Corrigé du brevet de maths 2001 : France, septembre
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2001 : France, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Plan du corrigé corrigé France 2001
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé France 2001 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 10 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « Fractions, racines et PGCD » (activités numériques). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Développer et factoriser » (exercice 1). Puis le corrigé explique « Pensées et primevères » (exercice 2). Par ailleurs, la correction reprend « Moyenne de miel » (exercice 3). En outre, tu lis la démarche complète pour « Trigonométrie » (exercice 4).
Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « Boule dans un cylindre » (activités géométriques). Puis le corrigé explique « Transformations sur quadrillage » (exercice 1 de géométrie). Par ailleurs, la correction reprend « Triangle dans un repère » (exercice 2 de géométrie). En outre, tu lis la démarche complète pour « Parallèle et Thalès » (exercice 3 de géométrie). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Aires en fonction de x » (problème).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé France 2001 sont les fractions, les racines carrées, les systèmes d’équations, la trigonométrie et le cylindre, rédigées comme sur une copie.
Corrigé des activités numériques (France 2001)
Corrigé de l’exercice 1 : fractions, racines carrées et PGCD
1. Le produit est prioritaire : \(\dfrac{7}{6}\times\dfrac{1}{14}=\dfrac{7}{84}=\dfrac{1}{12}\).
On met ensuite tout au dénominateur commun 12 :
\[A=\dfrac{10}{12}-\dfrac{1}{12}+\dfrac{8}{12}=\dfrac{10-1+8}{12}\]
donc \(A=\dfrac{17}{12}\) (fraction irréductible, car 17 est premier et ne divise pas 12).
2. On fait apparaître des carrés parfaits : \(20=4\times5\) et \(45=9\times5\), donc \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) et \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\).
\(B=3\times2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+\sqrt{5}=6\sqrt{5}-3\sqrt{5}+\sqrt{5}\), donc \(B=4\sqrt{5}\).
3. a. Ensuite, on applique l’algorithme d’Euclide :
\(6960=4176\times1+2784\)
\(4176=2784\times1+1392\)
\(2784=1392\times2+0\)
Le dernier reste non nul est 1 392, donc PGCD(4 176 ; 6 960) = 1 392.
b. Puis on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD : \(6960\div1392=5\) et \(4176\div1392=3\).
\(\dfrac{6960}{4176}=\dfrac{5}{3}\) : la fraction irréductible est \(\dfrac{5}{3}\).
Corrigé de l’exercice 2 : développer et factoriser
1. D’abord, on développe chaque terme :
\((3x-5)(-5x+2)=-15x^2+6x+25x-10=-15x^2+31x-10\)
\((3x-5)^2=9x^2-30x+25\) (identité \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\))
Ici on additionne, les signes ne changent pas : \(C=-15x^2+31x-10+9x^2-30x+25\), donc \(C=-6x^2+x+15\).
2. Le facteur commun est \((3x-5)\) :
\(C=(3x-5)\big[(-5x+2)+(3x-5)\big]\), donc \(C=(3x-5)(-2x-3)\).
Vérification : \((3x-5)(-2x-3)=-6x^2-9x+10x+15=-6x^2+x+15\), on retrouve la question 1.
Corrigé de l’exercice 3 (France 2001) : pensées et primevères
Tout d’abord, on note \(p\) le prix d’une pensée et \(q\) le prix d’une primevère, en francs. Les deux achats donnent le système :
\(12p+7q=71{,}30\) et \(8p+24q=91{,}40\)
Alors on élimine \(p\) : on multiplie la première équation par 2 et la seconde par 3, pour obtenir \(24p\) dans les deux.
\(24p+14q=142{,}60\) et \(24p+72q=274{,}20\)
En soustrayant : \(58q=131{,}60\), donc \(q=\dfrac{131{,}6}{58}\approx2{,}269\).
Puis \(12p=71{,}30-7q\), d’où \(p=\dfrac{71{,}3-7q}{12}\approx4{,}618\).
Avec les données de l’énoncé, on trouve donc une pensée à environ 4,62 F et une primevère à environ 2,27 F.
Remarque : ces prix ne tombent pas juste au centime, ce qui est inhabituel pour un exercice de brevet. L’énoncé contient très probablement une erreur de saisie : si le deuxième massif coûtait 92,00 F, la même méthode donnerait \(58q=133{,}40\), soit exactement 2,30 F la primevère et 4,60 F la pensée (contrôle : \(12\times4{,}60+7\times2{,}30=55{,}20+16{,}10=71{,}30\)).
Corrigé de l’exercice 4 : production moyenne de miel
Les données sont regroupées en classes : on remplace chaque classe par son centre, c’est-à-dire la moyenne de ses deux bornes (19, 21, 23, 25, 27 et 29 kg).
Le nombre total de ruches est \(2+8+5+2+1+2=20\).
\[m=\dfrac{19\times2+21\times8+23\times5+25\times2+27\times1+29\times2}{20}=\dfrac{38+168+115+50+27+58}{20}=\dfrac{456}{20}\]
La production moyenne est de 22,8 kg de miel par ruche.
Corrigé des activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 (France 2001) : trigonométrie
1. Le triangle ABD est rectangle en B. Pour l’angle \(\widehat{ADB}\), on connaît le côté adjacent [BD] et l’hypoténuse [AD] : on utilise le cosinus.
\[\cos\widehat{ADB}=\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{7}{12}\]
À la calculatrice, \(\widehat{ADB}\approx54{,}3^\circ\), donc \(\widehat{ADB}\approx54^\circ\) au degré près.
2. Le triangle BCD est rectangle en B. Pour l’angle \(\widehat{BCD}=50^\circ\), le côté [BD] est opposé et [CD] est l’hypoténuse : on utilise le sinus.
\[\sin\widehat{BCD}=\dfrac{BD}{CD}\quad\text{donc}\quad CD=\dfrac{7}{\sin 50^\circ}\approx9{,}14\]
\(CD\approx9{,}1\ \text{cm}\) au dixième près.
Corrigé de l’exercice 2 : la boule dans le cylindre
1. Le volume d’un cylindre de rayon \(r\) et de hauteur \(H\) est \(\pi r^2H\) :
\(V_{\text{cylindre}}=\pi\times8^2\times15=\pi\times64\times15\), donc \(V_{\text{cylindre}}=960\pi\ \text{cm}^3\).
2. Le volume d’une boule de rayon \(r\) est \(\dfrac{4}{3}\pi r^3\) :
\(V_{\text{boule}}=\dfrac{4}{3}\pi\times6^3=\dfrac{4\times216}{3}\pi=4\times72\pi\), donc \(V_{\text{boule}}=288\pi\ \text{cm}^3\).
3. Une fois la boule posée, eau et boule remplissent exactement le cylindre. Le volume d’eau est donc :
\(V_{\text{eau}}=960\pi-288\pi=672\pi\ \text{cm}^3\)
Avant l’ajout de la boule, cette eau formait un cylindre de rayon 8 et de hauteur \(h\) : \(\pi\times64\times h=672\pi\), d’où \(h=\dfrac{672}{64}\), soit \(h=10{,}5\ \text{cm}\).
Corrigé de l’exercice 3 : symétries et translation sur quadrillage
Pour transformer la figure ❶, on transforme ses points remarquables (les sommets du quadrilatère et le centre du demi-disque), puis on redessine la figure. Une symétrie ou une translation conserve les longueurs et les formes.
1. La droite (OA) suit la diagonale des carreaux (elle descend d’un carreau vers la droite quand on avance d’un carreau). Chaque point et son image sont sur une perpendiculaire à (OA), à la même distance de (OA) de part et d’autre. Le centre du demi-disque, situé 3 carreaux à gauche de O, a pour image le point situé 3 carreaux au-dessus de O. De même, le sommet du quadrilatère situé 1 carreau sous le centre (en bas à gauche) a pour image le point situé 1 carreau à droite de la nouvelle position du centre. La figure ❷ se retrouve au-dessus de O, en haut à droite de A, avec le demi-disque tourné vers la gauche.
2. Dans la symétrie de centre O, chaque point M a pour image M′ tel que O soit le milieu de [MM′]. Le centre du demi-disque est 3 carreaux à gauche de O : son image est 3 carreaux à droite de O. La figure ❸ est la figure ❶ retournée « tête en bas » : le demi-disque est vers le bas et le quadrilatère au-dessus.
3. Pour aller de A à B, on se déplace de 6 carreaux vers la droite et de 2 carreaux vers le haut. Chaque point de la figure ❶ subit ce même déplacement : la figure ❹ est identique à la figure ❶, simplement glissée.
Corrigé du problème (France 2001)
Corrigé de la première partie : le triangle ABC dans un repère
1. Pour commencer, on place A(1 ; 1,5), B(5,5 ; 7,5) et C(5 ; −1,5) (voir la figure de la troisième partie).
2. Dans un repère orthonormé :
\[BC^2=(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2=(5-5{,}5)^2+(-1{,}5-7{,}5)^2=0{,}25+81=81{,}25\]
donc \(BC=\sqrt{81{,}25}\), que l’on peut aussi écrire \(\dfrac{5\sqrt{13}}{2}\) (environ 9,01).
3. Le plus grand côté est [BC]. Ensuite, on compare : \(AB^2+AC^2=7{,}5^2+5^2=56{,}25+25=81{,}25\) et \(BC^2=81{,}25\).
L’égalité \(BC^2=AB^2+AC^2\) est vérifiée, donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
4. Les côtés de l’angle droit [AB] et [AC] servent de base et de hauteur :
\(\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{7{,}5\times5}{2}\), soit \(18{,}75\ \text{cm}^2\).
Corrigé de la deuxième partie : la parallèle (KL)
1. K est sur [AC] à 2 cm de C, donc à 3 cm de A (car AC = 5). La perpendiculaire à (AC) en K coupe [BC] en L.
2. Les droites (AB) et (KL) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (AC) : (AB) car le triangle est rectangle en A, (KL) par construction. Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc (AB) et (KL) sont parallèles.
3. Dans le triangle ABC, K est sur [CA], L est sur [CB] et (KL) est parallèle à (AB). D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{CK}{CA}=\dfrac{CL}{CB}=\dfrac{KL}{AB}\quad\text{donc}\quad KL=\dfrac{2}{5}\times7{,}5\]
soit \(KL=3\ \text{cm}\).
Corrigé de la troisième partie : comparer deux aires
![Repère avec le triangle ABC rectangle en A, les points K et T sur [AC], le segment [KL] perpendiculaire à (AC), le triangle LTC en orange et le quadrilatère ABLT en bleu](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/brevet/brevet-2001-france-septembre/gen-triangle-abc-probleme.webp)
1. Dans le triangle LTC, on prend [TC] comme base. Comme T est sur [AK], \(TC=TK+KC=x+2\). La hauteur relative à cette base est [KL], perpendiculaire à (AC), de longueur 3.
\[\mathcal{A}_{LTC}=\dfrac{TC\times KL}{2}=\dfrac{(x+2)\times3}{2}\]
donc \(\mathcal{A}_{LTC}=1{,}5x+3\).
2. Le quadrilatère ABLT et le triangle LTC recouvrent exactement le triangle ABC, sans se chevaucher. Donc :
\(\mathcal{A}_{ABLT}=\mathcal{A}_{ABC}-\mathcal{A}_{LTC}=18{,}75-(1{,}5x+3)\), soit \(\mathcal{A}_{ABLT}=15{,}75-1{,}5x\).
3. On cherche \(x\) tel que \(15{,}75-1{,}5x=1{,}5x+3\).
\(15{,}75-3=1{,}5x+1{,}5x\), soit \(12{,}75=3x\), donc \(x=4{,}25\).
Or \(x\) doit être compris entre 0 et 3, puisque T est sur le segment [AK] et que AK = 3. La valeur 4,25 est impossible : les deux aires ne peuvent jamais être égales.
Puis on peut le voir autrement : même avec \(x=3\) (T en A), l’aire de ABLT vaut \(15{,}75-4{,}5=11{,}25\) et celle de LTC vaut \(7{,}5\). ABLT reste toujours plus grand.
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Comment utiliser le corrigé corrigé France 2001
Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.
Dans les questions sur les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Pour les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. En ce qui concerne les systèmes d’équations, remplace ensuite les valeurs trouvées dans chaque équation, car ce contrôle rapide évite de perdre des points. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé France 2001 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé France 2001
Faut-il lire le corrigé corrigé France 2001 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2001. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les racines carrées, les systèmes d’équations et la trigonométrie. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
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