Corrigé du brevet de maths 2001 : Académie de Clermont-Ferrand, septembre

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2001 : Académie de Clermont-Ferrand, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Plan du corrigé corrigé Clermont 2001

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Clermont 2001 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 5 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Tableau d’affirmations » (exercice 1). Ensuite, la correction reprend « Conversion francs-euros » (exercice 2). Puis tu lis la démarche complète pour « Triangle, hauteur et parallèle » (exercice 1 de géométrie). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Losange dans un repère » (exercice 2 de géométrie). Enfin, le corrigé explique « Salaires de trois commerciaux » (problème).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Clermont 2001 sont les fractions, les équations, le théorème de Pythagore, la trigonométrie et le théorème de Thalès, rédigées comme sur une copie.

Corrigé des activités numériques (Clermont 2001)

Corrigé de l’exercice 1 : une seule affirmation exacte par ligne

Ligne 1. Le plus petit dénominateur commun de 5, 12 et 15 est 60 :

\[ \dfrac{2}{5}+\dfrac{5}{12}-\dfrac{1}{15} = \dfrac{24}{60}+\dfrac{25}{60}-\dfrac{4}{60} = \dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75 \]

L’affirmation exacte est la proposition n° 3 : \(\dfrac{2}{5}+\dfrac{5}{12}-\dfrac{1}{15}=0{,}75\).

Ligne 2. Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse :

\[ \dfrac{8}{25}:\dfrac{16}{75} = \dfrac{8}{25}\times\dfrac{75}{16} = \dfrac{8 \times 3 \times 25}{25 \times 2 \times 8} = \dfrac{3}{2} \]

C’est la proposition n° 2 : \(\dfrac{8}{25}:\dfrac{16}{75}=\dfrac{3}{2}\).

Ligne 3. On calcule d’abord sous la racine : \(\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\). Attention, \(\sqrt{16}+\sqrt{9}=7\) n’est pas égal à \(\sqrt{16+9}\). C’est la proposition n° 2 : \(\sqrt{16+9}=5\).

Ligne 4. Avec \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) et \(a=2x\), \(b=5\) : \((2x-5)^2=4x^2-2\times 2x\times 5+25=4x^2-20x+25\). C’est la proposition n° 2.

Ligne 5. \(49x^2-25=(7x)^2-5^2\) est une différence de deux carrés, et \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Donc \(49x^2-25=(7x-5)(7x+5)\) : proposition n° 2. Ensuite, les propositions 1 et 3 sont la même expression \((7x-5)^2\), qui vaut \(49x^2-70x+25\).

Ligne 6. Le facteur \((x+3)\) est commun aux deux termes :

\[ (x+3)(x-5)-(x-2)(x+3) = (x+3)\big[(x-5)-(x-2)\big] = (x+3)(x-5-x+2) = -3(x+3) \]

C’est la proposition n° 3. Par ailleurs, le piège est le signe « moins » devant \((x-2)\), qui change \(-2\) en \(+2\).

Ligne 7. Ensuite, on remplace \(x\) par \(-2\) dans chaque équation :

• \((-2-2)(2\times(-2)+4)=(-4)\times 0=0\) : l’égalité est vraie ;
• \((-2)^2+4=8\neq 0\) ;
• \(-2\times(-2)+4=8\neq 0\).

C’est la proposition n° 1 : \((-2)\) est solution de \((x-2)(2x+4)=0\).

Ligne 8. Puis on remplace \(x\) par 102 :

• \(2\times 102+1=205\), et 205 n’est pas inférieur ou égal à 3 ;
• \(-2\times 102+1=-203\), et \(-203\leqslant 3\) est vrai ;
• \(-203\gt 3\) est faux.

C’est la proposition n° 2 : 102 est solution de \(-2x+1\leqslant 3\).

Corrigé de l’exercice 2 : conversion francs-euros

1. Pour passer des euros aux francs, on multiplie par 6,559 57 ; pour passer des francs aux euros, on divise par 6,559 57.

• Réfrigérateur : \(373{,}50\times 6{,}55957 \approx 2449{,}9994\), soit 2 450,00 F ;
• Sèche-cheveux : \(128 : 6{,}55957 \approx 19{,}513\), soit 19,51 € ;
• Manteau : \(1200 : 6{,}55957 \approx 182{,}939\), soit 182,94 € ;
• Baladeur : \(29{,}73\times 6{,}55957 \approx 195{,}016\), soit 195,02 F.

2. a. Alors on traduit la méthode en calcul. Puis la moitié de \(S\) est \(\dfrac{S}{2}\), donc « ajouter \(S\) à la moitié de \(S\) » donne \(S+\dfrac{S}{2}=\dfrac{2S}{2}+\dfrac{S}{2}=\dfrac{3S}{2}\). Ensuite, on divise ensuite par 10 :

\[ \dfrac{3S}{2} : 10 = \dfrac{3S}{2}\times\dfrac{1}{10} = \dfrac{3S}{20} \]

La méthode donne donc bien un prix en euros d’environ \(\dfrac{3S}{20}\).

b. Le prix exact en euros est \(\dfrac{S}{6{,}55957}\). Comme \(\dfrac{20}{3}\approx 6{,}667\) est proche de 6,559 57, on a :

\[ \dfrac{S}{6{,}55957} \approx \dfrac{S}{\frac{20}{3}} = S\times\dfrac{3}{20} = \dfrac{3S}{20} \]

Diviser par \(\dfrac{20}{3}\), c’est multiplier par \(\dfrac{3}{20}\), ce qui est exactement ce que fait la méthode. Puis elle est rapide car elle n’utilise qu’une moitié, une addition et une division par 10, faciles à faire de tête. Comme \(\dfrac{20}{3}\) est un peu plus grand que 6,559 57, le résultat est un peu plus petit que le vrai prix en euros.

c. Sèche-cheveux : \(128+64=192\), puis \(192:10=19{,}2\), soit 19,20 € (au lieu de 19,51 €).

Manteau : \(1200+600=1800\), puis \(1800:10=180\), soit 180 € (au lieu de 182,94 €).

Corrigé des activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 (Clermont 2001) : triangle, hauteur et parallèle

1. À l’échelle 1/2, toutes les longueurs sont divisées par 2 : AM = 4,5 cm, MB = 3 cm (donc AB = 7,5 cm), BH = 4,5 cm, HC = 8 cm (donc BC = 12,5 cm) et AC = 10 cm. De plus, une construction possible :

• trace le segment [BC] de 12,5 cm et place H sur [BC] à 4,5 cm de B ;
• trace la perpendiculaire à (BC) passant par H ;
• avec le compas, trace l’arc de cercle de centre C et de rayon 10 cm : il coupe la perpendiculaire en A (tu peux contrôler que AB mesure bien 7,5 cm et AH 6 cm) ;
• place M sur [AB] à 4,5 cm de A, puis trace la perpendiculaire à (AH) passant par M : elle coupe [AH] en D et [AC] en N.

2. Les points A, M, B sont alignés dans cet ordre, donc AB = AM + MB = 9 + 6 = 15 cm. Ensuite, le triangle ABH est rectangle en H car (AH) est perpendiculaire à (BC). D’après le théorème de Pythagore :

\[ \text{AB}^2 = \text{AH}^2 + \text{BH}^2 \quad\text{donc}\quad \text{AH}^2 = 15^2 – 9^2 = 225 – 81 = 144 \]

Comme AH est une longueur positive, AH = \(\sqrt{144}\) = 12 cm.

Tu peux vérifier dans l’autre triangle rectangle AHC : \(\text{AH}^2 = 20^2 – 16^2 = 400 – 256 = 144\), on retrouve bien 12 cm.

3. Dans le triangle ABH rectangle en H, le cosinus d’un angle aigu est le côté adjacent divisé par l’hypoténuse :

Corrigé de l’exercice 1 (Clermont 2001) : triangle, hauteur et (suite)

\[ \cos\widehat{\text{ABH}} = \dfrac{\text{BH}}{\text{AB}} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6 \]

À la calculatrice, \(\arccos(0{,}6)\approx 53{,}13\). Donc \(\cos\widehat{\text{ABH}} = 0{,}6\) et \(\widehat{\text{ABH}}\approx 53°\) au degré près.

4. Les droites (MN) et (BC) sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite (AH). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Donc (MN) et (BC) sont parallèles.

Calcul de MD. Par ailleurs, dans le triangle ABH, M est sur [AB], D est sur [AH], et (MD) est parallèle à (BH) (car (MN) est parallèle à (BC)). D’après le théorème de Thalès :

\[ \dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AD}}{\text{AH}} = \dfrac{\text{MD}}{\text{BH}} \quad\text{soit}\quad \dfrac{9}{15} = \dfrac{\text{MD}}{9} \]

\[ \text{MD} = \dfrac{9 \times 9}{15} = \dfrac{81}{15} = 5{,}4 \]

Donc MD = 5,4 cm.

5. Ensuite, on connaît les trois côtés du triangle ABC : AB = 15 cm, AC = 20 cm et BC = BH + HC = 9 + 16 = 25 cm (H est sur le segment [BC]). Puis le plus long côté est [BC]. Puis on compare :

\[ \text{BC}^2 = 25^2 = 625 \qquad \text{AB}^2 + \text{AC}^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 \]

On a \(\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2\), donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

Corrigé de l’exercice 2 : un losange dans un repère

1. a. Les coordonnées d’un vecteur \(\overrightarrow{\text{MN}}\) sont \((x_{\text{N}}-x_{\text{M}}\ ;\ y_{\text{N}}-y_{\text{M}})\). Comme O a pour coordonnées \((0\ ;\ 0)\) :

\[ \overrightarrow{\text{OC}}\,(-4-0\ ;\ 7-0) \quad\text{soit}\quad \overrightarrow{\text{OC}}\,(-4\ ;\ 7) \]

\[ \overrightarrow{\text{AB}}\,(4-8\ ;\ 8-1) \quad\text{soit}\quad \overrightarrow{\text{AB}}\,(-4\ ;\ 7) \]

Donc \(\overrightarrow{\text{OC}}\,(-4\ ;\ 7)\) et \(\overrightarrow{\text{AB}}\,(-4\ ;\ 7)\).

b. Les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc \(\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{OC}}\). Cela signifie que le quadrilatère ABCO est un parallélogramme, c’est-à-dire que OABC est un parallélogramme.

Contrôle : le milieu de [OB] a pour coordonnées \(\left(\dfrac{0+4}{2}\ ;\ \dfrac{0+8}{2}\right)=(2\ ;\ 4)\) et celui de [AC] a pour coordonnées \(\left(\dfrac{8-4}{2}\ ;\ \dfrac{1+7}{2}\right)=(2\ ;\ 4)\) : les diagonales ont bien le même milieu.

2. Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange. Ensuite, calculons OA et OC dans le repère orthonormé :

\[ \text{OA} = \sqrt{(8-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{64+1} = \sqrt{65} \]

\[ \text{OC} = \sqrt{(-4-0)^2 + (7-0)^2} = \sqrt{16+49} = \sqrt{65} \]

On a OA = OC : le parallélogramme OABC a deux côtés consécutifs [OA] et [OC] de même longueur, donc OABC est un losange (de côté \(\sqrt{65}\approx 8{,}06\) unités).

Corrigé du problème

Corrigé du problème : les salaires de trois commerciaux

1. a. 15 % de 16 000 F font \(0{,}15\times 16000 = 2400\) F. Puis le salaire de Gilbert est donc \(6000 + 2400 = 8400\) : Gilbert gagne bien 8 400 F.

b. Avec un bénéfice de 28 000 F pour chacun :

• Ernest : \(0{,}40\times 28000 = 11200\), soit 11 200 F ;
• Gilbert : \(6000 + 0{,}15\times 28000 = 6000 + 4200 = 10200\), soit 10 200 F ;
• Henri : son salaire ne dépend pas des ventes, soit 12 000 F.

c. On cherche le bénéfice \(b\) tel que \(0{,}40\,b = 12000\), donc \(b = \dfrac{12000}{0{,}40} = 30000\). Ernest doit réaliser un bénéfice de 30 000 F.

2. a. Pour un bénéfice de \(x\) francs, les salaires mensuels sont :

• Ernest : \(e(x) = 0{,}40x\) ;
• Gilbert : \(g(x) = 0{,}15x + 6000\) ;
• Henri : \(h(x) = 12000\).

b. La fonction \(e : x \mapsto 0{,}40x\) est celle du salaire d’Ernest. Sur l’axe des abscisses, on lit le bénéfice mensuel réalisé grâce aux ventes, en francs ; sur l’axe des ordonnées, le salaire mensuel, en francs.

c. La fonction \(g\) est affine, sa représentation est une droite. De plus, il suffit de deux points : \(g(0) = 6000\) et \(g(40000) = 0{,}15\times 40000 + 6000 = 12000\). On trace la droite passant par les points (0 ; 6 000) et (40 000 ; 12 000) (elle passe aussi par (20 000 ; 9 000), ce qui permet de contrôler).

d. Le salaire d’Henri est constant : sa représentation est la droite horizontale d’équation \(y = 12000\), parallèle à l’axe des abscisses.

3. a. Ensuite, on trace la verticale d’abscisse 32 000 ; elle coupe chaque droite en un point dont on lit l’ordonnée (traits en pointillés sur le graphique) :

Corrigé du problème : les salaires de trois commerciaux (suite)

• Ernest : environ 12 800 F ;
• Gilbert : environ 10 800 F ;
• Henri : 12 000 F.

Le calcul confirme la lecture : \(0{,}40\times 32000 = 12800\) et \(0{,}15\times 32000 + 6000 = 10800\).

b. Gilbert et Henri ont le même salaire quand leurs droites se coupent. Le point d’intersection a pour abscisse environ 40 000 F : c’est le bénéfice cherché.

c. Puis on résout \(g(x) = h(x)\) :

\[ 0{,}15x + 6000 = 12000 \]

\[ 0{,}15x = 6000 \]

\[ x = \dfrac{6000}{0{,}15} = 40000 \]

Pour un bénéfice de 40 000 F exactement, Gilbert et Henri touchent le même salaire, 12 000 F. Au-delà, c’est Gilbert qui gagne le plus des deux.

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Bien réviser avec le corrigé corrigé Clermont 2001

Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.

En ce qui concerne les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Quant aux équations, garde l’équilibre des deux membres à chaque étape, ainsi tu évites les erreurs de signe. Dans les questions sur le théorème de Pythagore, vérifie d’abord que le triangle est rectangle, puis repère l’hypoténuse avant d’écrire l’égalité. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé Clermont 2001 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Clermont 2001

Faut-il lire le corrigé corrigé Clermont 2001 en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2001. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les équations, le théorème de Pythagore et la trigonométrie. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Clermont 2001

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

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