Démonstration
En bref : Une démonstration est un raisonnement qui établit qu’un résultat est vrai en partant d’informations connues et en s’appuyant sur des propriétés du cours, étape par étape.
5èmeLogique et raisonnement
Définition : Démonstration
Une démonstration sert à prouver qu’une affirmation est vraie à coup sûr, et non seulement sur un dessin ou quelques exemples. Elle suit un chemin logique : on part de ce qui est donné, on applique une règle du cours, on en déduit une nouvelle information.
Chaque étape se rédige en trois temps : « on sait que… » pour la donnée, « or la propriété dit que… » pour la règle, « donc… » pour la conséquence. La conclusion de l’étape devient souvent la donnée de la suivante. Le dessin aide à trouver l’idée, mais il ne prouve rien : les mesures prises dessus ne comptent pas.
Comment le reconnaître
- La consigne demande « démontrer que », « justifier » ou « prouver » un résultat.
- Un énoncé liste des informations puis pose une question dont la réponse n’est pas lisible au rapporteur.
- On doit écrire des phrases qui contiennent « on sait que », « or » et « donc ».
- Le résultat à trouver doit être valable quelles que soient les mesures du dessin.
La méthode
- Écrire ce que l’on sait : les données de l’énoncé et le codage de la figure.
- Chercher dans le cours une propriété dont les conditions correspondent à ces données.
- Rédiger : « On sait que… ; or, si… alors… ; donc… », en citant la propriété.
- Enchaîner autant d’étapes que nécessaire jusqu’à obtenir exactement ce qu’on voulait montrer.
Démonstration : exemple corrigé
Énoncé
Deux droites \((AC)\) et \((BD)\) se coupent en \(O\), avec \(\widehat{AOB} = 112^{\circ}\). Démontrer que les angles opposés par le sommet \(\widehat{AOB}\) et \(\widehat{COD}\) sont égaux, sans les mesurer.
Corrigé
On sait que \(A\), \(O\), \(C\) sont alignés. Or deux angles adjacents sur une droite sont supplémentaires, donc \(\widehat{AOB} + \widehat{BOC} = 180^{\circ}\), d’où \(\widehat{BOC} = 180 – 112 = 68^{\circ}\).
De même \(B\), \(O\), \(D\) sont alignés : \(\widehat{BOC} + \widehat{COD} = 180^{\circ}\), donc \(\widehat{COD} = 180 – 68 = 112^{\circ}\). Donc \(\widehat{COD} = \widehat{AOB} = 112^{\circ}\).
À toi de jouer
Question 1
Mesurer un angle sur un dessin suffit-il pour démontrer qu’il vaut \(90^{\circ}\) ?
Voir la réponse
Non : une mesure est approximative et le dessin peut être imprécis. Il faut un raisonnement fondé sur les données et les propriétés.
Question 2
Dans « On sait que \(ABCD\) est un rectangle ; or ses diagonales ont la même longueur ; donc \(AC = BD\) », quelle phrase cite la propriété ?
Voir la réponse
La deuxième, celle qui commence par « or » : « ses diagonales ont la même longueur » est la règle du cours.
Ne pas confondre Démonstration et Conjecture
La conjecture est une idée que l’on pense vraie après quelques essais, mais qui peut être fausse. La démonstration est la preuve qui la transforme en résultat sûr. On cherche d’abord à deviner, puis à prouver ; sans cette seconde étape, l’idée reste une simple hypothèse.
Pour aller plus loin
Exercices et QCM
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · 5ème · Logique et raisonnement
