Cosinus
En bref : Le cosinus d’un angle aigu compare deux longueurs d’un triangle rectangle, celle du côté qui touche l’angle et celle du plus grand côté ; ce rapport, toujours inférieur à 1, détermine l’angle.
4èmeGéométrie plane
Définition : Cosinus
Le cosinus est un rapport de longueurs attaché à un angle aigu d’un triangle rectangle. On divise le côté adjacent, celui qui part du sommet de l’angle, par l’hypoténuse, côté le plus long, situé en face de l’angle droit.
Pour un angle \(\widehat{A}\), on écrit \(\cos \widehat{A} = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\). Comme l’hypoténuse est la plus grande longueur, ce rapport est inférieur à \(1\). À un rapport donné correspond un seul angle aigu : la calculatrice, avec la touche de la fonction réciproque, retrouve l’angle.
Comment le reconnaître
- Un triangle rectangle est donné avec un angle aigu connu et une seule longueur.
- On connaît deux côtés d’un triangle rectangle et on cherche la mesure d’un angle.
- Le côté demandé touche l’angle connu, et l’hypoténuse est aussi donnée ou cherchée.
- Le théorème de Pythagore ne suffit pas, car aucun angle n’y intervient.
La méthode
- Repérer l’angle aigu étudié, l’hypoténuse et le côté adjacent à cet angle.
- Écrire l’égalité \(\cos \widehat{A} = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\) avec les données de l’énoncé.
- Pour une longueur, résoudre l’équation obtenue ; pour un angle, utiliser la touche de fonction réciproque de la calculatrice.
- Régler la calculatrice en degrés et arrondir le résultat comme demandé.
Cosinus : exemple corrigé
Énoncé
Une échelle de \(4{,}5\) m est appuyée contre un mur de Saint-Brieuc ; elle forme un angle de \(68^\circ\) avec le sol. À quelle distance du mur se trouve son pied ?
Corrigé
Le triangle formé par l’échelle, le sol et le mur est rectangle. L’échelle est l’hypoténuse, et la distance cherchée \(d\) est le côté adjacent à l’angle de \(68^\circ\).
\(\cos 68^\circ = \dfrac{d}{4{,}5}\), donc \(d = 4{,}5 \times \cos 68^\circ \approx 4{,}5 \times 0{,}3746 \approx 1{,}69\). Le pied de l’échelle est à environ 1,69 m du mur.
À toi de jouer
Question 1
Dans un triangle rectangle, un angle aigu a un côté adjacent de \(12\) cm pour une hypoténuse de \(15\) cm. Quel est son cosinus, et quelle est la mesure de l’angle ?
Voir la réponse
\(\cos = 12 \div 15 = 0{,}8\), et l’angle vaut environ \(36{,}9^\circ\).
Question 2
L’hypoténuse mesure \(7\) cm et un angle aigu vaut \(60^\circ\). Quelle est la longueur du côté adjacent ?
Voir la réponse
\(7 \times \cos 60^\circ = 7 \times 0{,}5 = 3{,}5\) cm.
Ne pas confondre Cosinus et Sinus
Les deux rapports utilisent l’hypoténuse au dénominateur. Le cosinus met au numérateur le côté adjacent à l’angle, le sinus met le côté opposé. Pour un même angle de \(60^\circ\), le premier vaut \(0{,}5\) et le second environ \(0{,}87\). Un moyen mnémotechnique : « CAH » pour cosinus, adjacent, hypoténuse.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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