Corrigé du brevet de maths 2015 : France

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Sommaire

Ce corrigé du brevet de maths 2015 (France, Antilles, Guyane) détaille les sept exercices. Tu y apprends à choisir la bonne formule de tableur, à calculer une moyenne et un pourcentage, puis à trancher les affirmations de quatre élèves grâce au calcul littéral. La figure de l’exercice 3 enchaîne Pythagore et Thalès, et l’exercice 4 passe en revue fonction, probabilité, puissances, PGCD et équation. Pour la façade du hangar, on calcule une aire composée avant de compter les pots et les mensualités. Enfin, on lit des graphiques de distances de réaction et de freinage, on distingue une situation proportionnelle d’une autre, et on relie pourcentage de pente et tangente d’un angle.

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2015 : France. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Corrigé de l’exercice 1 : la collecte de lait au tableur

1. Une formule de tableur commence toujours par le signe « = », ce qui élimine les deux premières propositions. La somme doit porter sur les six quantités, situées de B2 à B7 ; inclure B8 ferait intervenir la cellule même où l’on écrit la formule. La bonne réponse est =SOMME(B2 : B7).

2. On additionne les six quantités puis on divise par 6 :

\[ \dfrac{1\,250+2\,130+1\,070+2\,260+1\,600+1\,740}{6}=\dfrac{10\,050}{6}=1\,675 \]

La moyenne est de 1 675 L par exploitation.

3. On divise la quantité de « Petit Pas » par le total, puis on multiplie par 100 :

\[ \dfrac{2\,260}{10\,050}\times 100\approx 22{,}49 \]

Environ 22 % de la collecte provient de l’exploitation « Petit Pas ».

À retenir : un pourcentage « de la collecte » se calcule par partie ÷ total × 100 ; et dans un tableur, toute formule commence par « = ».

Corrigé de l’exercice 2 : le programme de calcul des quatre élèves

Commençons par tester les valeurs des élèves.

Avec 4 : \(4+8=12\), \(12\times 3=36\), \(36-24=12\), \(12-4=8\). On obtient 8 : Sophie a raison.

Avec 0 : \(0+8=8\), \(8\times 3=24\), \(24-24=0\), \(0-0=0\). On obtient 0 : Martin a raison.

Avec \(-3\) : \(-3+8=5\), \(5\times 3=15\), \(15-24=-9\), puis \(-9-(-3)=-9+3=-6\). On obtient \(-6\) et non \(-9\) : Gabriel a tort (il a oublié la dernière étape, enlever le nombre de départ).

Pour Faïza, il faut une preuve valable pour tous les nombres : on note \(x\) le nombre de départ et on suit le programme.

\[ 3(x+8)-24-x=3x+24-24-x=2x \]

Le résultat est toujours \(2x\), le double du nombre de départ : Faïza a raison. On retrouve d’ailleurs \(2\times 4=8\), \(2\times 0=0\) et \(2\times(-3)=-6\).

À retenir : des exemples peuvent prouver qu’une affirmation est fausse (un contre-exemple suffit), mais pour prouver qu’elle est vraie « pour n’importe quel nombre », il faut un calcul littéral avec \(x\).

Corrigé de l’exercice 3 : Pythagore puis Thalès

1. Le triangle DKA est rectangle en K, d’hypoténuse [DA]. D’après le théorème de Pythagore :

\[ \text{DA}^2=\text{DK}^2+\text{KA}^2 \quad\text{donc}\quad \text{KA}^2=60^2-11^2=3\,600-121=3\,479 \]

\[ \text{KA}=\sqrt{3\,479}\approx 58{,}98\ \text{cm} \]

Au millimètre près (donc au dixième de centimètre), KA ≈ 59,0 cm.

2. Les droites (DK) et (PH) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (KA), donc elles sont parallèles. Les points A, P, D d’une part et A, H, K d’autre part sont alignés : c’est une configuration de Thalès de sommet A. On a :

\[ \dfrac{\text{AP}}{\text{AD}}=\dfrac{\text{AH}}{\text{AK}}=\dfrac{\text{HP}}{\text{KD}} \]

Comme P est sur [DA], \(\text{AP}=\text{DA}-\text{DP}=60-45=15\) cm. Avec le premier et le dernier rapport :

\[ \dfrac{15}{60}=\dfrac{\text{HP}}{11} \quad\text{donc}\quad \text{HP}=\dfrac{15\times 11}{60}=2{,}75 \]

On obtient HP = 2,75 cm.

À retenir : deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles, ce qui ouvre la porte au théorème de Thalès ; pense à calculer d’abord la longueur manquante sur le bon côté (ici AP = AD − DP).

Corrigé de l’exercice 4 : cinq questions indépendantes

1. On remplace \(x\) par 3 : \(f(3)=-6\times 3+7=-18+7=-11\). L’image de 3 est \(-11\).

2. Arthur a \(3\times 2=6\) tenues possibles, toutes équiprobables puisqu’il choisit au hasard : (verte, vert), (verte, bleu), (bleue, vert), (bleue, bleu), (rouge, vert), (rouge, bleu). Une seule est entièrement verte. La probabilité est \(\dfrac{1}{6}\).

3. D’après les règles sur les puissances, \(2^{40}=2^{39+1}=2^{39}\times 2^1=2\times 2^{39}\). Donc Ariane a raison : \(2^{40}\) est bien le double de \(2^{39}\).

4. Un contre-exemple suffit : 6 est pair, 9 est impair, et pourtant 3 divise les deux, donc \(\text{PGCD}(6\,;9)=3\). Loïc a tort. (Ce qui est vrai, c’est que ce PGCD est forcément impair, mais pas forcément égal à 1.)

5. On regroupe les termes en \(x\) d’un côté et les nombres de l’autre :

\[ 5x-2=3x+7 \quad\text{donc}\quad 5x-3x=7+2 \quad\text{donc}\quad 2x=9 \quad\text{donc}\quad x=\dfrac{9}{2} \]

La solution est \(x=4{,}5\). Vérification : \(5\times 4{,}5-2=20{,}5\) et \(3\times 4{,}5+7=20{,}5\).

À retenir : pour réfuter une affirmation générale, un seul contre-exemple suffit ; et \(a^{n+1}=a\times a^n\), donc chaque puissance de 2 est le double de la précédente.

Corrigé de l’exercice 5 : peindre la façade du hangar

1. La façade se découpe en un rectangle ABDE et un triangle BCD posé dessus.

Le rectangle mesure 7,5 m sur 6 m : \(\mathcal{A}_{\text{rectangle}}=7{,}5\times 6=45\ \text{m}^2\).

Le triangle a pour base [BD], de même longueur que [AE], soit 7,5 m. Sa hauteur est la différence entre la hauteur totale et celle du rectangle : \(9-6=3\) m. Donc \(\mathcal{A}_{\text{triangle}}=\dfrac{7{,}5\times 3}{2}=11{,}25\ \text{m}^2\).

Surface à peindre : \(45+11{,}25=56{,}25\ \text{m}^2\).

Un pot couvre 24 m² en une seule couche : \(\dfrac{56{,}25}{24}\approx 2{,}34\). Deux pots ne suffisent pas (48 m² seulement), il en faut donc 3. Le coût minimum est :

\[ 3\times 103{,}45=310{,}35 \]

Il faut prévoir au minimum 310,35 €.

2. Aujourd’hui, Agnès paie \(\dfrac{2}{5}\times 343{,}50=137{,}40\) €. Il reste \(343{,}50-137{,}40=206{,}10\) €, soit les \(\dfrac{3}{5}\) de la facture, à partager en trois :

\[ \dfrac{206{,}10}{3}=68{,}70 \]

Chaque mensualité sera de 68,70 €.

À retenir : une aire composée se calcule en découpant la figure en formes simples ; et quand on achète des objets entiers (pots), on arrondit toujours à l’entier supérieur.

Corrigé de l’exercice 6 : distance de réaction et de freinage

1. La distance d’arrêt est la somme des deux distances : \(12{,}5+10=22{,}5\). Le scooter s’arrête en 22,5 m.

2. a. Sur le graphique de la distance de réaction, on part de 15 m sur l’axe vertical, on rejoint la droite, puis on descend sur l’axe des vitesses : on lit environ 54 km/h (une lecture autour de 55 km/h est acceptée, la précision du quadrillage étant de 5 km/h).

2. b. Une situation de proportionnalité est représentée par une droite passant par l’origine. Le graphique de la distance de freinage est une courbe, pas une droite : la distance de freinage n’est pas proportionnelle à la vitesse. On peut le confirmer : à 50 km/h on lit environ 12 m, mais à 100 km/h (vitesse doublée) on lit environ 49 m, soit à peu près quatre fois plus.

2. c. À 90 km/h, on lit une distance de réaction de 25 m et une distance de freinage d’environ 40 m. La distance d’arrêt est donc d’environ \(25+40=\) 65 m.

3. On remplace \(v\) par 110 dans la formule :

\[ \dfrac{110^2}{152{,}4}=\dfrac{12\,100}{152{,}4}\approx 79{,}4 \]

Sur route mouillée, à 110 km/h, la distance de freinage est d’environ 79 m.

À retenir : pour lire un graphique, pars de la valeur connue sur un axe, rejoins la courbe puis lis l’autre coordonnée ; seule une droite passant par l’origine traduit une proportionnalité.

Corrigé de l’exercice 7 : la pente d’une route

1. Dans le triangle ABC rectangle en B, pour l’angle \(\widehat{\text{BCA}}\), le côté opposé est [AB] (le dénivelé) et le côté adjacent est [BC] (le déplacement horizontal). On utilise la tangente :

\[ \tan\widehat{\text{BCA}}=\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}=\dfrac{10}{100}=0{,}1 \]

À la calculatrice (\(\tan^{-1}\), mode degrés), \(\widehat{\text{BCA}}\approx 5{,}7^\circ\), donc \(\widehat{\text{BCA}}\approx 6^\circ\) au degré près. Une pente de 10 % correspond donc à un angle assez faible.

2. On compare les deux indications sous la même forme, en pourcentage. « 1 : 5 » signifie 1 m de dénivelé pour 5 m horizontaux :

\[ \dfrac{1}{5}=\dfrac{20}{100}=20\ \% \]

Comme 20 % est plus que 15 %, c’est le panneau B qui indique la pente la plus forte.

À retenir : une pente en pourcentage est le rapport dénivelé ÷ déplacement horizontal, c’est-à-dire la tangente de l’angle avec l’horizontale ; pour comparer deux pentes, écris-les sous la même forme.

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