Corrigé du brevet de maths 2001 : Académie de Reims, septembre

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2001 : Académie de Reims, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Plan du corrigé corrigé Reims 2001

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Reims 2001 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 8 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « Fractions et puissances de 10 » (activités numériques). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Expressions avec racine de 5 » (exercice 1 de la partie numérique). Puis le corrigé explique « Développer et factoriser » (exercice 2 de la partie numérique). Par ailleurs, la correction reprend « PGCD et carrelage » (exercice 3 de la partie numérique). En outre, tu lis la démarche complète pour « Pyramide et section » (exercice 4 de la partie numérique).

Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Parallélogrammes et vecteurs » (activités géométriques). Puis le corrigé explique « Système et droites » (exercice 1 de géométrie). Enfin, la correction reprend « Partage du périmètre d’un triangle » (exercice 2 de géométrie).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Reims 2001 sont les fractions, les puissances de 10, les racines carrées, les diviseurs communs et les pyramides et les cônes, rédigées comme sur une copie.

Activités numériques (corrigé Reims 2001)

Corrigé de l’exercice 1 : fractions et puissances de 10

Calcul de A. La multiplication est prioritaire :

\[ \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{18} = \dfrac{5}{9} \]

\[ A = \dfrac{7}{3} + \dfrac{5}{9} = \dfrac{21}{9} + \dfrac{5}{9} = \dfrac{26}{9} \]

26 = 2 × 13 et 9 = 3 × 3 n’ont aucun facteur commun : \(A = \dfrac{26}{9}\) est irréductible.

Calcul de B. Ensuite, on regroupe les puissances de 10 :

\[ B = \dfrac{30}{5} \times \dfrac{10^{5} \times 10^{-2}}{10^{2}} = 6 \times \dfrac{10^{3}}{10^{2}} = 6 \times 10^{1} = 60 \]

B = 60.

Corrigé de l’exercice 2 : deux écritures du même nombre

D’abord, on développe D par double distributivité, en utilisant \(\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5\) :

\[ D = 2\sqrt{5} \times \sqrt{5} – 2\sqrt{5} \times 2 + 2 \times \sqrt{5} – 2 \times 2 = 10 – 4\sqrt{5} + 2\sqrt{5} – 4 = 6 – 2\sqrt{5} \]

Puis on développe E avec l’identité \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) :

\[ E = (\sqrt{5})^2 – 2 \times \sqrt{5} \times 1 + 1^2 = 5 – 2\sqrt{5} + 1 = 6 – 2\sqrt{5} \]

Les deux nombres valent \(6 – 2\sqrt{5}\) : D = E.

Corrigé de l’exercice 3 (Reims 2001) : développer, factoriser, résoudre

L’expression s’appelle F dans la phrase d’introduction et E dans les questions : il s’agit de la même expression, notée F ci-dessous.

1. Alors on développe chaque morceau :

\[ (2x-3)^2 = 4x^2 – 12x + 9 \]

\[ (2x-3)(2-x) = 4x – 2x^2 – 6 + 3x = -2x^2 + 7x – 6 \]

Attention au signe « − » devant le produit, qui change tous les signes :

\[ F = 4x^2 – 12x + 9 + 2x^2 – 7x + 6 = 6x^2 – 19x + 15 \]

\(F = 6x^2 – 19x + 15\).

2. Le facteur \((2x-3)\) est commun aux deux termes (car \((2x-3)^2 = (2x-3)(2x-3)\)) :

\[ F = (2x-3)\big[(2x-3) – (2-x)\big] = (2x-3)(2x – 3 – 2 + x) = (2x-3)(3x-5) \]

\(F = (2x-3)(3x-5)\). Contrôle : \((2x-3)(3x-5) = 6x^2 – 10x – 9x + 15 = 6x^2 – 19x + 15\).

3. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

\[ 2x – 3 = 0 \quad \text{ou} \quad 3x – 5 = 0 \quad \text{donc} \quad x = \dfrac{3}{2} \quad \text{ou} \quad x = \dfrac{5}{3} \]

Les solutions sont \(\dfrac{3}{2}\) et \(\dfrac{5}{3}\).

Corrigé de l’exercice 4 : PGCD et carrelage

1. Algorithme d’Euclide (divisions successives) :

• \(315 = 280 \times 1 + 35\) ;
• \(280 = 35 \times 8 + 0\).

Le dernier reste non nul est 35 : PGCD(280 ; 315) = 35.

2. a. Pour paver sans découpe, le côté de la dalle doit diviser à la fois 280 et 315 : c’est un diviseur commun. La plus grande dalle possible a donc pour côté le plus grand diviseur commun, soit 35 cm.

2. b. Dans la largeur, on place \(280 : 35 = 8\) dalles ; dans la longueur, \(315 : 35 = 9\) dalles. Il faut donc \(8 \times 9 = 72\) dalles, soit 72 dalles.

Activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : pyramide et section

1. Aire du rectangle ABCD : \(72 \times 30 = 2\,160\) mm². La hauteur de la pyramide est SD = 75 mm, puisque [SD] est perpendiculaire à la base.

\[ V = \dfrac{1}{3} \times 2\,160 \times 75 = 54\,000 \]

Aire de ABCD : 2 160 mm² ; volume de SABCD : 54 000 mm³.

2. [SD] est perpendiculaire au plan de la base, donc à la droite (DA) : le triangle SDA est rectangle en D. De plus DA = BC = 30 mm (côtés opposés du rectangle). D’après le théorème de Pythagore :

\[ SA^2 = SD^2 + DA^2 = 75^2 + 30^2 = 5\,625 + 900 = 6\,525 \quad \text{donc} \quad SA = \sqrt{6\,525} \approx 80{,}8 \]

SA ≈ 81 mm au millimètre près.

L’angle noté \(\widehat{QSD}\) dans l’énoncé est l’angle \(\widehat{ASD}\) (il n’y a pas de point Q sur la figure). Dans le triangle SDA rectangle en D, [DA] est le côté opposé à cet angle et [SD] le côté adjacent :

\[ \tan \widehat{ASD} = \dfrac{DA}{SD} = \dfrac{30}{75} = 0{,}4 \]

La calculatrice donne \(\widehat{ASD} \approx 21{,}8^\circ\), soit \(\widehat{ASD} \approx 22^\circ\).

3. a. Le coefficient de réduction est le rapport des hauteurs :

\[ k = \dfrac{SH}{SD} = \dfrac{50}{75} = \dfrac{2}{3} \]

\(k = \dfrac{2}{3}\).

3. b. Dans une réduction de rapport \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\) et les volumes par \(k^3\) :

\[ \mathcal{A}_{EFGH} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 \times 2\,160 = \dfrac{4}{9} \times 2\,160 = 960 \]

\[ V_{SEFGH} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 \times 54\,000 = \dfrac{8}{27} \times 54\,000 = 16\,000 \]

Aire de EFGH : 960 mm² ; volume de SEFGH : 16 000 mm³. Contrôle : \(\dfrac{1}{3} \times 960 \times 50 = 16\,000\).

Corrigé de l’exercice 2 (Reims 2001) : parallélogrammes et vecteurs

1. Pour construire E tel que \(\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AC}\), on trace à partir de D un segment parallèle à [AC], de même longueur et de même sens : ACED est un parallélogramme. Puis F est tel que \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AB}\) : depuis E, on reporte le vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

2. ABCD est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). Par construction \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AB}\), donc \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{DC}\). Or \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{EF}\) signifie que DCFE est un parallélogramme. DCFE est un parallélogramme.

3. D’après la règle du parallélogramme, \(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{CH}\) signifie que CBHF est un parallélogramme : on trace par B la parallèle à (CF) et par F la parallèle à (CB) ; elles se coupent en H.

4. Établissons trois égalités de vecteurs.

• ACED est un parallélogramme (car \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DE}\)), donc \(\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AD}\). Et \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) car ABCD est un parallélogramme. Donc \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CE}\) : C est le milieu de [BE].
• DCFE est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AC}\). Ainsi \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CF}\) : C est le milieu de [AF].
• \(\overrightarrow{CH} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}\) (relation de Chasles), et \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). Donc \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CH}\) : C est le milieu de [DH].

Attention : l’énoncé cite [AH], mais C n’est pas le milieu de [AH] (sur la figure, A, C et H ne sont même pas alignés). Le troisième segment attendu est très probablement [AF], dont C est bien le milieu d’après le deuxième point ci-dessus. Conclusion : C est le milieu commun de [AF], [BE] et [DH].

Problème

Corrigé de la première partie : un système résolu de deux façons

1. Les deux équations donnent \(y\) : on les égale.

\[ 2{,}4x = -0{,}8x + 24 \quad \text{donc} \quad 3{,}2x = 24 \quad \text{donc} \quad x = \dfrac{24}{3{,}2} = 7{,}5 \]

Puis \(y = 2{,}4 \times 7{,}5 = 18\). Vérification : \(-0{,}8 \times 7{,}5 + 24 = -6 + 24 = 18\). La solution est \(x = 7{,}5\) et \(y = 18\).

2. a. \(f(0) = 0\), \(f(10) = 24\), \(g(0) = 24\), \(g(10) = -8 + 24 = 16\).

2. b. \(f\) est linéaire : sa représentation est la droite qui passe par (0 ; 0) et (10 ; 24). \(g\) est affine : c’est la droite qui passe par (0 ; 24) et (10 ; 16). Les deux points du tableau suffisent pour tracer chaque droite.

3. Les deux droites se coupent en un point dont on lit les coordonnées en traçant les pointillés vers les axes : on trouve (7,5 ; 18), ce qui confirme la solution de la question 1.

Corrigé de la deuxième partie : partager le périmètre du triangle

1. Le plus long côté est [AB]. \(AB^2 = 100\) et \(AC^2 + BC^2 = 36 + 64 = 100\). Comme \(AB^2 = AC^2 + BC^2\), la réciproque du théorème de Pythagore prouve que ABC est rectangle en C.

2. M est sur [AB], D est sur [AC] et (MD) est parallèle à (BC). D’après le théorème de Thalès dans le triangle ABC :

\[ \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{MD}{BC} \]

Les deux quotients cherchés sont \(\dfrac{AD}{AC}\) et \(\dfrac{MD}{BC}\).

3. a. Avec AM = \(x\), AB = 10, AC = 6 et BC = 8 :

\[ \dfrac{x}{10} = \dfrac{AD}{6} \quad \text{donc} \quad AD = \dfrac{6x}{10} = 0{,}6x \qquad \dfrac{x}{10} = \dfrac{MD}{8} \quad \text{donc} \quad MD = \dfrac{8x}{10} = 0{,}8x \]

Ensuite, on a bien AD = 0,6\(x\) et MD = 0,8\(x\).

3. b. M est sur [AB] et D sur [AC] :

\[ MB = AB – AM = 10 – x \qquad DC = AC – AD = 6 – 0{,}6x \]

MB = 10 − \(x\) et DC = 6 − 0,6\(x\).

4. Appelle \(y\) le périmètre commun cherché.

Périmètre du triangle ADM : \(AM + AD + MD = x + 0{,}6x + 0{,}8x = 2{,}4x\).

Périmètre du trapèze BCDM : \(BC + CD + DM + MB = 8 + (6 – 0{,}6x) + 0{,}8x + (10 – x) = 24 – 0{,}8x\).

Les deux périmètres sont égaux à \(y\) : on obtient le système

\[ \left\{\begin{array}{l} y = 2{,}4x \\ y = -0{,}8x + 24 \end{array}\right. \]

C’est exactement le système de la première partie : sa solution est \(x = 7{,}5\) et \(y = 18\), avec bien \(0 \leqslant 7{,}5 \leqslant 10\).

Il faut placer M sur [AB] à 7,5 cm de A, et le périmètre commun vaut alors 18 cm. Contrôle : le périmètre du triangle ABC vaut 24 cm, et les deux figures partagent le segment [MD] de longueur \(0{,}8 \times 7{,}5 = 6\) cm : \(18 + 18 = 24 + 2 \times 6\).

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2001 : Académie de Reims, septembre.

Comment utiliser le corrigé corrigé Reims 2001

Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.

Dans les questions sur les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Pour les puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. En ce qui concerne les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé Reims 2001 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Reims 2001

Faut-il lire le corrigé corrigé Reims 2001 en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2001. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les puissances de 10, les racines carrées et les diviseurs communs. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Reims 2001

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

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