et les droites (KS) et (BD) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles AKS et ABD :

\[\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AS}{AD}=\dfrac{KS}{BD}\quad\text{donc}\quad\dfrac{4{,}5}{6}=\dfrac{AS}{8}\]

\(AS=\dfrac{4{,}5\times8}{6}=\dfrac{36}{6}\), soit \(AS=6\ \text{cm}\).

Corrigé de l’exercice 3 (Reims 2002) : QCM sur le carré PQRS

Rappel de la figure : P en haut à gauche, Q en haut à droite, R en bas à droite, S en bas à gauche. Dans le carré, \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{SR}\) et \(\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{QR}\).

Q₁. La relation de Chasles donne \(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}\) : c’est juste. Les deux autres sont fausses : \(\overrightarrow{SR}+\overrightarrow{RQ}=\overrightarrow{SQ}\) (et non \(\overrightarrow{QS}\)), et \(\overrightarrow{SP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{SQ}\) (et non \(\overrightarrow{SR}\)). Réponse : \(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}\).

Q₂. La somme de deux vecteurs de même origine s’obtient avec la diagonale du parallélogramme qu’ils forment. Depuis R, les côtés [RS] et [RQ] forment le carré, dont la diagonale issue de R est [RP] : \(\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{RQ}=\overrightarrow{RP}\). La première proposition donne \(\overrightarrow{SQ}\) et non \(\overrightarrow{QS}\). Réponse : \(\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{RQ}=\overrightarrow{RP}\).

Q₃. Comme \(\overrightarrow{SR}=\overrightarrow{PQ}\), la translation de vecteur \(\overrightarrow{SR}\) envoie P sur Q, pas sur R. Les diagonales \(\overrightarrow{PR}\) et \(\overrightarrow{SQ}\) n’ont pas la même direction, donc ces vecteurs ne sont pas égaux. En revanche \(\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{RS}\), donc la translation de vecteur \(\overrightarrow{QP}\) envoie R sur S. Réponse : R a pour image S par la translation de vecteur \(\overrightarrow{QP}\).

Q₄. Le sens direct est le sens inverse des aiguilles d’une montre. Autour de R, le segment [RQ] est vertical, dirigé vers le haut ; en le faisant tourner de 90° dans le sens direct, il devient horizontal, dirigé vers la gauche, c’est-à-dire [RS] (même longueur, car c’est un carré). Une rotation de 45° ne peut pas donner P, car \(RP=RQ\sqrt{2}\ne RQ\). Réponse : l’image de Q par la rotation de centre R et d’angle 90° dans le sens indiqué est S.

Corrigé du problème

Corrigé de la première partie : la pyramide à base hexagonale

1. Le triangle SOB est rectangle en O et OB = 26 cm (rayon du cercle). D’après le théorème de Pythagore :

\[SB^2=SO^2+OB^2=83^2+26^2=6889+676\]

donc \(SB^2=7\,565\) (en cm²).

2. Le triangle SAB est isocèle en S (face latérale de la pyramide régulière) et H est le milieu de [AB]. La droite (SH) est donc la médiane issue de S. Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi la hauteur, la médiatrice de la base et la bissectrice de l’angle au sommet. (SH) est la hauteur issue de S du triangle SAB (et la médiatrice de [AB]) : \((SH)\perp(AB)\).

3. Le triangle SHB est rectangle en H (question 2), avec \(HB=\dfrac{26}{2}=13\) cm. D’après le théorème de Pythagore :

\[SH^2=SB^2-HB^2=7565-169=7396\]

Or \(86^2=7396\), donc \(SH=86\ \text{cm}\).

4. [SH] est la hauteur relative à la base [AB] :

\[\mathcal{A}_{SAB}=\dfrac{AB\times SH}{2}=\dfrac{26\times86}{2}\]

soit \(\mathcal{A}_{SAB}=1\,118\ \text{cm}^2\).

5. Les six faces latérales sont des triangles isocèles superposables à SAB (la pyramide est régulière). L’aire latérale vaut donc \(6\times1118\), soit 6 708 cm².

Corrigé de la deuxième partie : l’abat-jour

1. Le coefficient de réduction est \(k=\dfrac{SO^{\prime}}{SO}=\dfrac{33{,}2}{83}\), soit \(k=0{,}4\).

Dans une réduction de rapport \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\). L’aire latérale de la petite pyramide SA′B′C′D′E′F′ est donc celle de la grande pyramide multipliée par \(0{,}4^2=0{,}16\) :

\[6708\times0{,}16=1073{,}28\ \text{cm}^2\]

L’abat-jour est la grande surface latérale privée de la petite : \(6708-1073{,}28\), soit 5 634,72 cm².

2. Si SO′ = \(x\), le coefficient de réduction est \(k=\dfrac{x}{83}\), et \(k^2=\dfrac{x^2}{83^2}=\dfrac{x^2}{6889}\).

L’aire latérale de la petite pyramide vaut \(6708\times\dfrac{x^2}{6889}\), donc l’aire de l’abat-jour vaut :

\[\mathcal{A}=6708-\dfrac{6708}{6889}x^2\]

C’est bien la formule demandée. Contrôle avec \(x=33{,}2\) : \(\dfrac{33{,}2^2}{6889}=0{,}16\), on retrouve 5 634,72 cm².

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2002 : Académie de Reims, septembre.

Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Reims 2002

Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.

Pour le calcul littéral, repère d’abord la forme de l’expression (produit, carré, différence de deux carrés), puis choisis l’identité adaptée. En ce qui concerne les fonctions affines, calcule l’image d’un nombre en remplaçant x, puis vérifie ton résultat en lisant le graphique. Quant aux angles inscrits, trace l’arc commun en couleur, ainsi tu vois tout de suite quels angles sont égaux. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de identités remarquables, puis reviens à la question.

Après avoir lu le corrigé corrigé Reims 2002, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.

Tes questions sur le corrigé corrigé Reims 2002

Faut-il lire le corrigé corrigé Reims 2002 en entier ?

Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.

Où trouver l’énoncé de ce sujet ?

L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2002. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.

Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?

On y retrouve principalement le calcul littéral, les fonctions affines, les angles inscrits et la trigonométrie. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.

Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?

C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.

Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Reims 2002

Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.

Télécharger ou imprimer cette fiche «corrigé du brevet de maths 2002 : Académie de Reims, septembre» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

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