Côté opposé
En bref : Le côté opposé à un angle aigu, dans un triangle rectangle, désigne le segment placé en vis-à-vis de cet angle ; ses extrémités ne sont pas au sommet de l’angle, et il intervient dans le sinus et la tangente.
3èmeGéométrie plane
Définition : Côté opposé
Dans un triangle rectangle, on appelle côté opposé à un angle aigu le segment qui lui fait face, sans jamais atteindre son sommet. Il dépend donc de l’angle choisi : si l’on change d’angle, on change aussi de côté opposé.
Les trois côtés se nomment par rapport à l’angle étudié. L’hypoténuse reste en vis-à-vis de l’angle droit. Le côté adjacent touche l’angle étudié sans être l’hypoténuse. Le côté opposé est le troisième. On l’utilise dans \(\sin = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\) et dans \(\tan = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\).
Comment le reconnaître
- L’énoncé précise un triangle rectangle et un angle aigu, puis demande une longueur ou un angle.
- On voit écrit « opposé » ou « hauteur atteinte » dans un rapport avec l’hypoténuse.
- Une formule de trigonométrie fait intervenir le côté qui n’a aucun point commun avec l’angle marqué.
- Un schéma montre un angle codé par un petit arc et l’on doit choisir parmi trois côtés.
La méthode
- Repérer l’angle droit, puis l’hypoténuse : c’est le côté en face de lui, le plus long.
- Placer le doigt sur le sommet de l’angle aigu étudié : les deux côtés qui y arrivent ne sont pas le côté opposé.
- Le côté restant, celui qui fait face à l’angle, est le côté opposé ; le nommer avec ses deux extrémités.
- Choisir sinus ou tangente selon les longueurs connues et en déduire l’inconnue.
Côté opposé : exemple corrigé
Énoncé
Au toit d’une piscine de Rennes, un toboggan de \(6{,}4\) m de long fait un angle de \(30^{\circ}\) avec le sol. Il forme un triangle rectangle avec le sol et la verticale du point de départ. Quelle est la hauteur du départ ?
Corrigé
La hauteur est le côté situé en face de l’angle de \(30^{\circ}\) : c’est le côté opposé. Le toboggan est l’hypoténuse, de longueur \(6{,}4\) m.
On a donc \(\sin 30^{\circ} = \frac{\text{opposé}}{6{,}4}\), avec \(\sin 30^{\circ} = 0{,}5\).
Ainsi \(\text{opposé} = 0{,}5 \times 6{,}4 = 3{,}2\). Le départ est à 3,2 m du sol.
À toi de jouer
Question 1
Dans le triangle \(DEF\) rectangle en \(E\), quel est le côté opposé à l’angle \(\widehat{F}\) ?
Voir la réponse
C’est \([DE]\), le côté qui ne touche pas le sommet \(F\) et qui n’est pas l’hypoténuse \([DF]\).
Question 2
Un triangle rectangle a une hypoténuse de \(20\) cm et un angle aigu de \(30^{\circ}\). Quelle est la longueur du côté opposé à cet angle ?
Voir la réponse
\(\text{opposé} = 20 \times \sin 30^{\circ} = 20 \times 0{,}5 = 10\) cm.
Ne pas confondre Côté opposé et Côté adjacent
Le côté opposé fait face à l’angle étudié et ne touche pas son sommet. Le côté adjacent touche cet angle, mais il n’est pas l’hypoténuse. Astuce : pour un même triangle, le côté opposé à un angle aigu est adjacent à l’autre angle aigu.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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