Corrigé du brevet de maths 2001 : France, groupement 2

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Sommaire

Ce corrigé du brevet de juin 2001 du groupement 2 reprend chaque question avec la propriété utilisée et tous les calculs. Tu y revois la priorité de la multiplication sur la soustraction, le piège de \(-4^2\), la simplification des racines carrées et la factorisation par \(a^2-b^2\). Le PGCD de 108 et 135 donne 27 paquets de billes, et le pourcentage manquant du granit permet de retrouver un bloc de 240 dm³ pesant 624 kg. En géométrie, on passe par les vecteurs pour placer D, par Pythagore dans la sphère, puis par deux droites perpendiculaires à une même troisième et par le théorème de Thalès pour JH et HM. Le problème exploite le cercle de diamètre [EG], une translation qui crée un rectangle, et une équation qui place P à 4,25 cm de E.

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2001 : France, groupement 2. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Corrigé des activités numériques

Corrigé de l’exercice 1 : fractions, puissances et racines carrées

1. La multiplication est prioritaire sur la soustraction :

\[A=\dfrac{7}{3}-\dfrac{8}{15}=\dfrac{35}{15}-\dfrac{8}{15}=\dfrac{27}{15}=\dfrac{9\times 3}{5\times 3}\]

Donc \(A=\dfrac{9}{5}\) (soit 1,8).

2. Attention : \(-4^2\) signifie \(-(4^2)=-16\), alors que \((-3)^2=(-3)\times(-3)=9\). De plus \(10^3\times 10^{-1}=10^{3-1}=10^2=100\).

\[B=-16+100+9\]

Donc \(B=93\).

3. On extrait les carrés parfaits : \(27=9\times 3\) et \(12=4\times 3\), donc \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) et \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\).

\[C=2\times 3\sqrt{3}-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}=(6-4+2)\sqrt{3}\]

Donc \(C=4\sqrt{3}\).

À retenir : dans \(-4^2\), le carré ne porte que sur 4 ; pour additionner des racines, on les écrit toutes sous la forme \(k\sqrt{3}\) puis on regroupe comme des termes semblables.

Corrigé de l’exercice 2 : développer, factoriser, résoudre

1. Avec l’identité \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) où \(a=7x\) et \(b=3\) :

\[A=49x^2-42x+9-9\]

Donc \(A=49x^2-42x\).

2. Deux méthodes donnent le même résultat. Avec la différence de deux carrés, \(9=3^2\) :

\[A=(7x-3-3)(7x-3+3)=(7x-6)\times 7x\]

Ou à partir de la forme développée, \(7x\) est facteur commun : \(49x^2-42x=7x(7x-6)\). Donc \(A=7x(7x-6)\).

3. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

\[7x=0 \quad\text{ou}\quad 7x-6=0\]

\[x=0 \quad\text{ou}\quad x=\dfrac{6}{7}\]

Les solutions sont 0 et \(\dfrac{6}{7}\).

À retenir : la forme factorisée sert à résoudre \(A=0\) ; ici, l’équation de la question 3 est exactement \(A=0\).

Corrigé de l’exercice 3 : PGCD et paquets de billes

1. Algorithme d’Euclide :

\[135=1\times 108+27 \qquad 108=4\times 27+0\]

Le dernier reste non nul est 27, donc \(\text{PGCD}(108~;~135)=27\).

2. a. Pour que toutes les billes soient réparties également, le nombre de paquets doit diviser à la fois 108 et 135 : c’est un diviseur commun. Le plus grand possible est le PGCD. Marc peut faire au maximum 27 paquets.

b. \(108\div 27=4\) et \(135\div 27=5\). Chaque paquet contient 4 billes rouges et 5 billes noires.

À retenir : « le plus grand nombre de paquets identiques utilisant tout » se traduit toujours par le PGCD des deux quantités.

Corrigé de l’exercice 4 : volume et masse d’un bloc de granit

1. Les quatre éléments forment 100 % du bloc. Quartz, feldspath et biotite représentent \(28+53+11=92\) %, donc les minéraux secondaires représentent \(100-92=8\) % du volume.

Si \(V\) est le volume du bloc en dm³, alors \(0{,}08\times V=19{,}2\), donc :

\[V=\dfrac{19{,}2}{0{,}08}=240\]

Le bloc a un volume de 240 dm³, soit 0,24 m³.

2. Il faut exprimer le volume en m³ : \(240\ \text{dm}^3=0{,}24\ \text{m}^3\) (1 m³ = 1 000 dm³). La masse est proportionnelle au volume :

\[0{,}24\times 2{,}6=0{,}624\]

Le bloc a une masse de 0,624 tonne, soit 624 kg.

À retenir : quand une seule partie est donnée en quantité, on calcule d’abord son pourcentage (le complément à 100 %) ; avant de multiplier par une masse volumique, on vérifie que les unités de volume correspondent.

Corrigé des activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : parallélogramme dans un repère

1. Les points sont placés sur la figure ci-dessus.

2. \(\overrightarrow{AB}(x_B-x_A~;~y_B-y_A)=(5-2~;~5-1)\), donc \(\overrightarrow{AB}(3~;~4)\).

3. Dans un repère orthonormal :

\[AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}\]

Donc AB = 5 cm.

4. ABCD est un parallélogramme si et seulement si \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\). Or \(\overrightarrow{BC}(6-5~;~2-5)=(1~;~-3)\) : on part de A et on se déplace de 1 vers la droite et de 3 vers le bas.

5. \(x_D=2+1\) et \(y_D=1-3\), donc \(D(3~;~-2)\).

6. Le centre de symétrie d’un parallélogramme est le point d’intersection de ses diagonales, qui se coupent en leur milieu. W est donc le milieu de [AC] :

\[x_W=\dfrac{2+6}{2}=4 \qquad y_W=\dfrac{1+2}{2}=1{,}5\]

Contrôle avec le milieu de [BD] : \(\left(\dfrac{5+3}{2}~;~\dfrac{5-2}{2}\right)=(4~;~1{,}5)\). Donc \(W(4~;~1{,}5)\).

À retenir : ABCD parallélogramme équivaut à \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) (ou \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)) ; son centre est le milieu commun des diagonales.

Corrigé de l’exercice 2 : section d’une sphère par un plan

1. La section d’une sphère par un plan est un cercle dont le centre H est le pied de la perpendiculaire au plan passant par O. La droite (OH) est donc perpendiculaire à (HA) : le triangle OHA est rectangle en H.

Construction : trace [HA] de 4,5 cm, trace la perpendiculaire à (HA) en H, et places-y O à 2,2 cm de H. Relie O et A.

2. Dans le triangle OHA rectangle en H, d’après le théorème de Pythagore :

\[OA^2=OH^2+HA^2=2{,}2^2+4{,}5^2=4{,}84+20{,}25=25{,}09\]

\[OA=\sqrt{25{,}09}\approx 5{,}009\]

Donc OA ≈ 5,0 cm à 1 mm près. C’est le rayon de la sphère.

À retenir : dans une sphère coupée par un plan, le centre O, le centre H du cercle de section et un point A de ce cercle forment un triangle rectangle en H.

Corrigé de l’exercice 3 : médiatrice et Thalès

1. Le plus grand côté est [BC]. On compare :

\[BC^2=\left(\sqrt{117}\right)^2=117 \qquad AB^2+AC^2=36+81=117\]

Les deux résultats sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

2. Parallélisme. La médiatrice de [EC] est perpendiculaire à [EC], donc la droite (JH) est perpendiculaire à (AC). Le triangle ABC est rectangle en A, donc (AB) est aussi perpendiculaire à (AC). Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles : (JH) et (AB) sont parallèles.

Longueur HC. E est sur [AC], donc \(EC=AC-AE=9-4=5\) cm. La médiatrice coupe [EC] en son milieu H, donc \(HC=\dfrac{5}{2}\) : HC = 2,5 cm.

3. Dans le triangle CAB, H est sur [CA], J est sur [CB] et (HJ) est parallèle à (AB). D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{JH}{AB} \quad\text{donc}\quad \dfrac{2{,}5}{9}=\dfrac{JH}{6} \quad\text{donc}\quad JH=\dfrac{6\times 2{,}5}{9}=\dfrac{15}{9}\]

Donc \(JH=\dfrac{5}{3}\) cm (environ 1,67 cm).

4. Les points A, E, H sont alignés, ainsi que B, E, M, et les droites (AB) et (HM) sont parallèles (M est sur la médiatrice (JH)). On a \(EH=EC-HC=5-2{,}5=2{,}5\) cm. D’après le théorème de Thalès dans cette configuration en papillon :

\[\dfrac{EH}{EA}=\dfrac{HM}{AB} \quad\text{donc}\quad \dfrac{2{,}5}{4}=\dfrac{HM}{6} \quad\text{donc}\quad HM=\dfrac{6\times 2{,}5}{4}\]

Donc HM = 3,75 cm.

À retenir : deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles, ce qui ouvre la porte au théorème de Thalès, aussi bien dans un triangle que dans une configuration en papillon.

Corrigé du problème

Corrigé de la partie A : triangle isocèle et cercle

1. Construction : trace [FG] de 5 cm, puis deux arcs de rayon 6 cm centrés en F et en G ; ils se coupent en E (le triangle est isocèle en E, donc EF = EG = 6 cm). Place O au milieu de [EG] et trace le cercle de centre O et de rayon 3 cm. Il recoupe [FG] en K.

2. a. K est un point du cercle de diamètre [EG], distinct de E et de G. Or si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, il est rectangle, l’angle droit étant au sommet opposé au diamètre. Donc EKG est rectangle en K.

b. D’après la question a, (EK) est perpendiculaire à (FG) : [EK] est la hauteur issue de E du triangle EFG. Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi la médiane. Donc K est le milieu de [FG].

Autre justification : EKF et EKG sont rectangles en K avec EF = EG et EK commun, donc par Pythagore \(KF^2=EF^2-EK^2=EG^2-EK^2=KG^2\), d’où KF = KG.

c. \(KG=\dfrac{5}{2}=2{,}5\) cm. Dans le triangle EKG rectangle en K, d’après le théorème de Pythagore :

\[EK^2=EG^2-KG^2=36-6{,}25=29{,}75\]

Donc \(EK=\sqrt{29{,}75}=\dfrac{\sqrt{119}}{2}\) cm, soit environ 5,5 cm à 1 mm près (\(\sqrt{29{,}75}\approx 5{,}454\)).

3. a. On part de E et on applique le déplacement qui envoie K sur G : S est à 2,5 cm de E, sur la parallèle à (FG) passant par E, du côté de G.

b. S est l’image de E par la translation de vecteur \(\overrightarrow{KG}\), donc \(\overrightarrow{ES}=\overrightarrow{KG}\). Les points E, K, G ne sont pas alignés, donc le quadrilatère ESGK est un parallélogramme. Ce parallélogramme possède un angle droit en K (question 2. a). Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle, donc ESGK est un rectangle.

À retenir : un point d’un cercle « voit » un diamètre sous un angle droit ; \(\overrightarrow{ES}=\overrightarrow{KG}\) donne un parallélogramme ESGK, et un angle droit suffit alors pour conclure au rectangle.

Corrigé de la partie B : triangle et trapèze de même périmètre

1. EPR est un triangle isocèle en E (c’est une réduction du triangle EGF, isocèle en E).

2. Dans le triangle EGF, P est sur [EG], R est sur [EF] et (PR) est parallèle à (GF). D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{EP}{EG}=\dfrac{ER}{EF}=\dfrac{PR}{GF} \quad\text{soit}\quad \dfrac{x}{6}=\dfrac{ER}{6}=\dfrac{PR}{5}\]

Donc \(PR=\dfrac{5x}{6}\), c’est-à-dire \(PR=\dfrac{5}{6}x\). On obtient aussi \(ER=x\), ce qui confirme que EPR est isocèle en E.

3. Le périmètre du triangle EPR vaut :

\[EP+ER+PR=x+x+\dfrac{5x}{6}=\dfrac{12x}{6}+\dfrac{5x}{6}=\dfrac{17x}{6}\]

Le périmètre est \(\dfrac{17x}{6}\) cm.

4. Les côtés du trapèze RPGF sont \(RP=\dfrac{5x}{6}\), \(PG=EG-EP=6-x\), \(GF=5\) et \(FR=EF-ER=6-x\) :

\[\dfrac{5x}{6}+(6-x)+5+(6-x)=17-2x+\dfrac{5x}{6}=17-\dfrac{12x}{6}+\dfrac{5x}{6}=17-\dfrac{7x}{6}\]

Le périmètre du trapèze est bien \(\dfrac{-7x}{6}+17\).

5. On cherche \(x\) tel que les deux périmètres soient égaux :

\[\dfrac{17x}{6}=\dfrac{-7x}{6}+17 \quad\text{donc}\quad \dfrac{24x}{6}=17 \quad\text{donc}\quad 4x=17 \quad\text{donc}\quad x=\dfrac{17}{4}=4{,}25\]

Cette valeur est comprise entre 0 et 6 : P est bien sur le segment [EG] (et ce n’est pas O, situé à 3 cm de E). Oui, il suffit de placer P sur [EG] à 4,25 cm de E. Les deux périmètres valent alors \(\dfrac{17\times 4{,}25}{6}\approx 12{,}04\) cm.

À retenir : pour comparer deux grandeurs qui dépendent de \(x\), on les exprime en fonction de \(x\), on résout l’équation d’égalité, puis on vérifie que la solution est compatible avec la figure.

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