Théorème de Thalès
En bref : Le théorème de Thalès affirme que, dans un triangle coupé par une droite parallèle à l’un de ses côtés, les longueurs correspondantes sont proportionnelles : trois rapports sont égaux.
4èmeGéométrie plane
Définition : Théorème de Thalès
Le théorème de Thalès s’applique à une configuration précise : un triangle \(ABC\), un point \(M\) sur \((AB)\), un point \(N\) sur \((AC)\), avec \((MN)\) parallèle à \((BC)\). Il donne alors \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\).
Le petit triangle \(AMN\) est une réduction du grand triangle \(ABC\), dont toutes les longueurs sont multipliées par un même coefficient. On l’emploie pour calculer une longueur inconnue par un produit en croix. Sans parallélisme, l’égalité n’est pas garantie.
Comment le reconnaître
- Une figure montre un triangle traversé par un segment parallèle à un côté.
- Deux droites sécantes en un point sont coupées par deux parallèles, comme dans une « configuration en papillon ».
- L’énoncé précise que deux droites sont parallèles et demande une longueur.
- On sait que trois points sont alignés et que deux autres droites sont parallèles.
La méthode
- Avant d’utiliser le théorème de Thalès, vérifier que les points sont alignés et que les deux droites sont parallèles.
- Écrire les trois rapports égaux, en plaçant les mêmes côtés au numérateur.
- Remplacer par les longueurs connues et isoler le rapport qui contient l’inconnue.
- Résoudre par un produit en croix et donner le résultat avec son unité.
Théorème de Thalès : exemple corrigé
Énoncé
Dans le triangle \(ABC\), \(M\) est sur \([AB]\) et \(N\) sur \([AC]\) tels que \((MN)\) et \((BC)\) soient parallèles. On donne \(AM = 3\) cm, \(AB = 7{,}5\) cm, \(BC = 9\) cm et \(AC = 10\) cm. Calculer \(MN\) et \(AN\).
Corrigé
Les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles, donc \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\), soit \(\dfrac{3}{7{,}5} = \dfrac{AN}{10} = \dfrac{MN}{9}\). Le rapport \(\dfrac{3}{7{,}5}\) vaut \(0{,}4\).
Donc \(MN = 9 \times 0{,}4 = 3{,}6\) cm et \(AN = 10 \times 0{,}4 = 4\) cm. MN = 3,6 cm et AN = 4 cm.
À toi de jouer
Question 1
Même configuration : \(AM = 2\), \(AB = 5\) et \(AC = 8\). Calculer \(AN\).
Voir la réponse
\(\dfrac{AN}{8} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\), donc \(AN = 3{,}2\).
Question 2
\(MN = 4\), \(BC = 10\) et \(AB = 15\). Calculer \(AM\).
Voir la réponse
\(\dfrac{AM}{15} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4\), donc \(AM = 6\).
Ne pas confondre Théorème de Thalès et Triangles semblables
Dans la configuration de Thalès, le petit triangle \(AMN\) et le grand \(ABC\) sont semblables, car leurs longueurs sont proportionnelles. Mais la notion de triangles semblables est plus large : elle ne demande pas que les triangles partagent un sommet ni qu’une droite soit parallèle à un côté.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Triangles semblables
- Proportionnalité
- Droites parallèles
- Réciproque du théorème de Thalès
- Agrandissement et réduction
- Quatrième proportionnelle
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