Sujet du brevet de maths 2002 : Académie de Bordeaux

Activités numériques 12 points

Exercice 1

1. Développer et réduire l’expression \(P=(x+12)(x+2)\).

2. Factoriser l’expression : \(Q=(x+7)^2-25\).

3. ABC est un triangle rectangle en A ; \(x\) désigne un nombre positif ; \(BC=x+7\) ; \(AB=5\).

Faire un schéma et montrer que : \(AC^2=x^2+14x+24\).

Exercice 2

Résoudre chacune des deux équations

\[3(5+3x)-(x-3)=0 \qquad ; \qquad 3(5+3x)(x-3)=0.\]

Exercice 3

Sur la couverture d’un livre de géométrie sont dessinées des figures ; celles-ci sont des triangles ou des rectangles qui n’ont aucun sommet commun.

1. Combien de sommets compterait-on s’il y avait 4 triangles et 6 rectangles, soit 10 figures en tout ?

2. En fait, 18 figures sont dessinées et on peut compter 65 sommets en tout. Combien y a t-il de triangles et de rectangles sur cette couverture de livre ?

Exercice 4

En indiquant les calculs intermédiaires, écrire A sous la forme d’un nombre entier et B sous la forme \(a\sqrt{3}\) (avec \(a\) entier).

\[A=\left(3\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)-2\sqrt{2}\]

\[B=5\sqrt{27}+\sqrt{75}.\]

Activités géométriques 11 points

Exercice 1

Pour traiter cet exercice, utiliser du papier millimétré.

Le plan est muni d’un repère orthonormal (O, I, J). L’unité de longueur est le centimètre.

1. a. Placer les points : \(A(3~;~-5)\) et \(B(-2~;~5)\).

b. Donner les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\). (Aucune justification n’est demandée.)

c. Calculer la valeur exacte de la longueur AB.

2. a. Placer le point \(C(-2~;~-4)\) et le point D, image du point C par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

b. Quelles sont les coordonnées du point D ? (aucune justification n’est demandée).

c. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC et quelles sont les coordonnées du point M intersection des droites (AD) et (BC) ? (Justifier ces deux réponses).

Exercice 2

Dans une boîte cubique dont l’arête mesure 7 cm, on place une boule de 7 cm de diamètre (voir le schéma).

Le volume de la boule correspond à un certain pourcentage du volume de la boîte. On appelle ce pourcentage « taux de remplissage de la boîte ».

Calculer ce taux de remplissage de la boîte. Arrondir ce pourcentage à l’entier le plus proche.

Exercice 3

[AC] et [EF] sont deux segments sécants en B. On connaît AB = 6 cm et BC = 10 cm ; EB = 4,8 cm et BF = 8 cm.

1. Faire un dessin en vraie grandeur.

2. Les droites (AE) et (FC) sont-elles parallèles ? Justifier.

3. Les droites (AF) et (EC) sont-elles parallèles ? Justifier.

Questions enchaînées 12 points

Construire un triangle MNP tel que

PN = 13 cm ; PM = 5 cm ; MN = 12 cm.

Partie A

1. Prouver que ce triangle MNP est rectangle en M.

2. Calculer son périmètre et son aire.

3. Tracer le cercle circonscrit au triangle MNP ; préciser la position de son centre O et la mesure de son rayon.

4. Calculer la tangente de l’angle \(\widehat{PNM}\) ; en déduire une mesure approchée de cet angle à 1° près.

Partie B

\(A\) est un point quelconque du côté [PM].

On pose : \(AM=x\). (\(x\) est donc un nombre compris entre 0 et 5).

La parallèle à (PN) passant par \(A\) coupe le segment [MN] en \(B\).

1. En précisant la propriété utilisée, exprimer \(MB\) et \(AB\) en fonction de \(x\).

2. Exprimer, en fonction de \(x\), le périmètre du triangle \(AMB\).

3. Résoudre l’équation : \(x+\dfrac{12x}{5}+\dfrac{13x}{5}=18\).

4. a. Faire une nouvelle figure en plaçant le point \(A\) de façon que le périmètre du triangle \(AMB\) soit 18 cm.

b. Quelle est alors l’aire du triangle \(AMB\) ?

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