Corrigé du brevet de maths 2001 : Académie de Grenoble, septembre

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2001 : Académie de Grenoble, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Ce que détaille le corrigé corrigé septembre 2001

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé septembre 2001 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 10 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Fractions, racines et PGCD » (exercice 1). Ensuite, la correction reprend « Développer et factoriser » (exercice 2). Puis tu lis la démarche complète pour « Prix des fleurs » (exercice 3). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Production de miel » (exercice 4). Puis en outre, le corrigé explique « Trigonométrie » (exercice 1 de géométrie).

Ensuite, la correction reprend « Boule dans un cylindre » (exercice 2 de géométrie). Puis tu lis la démarche complète pour « Transformations » (exercice 3 de géométrie). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Triangle dans un repère » (première partie). En outre, le corrigé explique « Parallèles et Thalès » (deuxième partie). Enfin, la correction reprend « Aire en fonction de x » (troisième partie).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé septembre 2001 sont les fractions, les racines carrées, les systèmes d’équations, les équations et la moyenne, rédigées comme sur une copie.

Activités numériques

Corrigé de l’exercice 1 (septembre 2001) : fractions, racines carrées et PGCD

1. La multiplication passe avant l’addition et la soustraction. Ensuite, tu commences donc par le produit, que tu simplifies : \(\dfrac{7}{6}\times\dfrac{1}{14}=\dfrac{7}{6\times 14}=\dfrac{7}{6\times 2\times 7}=\dfrac{1}{12}\).

\[A=\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{12}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{12}-\dfrac{1}{12}+\dfrac{8}{12}=\dfrac{17}{12}\]

Donc \(A=\dfrac{17}{12}\) (fraction irréductible, car 17 est premier et ne divise pas 12).

2. Tu fais apparaître le carré parfait caché sous chaque racine : \(20=4\times 5\) et \(45=9\times 5\).

\[B=3\times\sqrt{4}\times\sqrt{5}-\sqrt{9}\times\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\times 2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+\sqrt{5}=6\sqrt{5}-3\sqrt{5}+\sqrt{5}\]

Donc \(B=4\sqrt{5}\), avec \(a=4\) et \(b=5\).

3. a. Tu appliques l’algorithme d’Euclide : on divise le plus grand nombre par le plus petit, puis le diviseur par le reste, jusqu’à obtenir un reste nul.

Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD(4 176 ; 6 960) = 1 392.

b. En divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD, on obtient directement une fraction irréductible : \(6\,960\div 1\,392=5\) et \(4\,176\div 1\,392=3\).

Donc \(\dfrac{6\,960}{4\,176}=\dfrac{5}{3}\).

Corrigé de l’exercice 2 : développer et factoriser

1. Tu développes le produit par double distributivité, puis le carré avec l’identité \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).

\[(3x-5)(-5x+2)=-15x^2+6x+25x-10=-15x^2+31x-10\]

\[(3x-5)^2=9x^2-30x+25\]

\[C=-15x^2+31x-10+9x^2-30x+25\]

Donc \(C=-6x^2+x+15\).

2. Le facteur \((3x-5)\) est présent dans les deux termes, puisque \((3x-5)^2=(3x-5)(3x-5)\). Tu le mets en facteur :

\[C=(3x-5)\left[(-5x+2)+(3x-5)\right]=(3x-5)(-5x+2+3x-5)\]

Donc \(C=(3x-5)(-2x-3)\).

Contrôle : \((3x-5)(-2x-3)=-6x^2-9x+10x+15=-6x^2+x+15\), on retrouve bien la forme développée.

Corrigé de l’exercice 3 (septembre 2001) : le prix des fleurs

Appelle \(p\) le prix d’une pensée et \(q\) le prix d’une primevère, en francs. Puis les deux achats se traduisent par le système :

\[12p+7q=71{,}30\]

\[8p+24q=91{,}40\]

Méthode par combinaison : pour éliminer \(p\), multiplie la première équation par 2 et la seconde par 3, ce qui donne 24 pensées de chaque côté.

\[24p+14q=142{,}60\qquad\text{et}\qquad 24p+72q=274{,}20\]

En soustrayant la première de la seconde : \(58q=131{,}60\), donc \(q=\dfrac{131{,}60}{58}\approx 2{,}269\).

Tu reportes dans la première équation : \(12p=71{,}30-7q\), d’où \(p=\dfrac{71{,}30-7q}{12}\approx 4{,}618\).

Vérification par une seconde méthode (substitution à partir de la seconde équation) : \(p=\dfrac{91{,}40-24q}{8}\), et en remplaçant dans la première on retrouve \(q=\dfrac{329}{145}\approx 2{,}269\) et \(p=\dfrac{5\,357}{1\,160}\approx 4{,}618\).

Les données de l’énoncé ne donnent pas un nombre exact de centimes (sans doute une coquille dans le sujet d’origine). Arrondis au centime : une pensée coûte environ 4,62 F et une primevère environ 2,27 F.

Corrigé de l’exercice 4 : la production de miel

Les données sont regroupées en classes. Pour calculer une moyenne, on remplace chaque classe par son centre, c’est-à-dire la moyenne de ses deux bornes (par exemple \(\dfrac{18+20}{2}=19\)).

Effectif total : \(2+8+5+2+1+2=20\) ruches. Somme des produits : \(38+168+115+50+27+58=456\).

\[\text{moyenne}=\dfrac{456}{20}=22{,}8\]

La production moyenne est de 22,8 kg de miel par ruche.

Activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : trigonométrie

1. Le triangle ABD est rectangle en B (le codage de l’angle droit est en B). De plus, pour l’angle \(\widehat{ADB}\), tu connais le côté adjacent BD et l’hypoténuse AD : c’est le cosinus qui les relie.

\[\cos\widehat{ADB}=\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{7}{12}\]

La calculatrice (touche \(\cos^{-1}\) ou Arccos, en mode degrés) donne \(\widehat{ADB}\approx 54{,}3^\circ\). Donc \(\widehat{ADB}\approx 54^\circ\) au degré près.

2. Le triangle BCD est rectangle en B. Pour l’angle \(\widehat{BCD}\), BD est le côté opposé et CD l’hypoténuse : c’est le sinus qui convient.

\[\sin\widehat{BCD}=\dfrac{BD}{CD}\quad\text{donc}\quad CD=\dfrac{BD}{\sin 50^\circ}=\dfrac{7}{\sin 50^\circ}\approx 9{,}14\]

Donc CD ≈ 9,1 cm au dixième près.

Corrigé de l’exercice 2 (septembre 2001) : la boule dans le cylindre

1. Le volume d’un cylindre est l’aire de sa base multipliée par sa hauteur : \(V=\pi r^2 h\).

\[V_{\text{cylindre}}=\pi\times 8^2\times 15=\pi\times 64\times 15=960\pi\]

Le volume du cylindre est \(960\pi\ \text{cm}^3\).

2. De même, le volume d’une boule de rayon \(r\) est \(\dfrac{4}{3}\pi r^3\).

\[V_{\text{boule}}=\dfrac{4}{3}\times\pi\times 6^3=\dfrac{4\times 216}{3}\pi=4\times 72\pi=288\pi\]

Ensuite, on obtient bien \(V_{\text{boule}}=288\pi\ \text{cm}^3\).

3. Une fois la boule placée, le cylindre est plein : l’eau occupe tout le cylindre sauf la place prise par la boule. Ensuite, le volume d’eau (qui n’a pas changé) vaut donc :

\[V_{\text{eau}}=960\pi-288\pi=672\pi\]

Avant l’ajout de la boule, cette eau formait un cylindre de rayon 8 et de hauteur \(h\) : \(\pi\times 8^2\times h=64\pi h\). On résout :

\[64\pi h=672\pi\quad\text{donc}\quad h=\dfrac{672}{64}=10{,}5\]

La hauteur d’eau était \(h=10{,}5\) cm. Contrôle : \(64\pi\times 10{,}5=672\pi\) et \(672\pi+288\pi=960\pi\).

Corrigé de l’exercice 3 : trois transformations sur quadrillage

Pour transformer la figure ❶, il suffit de transformer ses sommets et le centre du demi-disque, puis de relier comme sur la figure de départ. Repère chaque point par des carreaux : on prend le coin en bas à gauche du quadrillage comme origine. Alors A est en (3 ; 6), O en (4 ; 5), B en (9 ; 8). Par ailleurs, la figure ❶ est formée d’un demi-disque de centre (1 ; 5) et de rayon 1 carreau, tourné vers le haut, posé sur le trapèze de sommets (0 ; 5), (2 ; 5), (1 ; 4) et (0 ; 4).

1. La droite (OA) passe par les nœuds (3 ; 6) et (4 ; 5) : elle suit une diagonale des carreaux. Le symétrique d’un point se trouve sur la perpendiculaire à (OA), de l’autre côté, à la même distance ; sur un quadrillage, cela revient à compter les carreaux en diagonale. Puis on obtient : le centre (1 ; 5) va en (4 ; 8), le diamètre horizontal devient le segment vertical de (4 ; 7) à (4 ; 9), et les sommets (0 ; 4) et (1 ; 4) vont en (5 ; 9) et (5 ; 8). Puis la figure ❷ a son demi-disque tourné vers la gauche, centré en (4 ; 8), et son trapèze à droite, entre les colonnes 4 et 5.

Corrigé de l’exercice 3 : trois transformations sur quadrillage (suite)

2. Dans la symétrie de centre O, O est le milieu de chaque point et de son image : on se déplace depuis O d’autant de carreaux, mais dans le sens opposé. Le centre (1 ; 5) est 3 carreaux à gauche de O, son image est 3 carreaux à droite : (7 ; 5). Ensuite, la figure est retournée « tête en bas » : la figure ❸ a un demi-disque tourné vers le bas, centré en (7 ; 5), et un trapèze au-dessus, de sommets (6 ; 5), (8 ; 5), (8 ; 6) et (7 ; 6).

3. Pour aller de A à B, on se déplace de 6 carreaux vers la droite et 2 carreaux vers le haut. La translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\) fait glisser chaque point de la figure ❶ de ce même déplacement, sans la tourner. Puis la figure ❹ est identique à la figure ❶, avec un demi-disque centré en (7 ; 7) et un trapèze de sommets (6 ; 7), (8 ; 7), (7 ; 6) et (6 ; 6).

Problème

Corrigé de la première partie (septembre 2001) : un triangle rectangle dans un repère

1. Tu places A(1 ; 1,5), B(5,5 ; 7,5) et C(5 ; −1,5) en prenant 1 cm par unité sur chaque axe. La figure ci-dessous montre aussi les points K, L et T des parties suivantes.

2. Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points est \(\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}\).

\[BC=\sqrt{(5-5{,}5)^2+(-1{,}5-7{,}5)^2}=\sqrt{(-0{,}5)^2+(-9)^2}=\sqrt{0{,}25+81}=\sqrt{81{,}25}\]

Donc \(BC=\sqrt{81{,}25}\) cm, ce qui peut aussi s’écrire \(\dfrac{5\sqrt{13}}{2}\) cm (environ 9,01 cm).

3. Le plus grand côté est [BC]. De plus, tu compares son carré à la somme des carrés des deux autres côtés :

\[BC^2=81{,}25\qquad AB^2+AC^2=7{,}5^2+5^2=56{,}25+25=81{,}25\]

Alors on a \(BC^2=AB^2+AC^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

4. Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit servent de base et de hauteur :

\[\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{7{,}5\times 5}{2}=18{,}75\]

L’aire du triangle ABC est 18,75 cm².

Corrigé de la deuxième partie : parallèles et Thalès

1. Comme AC = 5 et CK = 2, le point K est sur [AC] à 2 cm de C (donc à 3 cm de A). Par le calcul, il a pour coordonnées (3,4 ; −0,3). Avec l’équerre, tu traces la perpendiculaire à (AC) en K ; elle coupe (BC) en L, de coordonnées (5,2 ; 2,1) (voir la figure de la première partie).

2. Le triangle ABC est rectangle en A, donc (AB) est perpendiculaire à (AC). Par construction, (KL) est aussi perpendiculaire à (AC). Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles entre elles. Donc les droites (AB) et (KL) sont parallèles.

3. Dans le triangle ABC, K appartient à [CA], L appartient à [CB] et les droites (KL) et (AB) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{CK}{CA}=\dfrac{CL}{CB}=\dfrac{KL}{AB}\quad\text{soit}\quad\dfrac{2}{5}=\dfrac{KL}{7{,}5}\]

\[KL=\dfrac{2\times 7{,}5}{5}=3\]

Donc KL = 3 cm. Contrôle avec les coordonnées : \(\sqrt{(5{,}2-3{,}4)^2+(2{,}1+0{,}3)^2}=\sqrt{3{,}24+5{,}76}=\sqrt{9}=3\).

Corrigé de la troisième partie : une aire qui dépend de x

1. Le point T est sur [AK], donc T, K et C sont alignés sur (AC) et \(TC=TK+KC=x+2\). La droite (LK) est perpendiculaire à (AC) : [LK] est la hauteur du triangle LTC issue de L, relative à la base [TC].

\[\mathcal{A}_{LTC}=\dfrac{TC\times KL}{2}=\dfrac{(x+2)\times 3}{2}=1{,}5x+3\]

L’aire du triangle LTC est \(1{,}5x+3\) cm².

2. Le triangle ABC est découpé en deux morceaux : le triangle LTC et le quadrilatère ABLT. L’aire de ABLT est donc la différence :

\[\mathcal{A}_{ABLT}=18{,}75-(1{,}5x+3)=18{,}75-1{,}5x-3=15{,}75-1{,}5x\]

Ensuite, on obtient bien \(\mathcal{A}_{ABLT}=15{,}75-1{,}5x\).

3. Les deux aires sont égales lorsque :

\[15{,}75-1{,}5x=1{,}5x+3\quad\text{soit}\quad 12{,}75=3x\quad\text{donc}\quad x=4{,}25\]

Or \(x=KT\) est au plus égal à \(AK=3\) puisque T est sur le segment [AK]. La valeur 4,25 est donc impossible. Non, l’aire de ABLT ne peut jamais être égale à celle de LTC.

Autre façon de le voir : même quand T est en A (\(x=3\), l’aire de LTC est la plus grande), on a \(\mathcal{A}_{LTC}=1{,}5\times 3+3=7{,}5\) et \(\mathcal{A}_{ABLT}=15{,}75-4{,}5=11{,}25\) : le quadrilatère reste toujours plus grand que le triangle.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2001 : Académie de Grenoble, septembre.

Comment utiliser le corrigé corrigé septembre 2001

Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.

En ce qui concerne les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Quant aux racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Dans les questions sur les systèmes d’équations, remplace ensuite les valeurs trouvées dans chaque équation, car ce contrôle rapide évite de perdre des points. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé septembre 2001 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé septembre 2001

Faut-il lire le corrigé corrigé septembre 2001 en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2001. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les racines carrées, les systèmes d’équations et les équations. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé septembre 2001

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

Télécharger ou imprimer cette fiche «corrigé du brevet de maths 2001 : Académie de Grenoble, septembre» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

 Maths PDF c'est 16 200 955 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.