Réciproque du théorème de Pythagore
En bref : La réciproque du théorème de Pythagore sert à prouver qu’un triangle possède un angle droit : il suffit que le plus long côté, élevé au carré, égale le total des carrés des deux petits côtés.
4èmeGéométrie plane
Définition : Réciproque du théorème de Pythagore
La réciproque du théorème de Pythagore sert à démontrer qu’un angle est droit sans l’avoir mesuré. On connaît les trois longueurs d’un triangle et l’on confronte le carré du plus long côté avec les carrés des deux autres.
Si l’égalité \(BC^2 = AB^2 + AC^2\) est vraie, alors le triangle est rectangle en \(A\). Si elle est fausse, le triangle n’est pas rectangle, et c’est le théorème direct, sous sa forme contraposée, qui permet de l’affirmer. Il ne faut jamais utiliser cette égalité avant de l’avoir vérifiée.
Comment le reconnaître
- L’énoncé donne les trois longueurs d’un triangle et demande s’il est rectangle.
- Aucun angle droit n’est codé sur la figure, mais l’énoncé veut une preuve et pas une mesure à l’équerre.
- Un charpentier ou un maçon veut vérifier qu’un angle est droit avec un ruban de mesure.
- Les longueurs forment des triplets comme \(3\), \(4\), \(5\) ou \(20\), \(21\), \(29\).
La méthode
- Identifier le plus grand côté, qui serait l’hypoténuse si le triangle est rectangle.
- Calculer séparément le carré de ce côté, puis la somme des carrés des deux autres.
- Comparer les deux résultats : s’ils sont égaux, appliquer la réciproque du théorème de Pythagore pour conclure à un angle droit.
- S’ils sont différents, conclure que le triangle n’est pas rectangle.
Réciproque du théorème de Pythagore : exemple corrigé
Énoncé
Un charpentier de Poitiers contrôle l’équerrage d’un cadre : deux côtés de \(0{,}9\) m et \(1{,}2\) m se rejoignent en un coin, et la diagonale qui les relie mesure \(1{,}5\) m. Le coin est-il droit ?
Corrigé
Le plus grand côté est la diagonale : \(1{,}5^2 = 2{,}25\). Les deux autres donnent \(0{,}9^2 + 1{,}2^2 = 0{,}81 + 1{,}44 = 2{,}25\).
Les deux nombres sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle et le coin est droit.
À toi de jouer
Question 1
Un triangle a pour côtés \(9\) cm, \(12\) cm et \(16\) cm. Est-il rectangle ?
Voir la réponse
\(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\) alors que \(16^2 = 256\) : les nombres diffèrent, le triangle n’est pas rectangle.
Question 2
Même question pour \(5\) cm, \(12\) cm et \(13\) cm.
Voir la réponse
\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\) : le triangle est rectangle.
Ne pas confondre Réciproque du théorème de Pythagore et Théorème de Pythagore
Le théorème direct part d’un triangle déjà rectangle et sert à calculer une longueur. Sa réciproque part des trois longueurs et sert à prouver qu’un angle est droit. Dans le premier cas on sait qu’il y a un angle droit, dans le second on le découvre.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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