Corrigé du brevet de maths 2002 : Académie de Lyon

Corrigé de maths – Brevet 2002 : Académie de Lyon – Maths-pdf.fr

Sommaire

Ce corrigé du brevet 2002 de Lyon (juin, groupement Besançon, Dijon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg) reprend chaque question en détail. En numérique, tu revois la priorité de la multiplication dans une somme de fractions, la réduction de racines carrées de même radical, les quotients de puissances de 10, puis la factorisation par un facteur commun et l’équation produit. Le PGCD de 540 et 300 donne directement la taille des plus grandes dalles possibles, et le diagramme sert à une moyenne pondérée. En géométrie, on corrige une coquille de l’énoncé du pavé avant d’utiliser la tangente et le volume d’une pyramide, on montre avec Thalès que deux droites ne sont pas parallèles, puis on relie somme de vecteurs, parallélogrammes et translation. Le problème traduit deux tarifs en fonctions et lit leur point d’égalité sur un graphique.

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2002 : Académie de Lyon. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Vue d’ensemble du corrigé corrigé Lyon 2002

Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Lyon 2002 est découpé en 8 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Fraction, racines et puissances » (activités numériques). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Développer et factoriser D » (exercice 1 de la partie numérique). Puis tu trouves la solution rédigée de « PGCD et dalles de moquette » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, le corrigé explique « Notes du contrôle de français » (exercice 3 de la partie numérique). Puis en outre, la correction reprend « Pavé à base carrée » (exercice 4 de la partie numérique).

Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Parallèles ou pas » (activités géométriques). Puis tu trouves la solution rédigée de « Parallélogramme et translation » (exercice 1 de géométrie). Enfin, le corrigé explique « Deux tarifs pour un vin » (exercice 2 de géométrie).

Ainsi, le corrigé corrigé Lyon 2002 te fait revoir les fractions, les agrandissements et réductions, les racines carrées, les puissances de 10 et les équations, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.

Activités numériques (corrigé Lyon 2002)

Corrigé de l’exercice 1 : fraction, racines et écriture scientifique

1. On effectue d’abord la multiplication, prioritaire, en simplifiant par 3 :

\[\dfrac{3}{5}\times\dfrac{11}{6}=\dfrac{3\times11}{5\times3\times2}=\dfrac{11}{10}\]

\[\text{A}=\dfrac{7}{5}+\dfrac{11}{10}=\dfrac{14}{10}+\dfrac{11}{10}=\dfrac{25}{10}=\dfrac{5\times5}{5\times2}=\dfrac{5}{2}\]

\(\text{A}=\dfrac{5}{2}\), fraction irréductible (5 et 2 n’ont pas de diviseur commun autre que 1).

2. \(20=4\times5\) et \(45=9\times5\), donc \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) et \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\).

\[\text{B}=2\sqrt{5}-2\sqrt{5}-3\times3\sqrt{5}=-9\sqrt{5}\]

\(\text{B}=-9\sqrt{5}\), donc \(a=-9\).

3. Ensuite, on sépare les nombres et les puissances de 10 :

\[\text{C}=\dfrac{4\times12}{3}\times\dfrac{10^{14}}{10^{11}}=16\times10^{3}=1{,}6\times10^{1}\times10^{3}\]

\(\text{C}=1{,}6\times10^{4}\) (soit 16 000).

À retenir : dans une écriture scientifique \(a\times10^n\), le nombre \(a\) a un seul chiffre non nul avant la virgule ; ajuste l’exposant en conséquence.

Corrigé de l’exercice 2 : l’expression D

1. \((4x-1)^2=16x^2-8x+1\) (identité \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)) et \((x+3)(4x-1)=4x^2-x+12x-3=4x^2+11x-3\).

\[D=16x^2-8x+1+4x^2+11x-3=20x^2+3x-2\]

\(D=20x^2+3x-2\).

2. \((4x-1)\) est un facteur commun aux deux termes :

\[D=(4x-1)\left[(4x-1)+(x+3)\right]=(4x-1)(5x+2)\]

\(D=(4x-1)(5x+2)\). Contrôle : \((4x-1)(5x+2)=20x^2+8x-5x-2=20x^2+3x-2\).

3. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(4x-1=0\) donne \(x=\dfrac{1}{4}\) et \(5x+2=0\) donne \(x=-\dfrac{2}{5}\).

Les solutions sont \(\dfrac{1}{4}\) et \(-\dfrac{2}{5}\).

À retenir : la forme factorisée sert à résoudre l’équation \(D=0\) ; la forme développée sert à vérifier la factorisation.

Corrigé de l’exercice 3 (Lyon 2002) : les dalles de moquette

1. Algorithme d’Euclide :

\(540=300\times1+240\)
\(300=240\times1+60\)
\(240=60\times4+0\)

Le dernier reste non nul est 60 : PGCD(540 ; 300) = 60.

2. a. Puis on travaille en centimètres : la pièce mesure 540 cm sur 300 cm. Ensuite, pour la couvrir sans découpe, le côté des dalles doit diviser à la fois 540 et 300 : c’est un diviseur commun. Moins il y a de dalles, plus elles sont grandes : on prend le plus grand diviseur commun, 60. Chaque dalle mesure 60 cm de côté.

b. Dans la longueur : \(540\div60=9\) dalles ; dans la largeur : \(300\div60=5\) dalles. Au total, \(9\times5=45\). Alors on utilise 45 dalles.

À retenir : « le plus grand carré qui pave exactement un rectangle » est un problème de PGCD : son côté est le PGCD des deux dimensions, exprimées dans la même unité.

Corrigé de l’exercice 4 : notes du contrôle de français

D’abord, on lit la hauteur de chaque bâton :

Note	6	7	8	9	10	12	13	15
Effectif	2	3	5	1	4	1	6	3

1. \(2+3+5+1+4+1+6+3=25\). La classe compte 25 élèves.

2. Moyenne pondérée par les effectifs :

\[\bar{x}=\dfrac{6\times2+7\times3+8\times5+9\times1+10\times4+12\times1+13\times6+15\times3}{25}=\dfrac{12+21+40+9+40+12+78+45}{25}=\dfrac{257}{25}\]

\(\dfrac{257}{25}=\dfrac{1\,028}{100}=10{,}28\). La moyenne est 10,28. C’est une valeur exacte, car 25 divise 100.

À retenir : pour une moyenne à partir d’un diagramme, multiplie chaque valeur par son effectif, additionne, puis divise par l’effectif total (et non par le nombre de bâtons).

Activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : le pavé à base carrée

Deux coquilles dans l’énoncé : BF vaut 4,5 cm (et non 4,5 m), et la longueur égale à 4,5 cm est CG, pas DG. Puis en effet, DG est la diagonale de la face DCGH : \(\text{DG}^2=6^2+4{,}5^2=56{,}25\), donc DG = 7,5 cm. De plus, on démontre donc que CG = 4,5 cm, ce qui sert dans la suite.

1. BCGF est une face du pavé droit, c’est un rectangle : ses côtés opposés [BF] et [CG] ont la même longueur. CG = BF = 4,5 cm. (Et la diagonale DG mesure 7,5 cm.)

2. La face DCGH est un rectangle, donc le triangle DCG est rectangle en C. Ensuite, pour l’angle \(\widehat{\text{CDG}}\), [CG] est le côté opposé et [DC] le côté adjacent, avec DC = AB = 6 cm (base carrée) :

\[\tan\widehat{\text{CDG}}=\dfrac{\text{CG}}{\text{DC}}=\dfrac{4{,}5}{6}=0{,}75\]

À la calculatrice, \(\widehat{\text{CDG}}\approx36{,}87°\). \(\widehat{\text{CDG}}\approx37°\) au degré près. (Avec \(\cos\widehat{\text{CDG}}=\dfrac{6}{7{,}5}=0{,}8\), on trouve la même valeur.)

3. La pyramide ABCDG a pour base le carré ABCD, d’aire \(6\times6=36\ \text{cm}^2\), et pour sommet G. Par ailleurs, l’arête [CG] est perpendiculaire à la base, donc la hauteur est CG = 4,5 cm.

\[V=\dfrac{\text{aire de la base}\times\text{hauteur}}{3}=\dfrac{36\times4{,}5}{3}=\dfrac{162}{3}=54\]

Le volume de la pyramide ABCDG est 54 cm³.

À retenir : dans un pavé droit, chaque face est un rectangle, ce qui fournit des triangles rectangles pour Pythagore et la trigonométrie ; une arête verticale peut servir de hauteur de pyramide.

Corrigé de l’exercice 2 (Lyon 2002) : parallèles ou pas ?

1. A est sur [OB], donc \(\text{OB}=\text{OA}+\text{AB}=8{,}5+11{,}5=20\). C est sur [OD], donc \(\text{OD}=\text{OC}+\text{CD}=5+7=12\). OB = 20 cm et OD = 12 cm.

2. Les points O, A, B sont alignés, ainsi que O, C, D. Ensuite, on calcule les deux rapports :

\[\dfrac{\text{OA}}{\text{OB}}=\dfrac{8{,}5}{20}=0{,}425\qquad\dfrac{\text{OC}}{\text{OD}}=\dfrac{5}{12}\approx0{,}417\]

Pour comparer sans arrondi, on fait les produits en croix : \(8{,}5\times12=102\) et \(5\times20=100\). Comme \(102\neq100\), les rapports sont différents.

Si (AC) et (BD) étaient parallèles, le théorème de Thalès imposerait \(\dfrac{\text{OA}}{\text{OB}}=\dfrac{\text{OC}}{\text{OD}}\). Puis ce n’est pas le cas : les droites (AC) et (BD) ne sont pas parallèles.

À retenir : si les rapports de Thalès sont différents, les droites ne sont pas parallèles (contraposée du théorème) ; compare les fractions avec des produits en croix pour éviter les arrondis trompeurs.

Corrigé de l’exercice 3 : vecteurs et translation dans le parallélogramme

1. O est le milieu de [AC], donc O est sur la droite (AC). Comme (BC) est perpendiculaire à (AC), le triangle OCB est rectangle en C. Or le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour centre le milieu de l’hypoténuse. Le centre I est le milieu de [OB] ; on trace le cercle de centre I et de rayon IO, qui passe par O, B et C.

2. Point M : \(\overrightarrow{\text{OM}}=\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}\) signifie que OBMC est un parallélogramme. Ensuite, on construit M comme quatrième sommet : par exemple, on reporte au compas CM = OB et BM = OC.

Point P : O est le milieu de [BD], donc \(\overrightarrow{\text{OD}}=\overrightarrow{\text{BO}}\). Ainsi \(\overrightarrow{\text{BP}}=\overrightarrow{\text{BC}}+\overrightarrow{\text{BO}}\) : BCPO est un parallélogramme (de sommets B, C, P, O dans cet ordre). Puis on construit P tel que CP = BO et OP = BC.

3. a. OBMC est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{\text{BM}}=\overrightarrow{\text{OC}}\). De plus, la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{OC}}\) envoie O sur C et B sur M. C’est la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{OC}}\).

b. BCPO est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{\text{OP}}=\overrightarrow{\text{BC}}\). Ensuite, on calcule \(\overrightarrow{\text{DP}}\) par la relation de Chasles :

\[\overrightarrow{\text{DP}}=\overrightarrow{\text{DO}}+\overrightarrow{\text{OP}}=\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{OC}}\]

(on a utilisé \(\overrightarrow{\text{DO}}=\overrightarrow{\text{OB}}\) car O est le milieu de [DB]). Donc la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{OC}}\) transforme D en P.

c. Les points D, O, B sont alignés (O est le milieu de [DB]). Par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{OC}}\), leurs images sont respectivement P, C et M. Par ailleurs, une translation conserve l’alignement : les points P, C, M sont alignés. De plus, comme O est le milieu de [DB], C est le milieu de [PM].

À retenir : \(\overrightarrow{\text{OM}}=\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}\) se traduit par « OBMC est un parallélogramme » ; et une translation transforme trois points alignés en trois points alignés.

Problème

Corrigé du problème : les deux tarifs du viticulteur

1. Au tarif 1, on multiplie le nombre de bouteilles par 7,50 ; au tarif 2, on multiplie par 6 puis on ajoute 18. Puis pour les cases vides de la ligne « nombre de bouteilles », on remonte le calcul : au tarif 2, \(78-18=60\) et \(60\div6=10\) bouteilles ; au tarif 1, \(97{,}50\div7{,}50=13\) bouteilles.

Nombre de bouteilles	1	5	10	13	15
Prix au tarif 1 en €	7,50	37,50	75	97,50	112,50
Prix au tarif 2 en €	24	48	78	96	108

2. Pour \(x\) bouteilles : \(\text{P}_1=7{,}5x\) et \(\text{P}_2=6x+18\).

3. \(f\) est linéaire : sa droite passe par l’origine et par le point (10 ; 75). \(g\) est affine : sa droite passe par (0 ; 18) et par (10 ; 78). Avec 1 cm pour 1 bouteille et 1 cm pour 10 €, la figure tient dans 15 cm sur 12 cm environ.

4. a. Puis on part de 6 en abscisse et on monte jusqu’aux deux droites : on lit 45 € sur la droite de \(f\) et 54 € sur celle de \(g\). Ensuite, la droite du tarif 1 est en dessous : pour 6 bouteilles, le tarif 1 est le plus avantageux (45 € contre 54 €).

b. Ensuite, on trace la droite horizontale d’ordonnée 70. Puis elle coupe la droite de \(f\) vers \(x\approx9{,}3\) et celle de \(g\) vers \(x\approx8{,}7\). De plus, on ne peut acheter qu’un nombre entier de bouteilles : 9 au tarif 1 (67,50 €) et 8 au tarif 2 (66 €). Avec 70 €, le tarif 1 permet d’acheter le plus de bouteilles : 9 bouteilles.

Corrigé du problème : les deux tarifs du viticulteur (suite)

5. a. Les deux prix sont égaux au point d’intersection des deux droites. Puis on lit ses coordonnées : pour 12 bouteilles, le prix est le même, 90 €.

b. Alors on résout \(7{,}5x=6x+18\) :

\[7{,}5x-6x=18\quad\text{soit}\quad1{,}5x=18\quad\text{donc}\quad x=\dfrac{18}{1{,}5}=12\]

Et \(7{,}5\times12=90\), \(6\times12+18=72+18=90\). Le calcul confirme : 12 bouteilles pour 90 € avec les deux tarifs. Au-delà de 12 bouteilles, le tarif 2 devient plus intéressant.

À retenir : comparer deux tarifs revient à comparer deux fonctions ; la droite la plus basse donne le tarif le moins cher, et l’intersection correspond au nombre d’articles pour lequel les tarifs sont égaux.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2002 : Académie de Lyon.

Comment utiliser le corrigé corrigé Lyon 2002

Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.

Pour les fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. Ensuite, en ce qui concerne les agrandissements et réductions, souviens-toi que les aires sont multipliées par k² et les volumes par k³, donc repère bien le coefficient k. Quant aux racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de fraction, puis reviens à la question.

Après avoir lu le corrigé corrigé Lyon 2002, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.

Tes questions sur le corrigé corrigé Lyon 2002

Faut-il lire le corrigé corrigé Lyon 2002 en entier ?

Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.

Où trouver l’énoncé de ce sujet ?

L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2002. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.

Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?

On y retrouve principalement les fractions, les agrandissements et réductions, les racines carrées et les puissances de 10. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.

Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?

C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.

Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Lyon 2002

Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.

Les autres corrigés du brevet 2002

Tous les sujets classés par année : brevet de maths.

Voter.. post

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «corrigé du brevet de maths 2002 : Académie de Lyon» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

Maths PDF c'est 16 200 933 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.