Corrigé du brevet de maths 2015 : Amérique du Nord
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2015 : Amérique du Nord. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Plan du corrigé corrigé Nord 2015
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Nord 2015 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 7 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « QCM de calcul » (exercice 1). Ensuite, la correction reprend « Graphique d’une étape cycliste » (exercice 2). Puis tu lis la démarche complète pour « Dés tétraédriques » (exercice 3). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Nombre pensé » (exercice 4). En outre, le corrigé explique « Thalès : motos et hélicoptères » (exercice 5).
Ensuite, la correction reprend « Classement du Tour de France » (exercice 6). Enfin, tu lis la démarche complète pour « Pyramide du Louvre » (exercice 7).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Nord 2015 sont les puissances de 10, les agrandissements et réductions, les aires, la proportionnalité et les probabilités, rédigées comme sur une copie.
Corrigé de l’exercice 1 (Nord 2015) : QCM de calcul
1. On regroupe les nombres décimaux d’un côté et les puissances de 10 de l’autre :
\[\dfrac{5 \times 1{,}2}{2{,}4} \times \dfrac{10^6 \times 10^{-8}}{10^5} = \dfrac{6}{2{,}4} \times \dfrac{10^{-2}}{10^5} = 2{,}5 \times 10^{-7}\]
\(2{,}5\) est bien compris entre 1 et 10, c’est donc l’écriture scientifique : réponse \(2{,}5 \times 10^{-7}\) (\(25 \times 10^{-8}\) a la même valeur mais n’est pas une écriture scientifique).
2. Ensuite, on remplace : \(\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{20} + \dfrac{4}{20} = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}\). Si l’inverse de \(R\) vaut \(\dfrac{1}{4}\), alors \(R = 4\) : réponse 4.
3. La baisse est de \(120 – 90 = 30\) €. Rapportée au prix de départ : \(\dfrac{30}{120} = 0{,}25\), soit 25 % : réponse 25 %.
4. Dans un agrandissement de coefficient \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\). Le rectangle de départ a une aire de \(5 \times 8 = 40\ \text{cm}^2\), donc l’aire obtenue vaut \(40 \times 2^2 = 160\ \text{cm}^2\). On le vérifie : le nouveau rectangle mesure 10 cm sur 16 cm et \(10 \times 16 = 160\). Réponse 160 cm².
Corrigé de l’exercice 2 : graphique d’une étape cycliste
1. a. Le dernier point du graphique a pour ordonnée 190 : l’étape mesure 190 km.
b. Puis on part de 100 sur l’axe des distances et on rejoint la courbe : on tombe entre les points (2 ; 70) et (3 ; 130), exactement au milieu, à l’abscisse 2,5. Les cent premiers kilomètres ont été parcourus en 2,5 heures, soit 2 h 30 min.
c. La dernière demi-heure va de 4 h à 4,5 h : la distance passe de 170 km à 190 km. Le cycliste a parcouru \(190 – 170 =\) 20 km.
2. Une situation de proportionnalité se représente par des points alignés avec l’origine. Ici, les points forment une ligne brisée et non une droite : il n’y a pas proportionnalité. On peut aussi comparer deux quotients : \(\dfrac{40}{1} = 40\) mais \(\dfrac{70}{2} = 35\). Explication : la vitesse du cycliste n’est pas constante, elle change selon le relief (montées, descentes), le vent ou la fatigue ; par exemple il ne fait que 30 km pendant la deuxième heure mais 60 km pendant la troisième.
Corrigé de l’exercice 3 : dés tétraédriques, fréquence et probabilité
1. La barre de la somme 3 monte jusqu’à 15 : la fréquence d’apparition de la somme 3 est 15 %.
2. Il n’y a pas de barre au-dessus de 1 : la fréquence de la somme 1 est 0 %. C’est normal : chaque dé donne au moins 1, donc la plus petite somme possible est \(1 + 1 = 2\). Obtenir 1 est impossible.
3. a. Pour distinguer les deux dés, appelle-les dé n° 1 et dé n° 2. Une somme de 3 s’obtient de deux façons : 1 sur le dé n° 1 et 2 sur le dé n° 2, ou 2 sur le dé n° 1 et 1 sur le dé n° 2.
b. Chaque dé a 4 faces équiprobables, donc il y a \(4 \times 4 = 16\) résultats possibles, tous de même probabilité. Deux d’entre eux donnent la somme 3 :
\[P(\text{somme } 3) = \dfrac{2}{16} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125\]
La probabilité d’obtenir 3 est 12,5 %. La fréquence de 15 % vient d’une simulation de 1 000 lancers : une fréquence observée fluctue d’une série à l’autre autour de la probabilité, sans lui être forcément égale. Plus on fait de lancers, plus elle a tendance à s’en rapprocher.
Corrigé de l’exercice 4 (Nord 2015) : retrouver le nombre pensé
Appelle \(x\) le nombre pensé et traduis chaque étape : on obtient \(x – 10\), puis \((x – 10)^2\), puis \((x – 10)^2 – x^2\).
Alors on développe avec l’identité remarquable \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) :
\[(x – 10)^2 – x^2 = x^2 – 20x + 100 – x^2 = -20x + 100\]
Le résultat vaut \(-340\), d’où l’équation \(-20x + 100 = -340\). On soustrait 100 : \(-20x = -440\), puis on divise par \(-20\) : \(x = 22\).
Vérification : \(22 – 10 = 12\), \(12^2 = 144\), \(22^2 = 484\) et \(144 – 484 = -340\). Le nombre pensé est 22.
Corrigé de l’exercice 5 : Thalès et les caméras de la course
1. La phrase utile est : « On considère que les deux hélicoptères se situent à la même altitude et que le peloton des coureurs roule sur une route horizontale. » H et L sont à la même hauteur, donc (HL) est horizontale ; la route (MN) est horizontale aussi : les deux droites sont parallèles.
2. Les points A, H, M sont alignés, ainsi que A, L, N, et les droites (HL) et (MN) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles AHL et AMN :
\[\dfrac{\text{AH}}{\text{AM}} = \dfrac{\text{AL}}{\text{AN}} = \dfrac{\text{HL}}{\text{MN}}\]
Ensuite, on travaille dans la même unité : AM = 1 km = 1 000 m. Donc \(\dfrac{720}{1\,000} = \dfrac{270}{\text{MN}}\), ce qui donne par produit en croix \(\text{MN} = \dfrac{270 \times 1\,000}{720} = 375\).
Les deux motos sont à 375 m l’une de l’autre.
Corrigé de l’exercice 6 : classement du Tour de France 2014
1. Konig a couru 81 h 00 min et Nibali 80 h 45 min. De 80 h 45 min à 81 h 00 min, il y a 15 minutes. L’écart est de 15 min.
2. a. Nibali a le temps le plus court et Konig le plus long (à égalité avec Ten Dam) : la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série est l’étendue.
b. Les neuf temps sont déjà rangés dans l’ordre croissant. Avec 9 valeurs, la médiane est la 5e : il y a 4 valeurs avant et 4 après. La 5e valeur est le temps de Romain Bardet : la médiane vaut 80 h 55 min.
c. Thibaut Pinot a parcouru 3 260,5 km en 80 h 52 min. On convertit la durée en heures : \(52\ \text{min} = \dfrac{52}{60}\ \text{h}\), donc la durée vaut \(80 + \dfrac{52}{60}\) h, soit environ 80,867 h.
\[v = \dfrac{3\,260{,}5}{80 + \frac{52}{60}} \approx 40{,}3\ \text{km/h}\]
Arrondie à l’unité, sa vitesse moyenne est d’environ 40 km.h−1.
Corrigé de l’exercice 7 : la Pyramide du Louvre
1. Étape 1 : la demi-diagonale AH. La base ABCD est un carré, donc le triangle ABC est rectangle en B. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 35{,}5^2 + 35{,}5^2 = 2\,520{,}5\]
Les diagonales d’un carré se coupent en leur milieu H, donc \(\text{AH} = \dfrac{\text{AC}}{2}\) et \(\text{AH}^2 = \dfrac{2\,520{,}5}{4} = 630{,}125\).
Étape 2 : la hauteur SH. La hauteur [SH] est perpendiculaire à la base, donc le triangle SAH est rectangle en H, d’hypoténuse [SA]. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{SH}^2 = \text{SA}^2 – \text{AH}^2 = 33{,}14^2 – 630{,}125 = 1\,098{,}259\,6 – 630{,}125 = 468{,}134\,6\]
D’où \(\text{SH} = \sqrt{468{,}134\,6} \approx 21{,}636\). La hauteur de la Pyramide du Louvre est d’environ 21,64 m.
2. a. À l’échelle 1/800, toutes les longueurs réelles sont divisées par 800. On les convertit d’abord en centimètres :
- côté de la base : \(3\,550\ \text{cm} \div 800 = 4{,}4375\ \text{cm}\), soit 4,4 cm (44 mm) ;
- arêtes latérales : \(3\,314\ \text{cm} \div 800 = 4{,}1425\ \text{cm}\), soit 4,1 cm (41 mm).
b. Le patron est formé d’un carré et de quatre triangles isocèles identiques posés sur ses côtés. Construction pas à pas :
- trace le carré ABCD de côté 4,4 cm à l’équerre et à la règle ;
- sur le côté [AB], pique le compas en A avec un écartement de 4,1 cm et trace un arc à l’extérieur du carré, puis fais de même depuis B ; le point d’intersection des deux arcs est un sommet S ;
- relie S à A et à B ;
- recommence sur les côtés [BC], [CD] et [DA] : on obtient quatre sommets S ;
- laisse les arcs de compas visibles, ce sont les traits de construction demandés.
Ce dessin n’est pas en vraie grandeur : sur ta copie, respecte les mesures au millimètre.
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Bien réviser avec le corrigé corrigé Nord 2015
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
En ce qui concerne les puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. Quant aux agrandissements et réductions, calcule d’abord le coefficient d’agrandissement ou de réduction, puis applique-le aux longueurs, aux aires et aux volumes. Dans les questions sur les aires, écris la formule avant de remplacer, puis donne l’unité d’aire au carré. Au besoin, la définition de la notion de notation scientifique sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé Nord 2015 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Nord 2015
Faut-il lire le corrigé corrigé Nord 2015 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2015. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les puissances de 10, les agrandissements et réductions, les aires et la proportionnalité. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Nord 2015
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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