Corrigé du brevet de maths 2001 : Académie de Paris, septembre

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2001 : Académie de Paris, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Vue d’ensemble du corrigé corrigé Paris 2001

Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Paris 2001 est découpé en 8 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, tu trouves la solution rédigée de « Fractions et puissances de 10 » (exercice 1). Ensuite, le corrigé explique « Racines carrées » (exercice 2). Puis la correction reprend « Développer et factoriser » (exercice 3). Par ailleurs, tu lis la démarche complète pour « Moyenne et médiane » (exercice 4). En outre, tu trouves la solution rédigée de « Hauteur d’un monument » (exercice 1 de géométrie).

Ensuite, le corrigé explique « Pythagore et Thalès » (exercice 2 de géométrie). Puis la correction reprend « Transformations d’un drapeau » (exercice 3 de géométrie). Enfin, tu lis la démarche complète pour « Losange dans un triangle » (problème).

Ainsi, le corrigé corrigé Paris 2001 te fait revoir les fractions, les puissances de 10, les racines carrées, le calcul littéral et la médiane et les statistiques, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.

Activités numériques

Corrigé de l’exercice 1 (Paris 2001) : fractions et puissances de 10

1. La multiplication passe avant la soustraction. Avant de multiplier, tu peux simplifier : 7 et 14 ont 7 en commun.

\[\dfrac{7}{3}\times\dfrac{5}{14}=\dfrac{7\times 5}{3\times 2\times 7}=\dfrac{5}{6}\]

On met ensuite au même dénominateur 6 :

\[A=\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{6}=\dfrac{4}{6}-\dfrac{5}{6}=-\dfrac{1}{6}\]

Donc \(A=-\dfrac{1}{6}\), fraction irréductible puisque 1 et 6 n’ont pas d’autre diviseur commun que 1.

2. On sépare les nombres ordinaires et les puissances de 10, puis on utilise \(\dfrac{10^m}{10^n}=10^{m-n}\).

\[B=\dfrac{5}{20}\times\dfrac{10^{2000}}{10^{2001}}=0{,}25\times 10^{2000-2001}=0{,}25\times 10^{-1}\]

L’écriture scientifique demande un nombre entre 1 et 10 (10 exclu) devant la puissance de 10 : \(0{,}25=2{,}5\times 10^{-1}\).

Donc \(B=2{,}5\times 10^{-2}\) (soit 0,025).

3. Ensuite, on calcule chaque morceau en écriture décimale : \(5{,}1\times 10^2=510\), \(270\times 10^{-1}=27\) et \(4{,}83\times 10^2=483\).

\[C=\dfrac{510-27}{483}=\dfrac{483}{483}=1\]

Donc \(C=1\) : c’est bien un nombre entier.

Corrigé de l’exercice 2 : racines carrées

1. D’abord, on cherche dans 20 et 45 un carré parfait : \(20=4\times 5\) et \(45=9\times 5\). Comme \(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\) :

\[\sqrt{20}=\sqrt{4}\times\sqrt{5}=2\sqrt{5}\qquad\sqrt{45}=\sqrt{9}\times\sqrt{5}=3\sqrt{5}\]

\[D=2\sqrt{5}+3\sqrt{5}-4\times 3\sqrt{5}=2\sqrt{5}+3\sqrt{5}-12\sqrt{5}=(2+3-12)\sqrt{5}\]

Donc \(D=-7\sqrt{5}\), avec \(a=-7\).

2. Puis on regroupe sous une seule racine : \(E=\sqrt{15\times 48}=\sqrt{720}\). Or \(720=144\times 5\) et \(144=12^2\).

\[E=\sqrt{144}\times\sqrt{5}=12\sqrt{5}\]

Autre chemin : \(15\times 48=3\times 5\times 3\times 16=9\times 16\times 5\), et \(\sqrt{9\times 16}=3\times 4=12\). Donc \(E=12\sqrt{5}\), avec \(b=12\).

Corrigé de l’exercice 3 (Paris 2001) : développer, factoriser, résoudre

1. Tout d’abord, on développe chaque terme. Pour le carré, on utilise \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) :

\[(3x+1)^2=9x^2+6x+1\]

\[(3x+1)(5x-4)=15x^2-12x+5x-4=15x^2-7x-4\]

\[F=9x^2+6x+1+15x^2-7x-4\]

Donc \(F=24x^2-x-3\).

2. Le facteur \((3x+1)\) est présent dans les deux termes, car \((3x+1)^2=(3x+1)(3x+1)\). On le met en facteur :

\[F=(3x+1)\left[(3x+1)+(5x-4)\right]=(3x+1)(3x+1+5x-4)\]

Donc \(F=(3x+1)(8x-3)\). Tu peux contrôler en redéveloppant : \(24x^2-9x+8x-3=24x^2-x-3\), on retrouve bien le résultat de la question 1.

3. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.

\[3x+1=0 \iff 3x=-1 \iff x=-\dfrac{1}{3}\]

\[8x-3=0 \iff 8x=3 \iff x=\dfrac{3}{8}\]

L’équation a donc deux solutions : \(-\dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{3}{8}\).

Corrigé de l’exercice 4 : moyenne et médiane

L’âge du capitaine. La moyenne est la somme des âges divisée par le nombre de matelots.

\[20+25+18+26+49+41+57+34+19+52+22=363\]

\[\dfrac{363}{11}=33\]

Le capitaine a donc 33 ans.

La pointure du capitaine. Pour trouver une médiane, on commence par ranger les 11 pointures dans l’ordre croissant :

L’effectif 11 est impair : la médiane est la valeur de rang \(\dfrac{11+1}{2}=6\). Il y a 5 pointures avant elle et 5 après. La 6e valeur est 43.

Le capitaine chausse donc du 43.

Activités géométriques

Corrigé de l’exercice 1 : trigonométrie et hauteur d’un monument

Le triangle OAB est rectangle en B. Pour l’angle \(\widehat{AOB}=37^\circ\), le côté [AB] est le côté opposé et le côté [OB] (88 m) est le côté adjacent. On utilise donc la tangente :

\[\tan\widehat{AOB}=\dfrac{AB}{OB}\quad\text{donc}\quad AB=88\times\tan 37^\circ\approx 66{,}313\ \text{m}\]

La hauteur du monument est AC = AB + BC, où BC est la hauteur des yeux de Michel, 1,69 m :

\[AC\approx 66{,}313+1{,}69\approx 68{,}003\ \text{m}\]

Arrondie à 0,01 m près, AC ≈ 68,00 m.

Le monument. Dans la liste, la seule hauteur de 68 m est celle de Notre-Dame de Paris. Il s’agit donc de Notre-Dame de Paris.

Corrigé de l’exercice 2 (Paris 2001) : réciproques de Pythagore et de Thalès

1. Le plus long côté du triangle ABC est [BC]. Alors on compare son carré à la somme des carrés des deux autres côtés :

\[BC^2=7^2=49\qquad AB^2+AC^2=4{,}2^2+5{,}6^2=17{,}64+31{,}36=49\]

On a \(BC^2=AB^2+AC^2\) : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

2. Les points E, A, C d’une part et F, A, B d’autre part sont alignés dans le même ordre (A est entre les deux points à chaque fois). Ensuite, on compare les rapports :

\[\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{9{,}2}{5{,}6}\qquad\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{6{,}9}{4{,}2}\]

Pour savoir si ces fractions sont égales, on compare les produits en croix : \(9{,}2\times 4{,}2=38{,}64\) et \(6{,}9\times 5{,}6=38{,}64\). Les produits sont égaux, donc \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\) (les deux valent \(\dfrac{23}{14}\approx 1{,}64\)).

D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (EF) sont parallèles.

Corrigé de l’exercice 3 : transformations d’un drapeau

Pour décrire les tracés, on repère chaque point par ses déplacements sur le quadrillage à partir de O (vers la droite, puis vers le haut ; un nombre négatif signifie vers la gauche ou vers le bas). Le drapeau D\(_1\) a sa hampe de O au point (0 ; 3), le haut du fanion va jusqu’au point (2 ; 3) et le fanion revient sur la hampe au point (0 ; 2). Les points repères sont F(−1 ; 3), G(1 ; 4), E(4 ; 2) et H(1 ; −1).

1. Dans la symétrie de centre O, O est le milieu de chaque point et de son image : chaque déplacement change de sens. La hampe part de O vers le bas sur 3 carreaux, jusqu’au point (0 ; −3) ; le fanion va de (0 ; −3) jusqu’au point (−2 ; −3), à gauche, et revient au point (0 ; −2). D\(_2\) est le drapeau « la tête en bas », fanion tourné vers la gauche.

2. La droite (HE) passe par H et E : quand on avance d’un carreau vers la droite, elle monte d’un carreau, c’est une diagonale du quadrillage. Pour une telle droite, le symétrique d’un point s’obtient en suivant la diagonale perpendiculaire, à la même distance de l’autre côté. Puis on trouve : O a pour image (2 ; −2), le haut de la hampe (0 ; 3) a pour image (5 ; −2), le coin (2 ; 3) a pour image (5 ; 0) et le point (0 ; 2) a pour image (4 ; −2). D\(_3\) a donc une hampe horizontale de (2 ; −2) à (5 ; −2), et son fanion monte verticalement jusqu’à (5 ; 0) avant de revenir en (4 ; −2).

3. Pour aller de F à G, on se déplace de 2 carreaux vers la droite et de 1 carreau vers le haut. La translation de vecteur \(\overrightarrow{FG}\) fait glisser chaque point de ce même déplacement : la hampe va de (2 ; 1) à (2 ; 4), le fanion va jusqu’à (4 ; 4) et revient en (2 ; 3). D\(_4\) est une copie de D\(_1\), de même orientation, décalée de 2 carreaux à droite et 1 vers le haut.

4. Le sujet parle d’une flèche indiquant le sens, mais elle n’apparaît pas sur la feuille annexe. Ensuite, on choisit ici le sens inverse des aiguilles d’une montre. Dans un quart de tour de centre O, la hampe verticale vers le haut devient horizontale vers la gauche : elle va de O au point (−3 ; 0). Le fanion, qui partait vers la droite, part maintenant vers le haut, jusqu’au point (−3 ; 2), puis revient au point (−2 ; 0). D\(_5\) a sa hampe à gauche de O et son fanion dressé vers le haut. Si la flèche indiquait le sens des aiguilles d’une montre, on obtiendrait la hampe de O à (3 ; 0), le fanion jusqu’à (3 ; −2) et retour en (2 ; 0).

Problème

Corrigé du problème : un losange dans un triangle

1. a. Les points A, D, B sont alignés, ainsi que A, E, C, et les droites (DE) et (BC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}\quad\text{donc}\quad\dfrac{2}{5}=\dfrac{DE}{7{,}5}\]

\[DE=\dfrac{2\times 7{,}5}{5}=\dfrac{15}{5}=3\]

Puis on a bien DE = 3 cm.

b. D est sur le segment [AB], donc \(BD=AB-AD=5-2=3\) cm. Ainsi BD = DE = 3 cm : le triangle BDE est isocèle en D.

2. a. Les droites (DE) et (BC) sont parallèles et la droite (BE) les coupe. Les angles \(\widehat{DEB}\) et \(\widehat{EBC}\) sont situés de part et d’autre de la sécante (BE), entre les deux parallèles : ce sont des angles alternes-internes. Des angles alternes-internes formés par deux droites parallèles sont égaux, donc \(\widehat{DEB}=\widehat{EBC}\).

b. Le triangle BDE est isocèle en D, donc ses angles à la base sont égaux : \(\widehat{DBE}=\widehat{DEB}\). Avec la question précédente, on obtient \(\widehat{DBE}=\widehat{EBC}\). Comme D est sur [BA], l’angle \(\widehat{DBE}\) est l’angle \(\widehat{ABE}\). La demi-droite [BE) partage donc l’angle \(\widehat{ABC}\) en deux angles égaux : [BE) est la bissectrice de \(\widehat{ABC}\).

3. a. Le vecteur \(\overrightarrow{DE}\) est parallèle à (BC), dirigé de B vers C, et mesure 3 cm. On place donc F sur le segment [BC] à 3 cm de B, au compas. F est le point de [BC] tel que BF = 3 cm.

b. Comme \(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{DE}\), le quadrilatère DEFB est un parallélogramme, c’est-à-dire BDEF (mêmes sommets dans le même ordre). Ce parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, BD = DE = 3 cm. Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs égaux est un losange : BDEF est un losange.

c. Le centre I du losange est le point d’intersection de ses diagonales [BE] et [DF]. Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires, donc (BI) et (DI) sont perpendiculaires : le triangle BDI est rectangle en I.

4. a. Dans le triangle BDF, BD = BF = 3 cm (côtés du losange) et l’angle \(\widehat{DBF}\), qui est l’angle \(\widehat{ABC}\), mesure 60°. Un triangle isocèle dont l’angle au sommet mesure 60° a ses deux angles à la base égaux à \(\dfrac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ\) : il est équilatéral. Donc DF = 3 cm.

b. Les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu, donc \(DI=\dfrac{DF}{2}=1{,}5\) cm. Dans le triangle BDI rectangle en I, le théorème de Pythagore donne :

\[BI^2=BD^2-DI^2=3^2-1{,}5^2=9-2{,}25=6{,}75=\dfrac{27}{4}\]

\[BI=\sqrt{\dfrac{27}{4}}=\dfrac{\sqrt{9\times 3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\]

Donc \(BI=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\) cm (environ 2,60 cm). Vérification par la trigonométrie : [BE) est la bissectrice, donc \(\widehat{DBI}=30^\circ\) et \(BI=3\times\cos 30^\circ=3\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), on retrouve le même résultat.

I est le milieu de [BE], donc \(BE=2\times BI\) : \(BE=3\sqrt{3}\) cm (environ 5,20 cm).

c. L’aire d’un losange est égale au demi-produit de ses diagonales :

\[\mathcal{A}=\dfrac{DF\times BE}{2}=\dfrac{3\times 3\sqrt{3}}{2}=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\]

L’aire du losange BDEF est \(\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\ \text{cm}^2\), soit environ 7,79 cm². On peut le confirmer autrement : le losange est formé de deux triangles équilatéraux BDF et DEF de côté 3 cm, chacun de hauteur \(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\), d’où \(2\times\dfrac{3\times\frac{3\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\).

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2001 : Académie de Paris, septembre.

Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Paris 2001

Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.

Quant aux fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. Dans les questions sur les puissances de 10, regroupe les puissances de 10 à part et applique \(10^a\times 10^b=10^{a+b}\), puis écris le résultat en notation scientifique. Pour les racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de fraction, puis reviens à la question.

Après avoir lu le corrigé corrigé Paris 2001, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.

Tes questions sur le corrigé corrigé Paris 2001

Faut-il lire le corrigé corrigé Paris 2001 en entier ?

Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.

Où trouver l’énoncé de ce sujet ?

L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2001. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.

Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?

On y retrouve principalement les fractions, les puissances de 10, les racines carrées et le calcul littéral. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.

Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?

C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.

Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Paris 2001

Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.

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