Fonction affine
En bref : Une fonction affine associe à tout nombre x le résultat ax + b, en gardant les mêmes a et b pour toutes les valeurs ; son tracé dans un repère donne une droite.
3èmeFonctions
Définition : Fonction affine
Une fonction affine transforme chaque nombre \(x\) en \(ax + b\), où \(a\) et \(b\) sont deux constantes. Le coefficient \(a\) règle la pente : quand \(x\) augmente de 1, le résultat varie de \(a\). La constante \(b\) donne la hauteur où la droite coupe l’axe vertical, c’est-à-dire l’image de 0.
Sa courbe est toujours une droite non verticale. Si \(b = 0\), on retrouve une fonction linéaire, donc la proportionnalité est un cas particulier. Si \(a\) est positif, les images grandissent avec \(x\) ; si \(a\) est négatif, elles diminuent.
Comment le reconnaître
- Un tarif combine un montant fixe d’entrée et un prix qui augmente régulièrement selon la durée ou la quantité.
- Le tableau montre que la même quantité s’ajoute à chaque fois que \(x\) augmente d’un cran.
- L’énoncé donne les images de deux nombres et réclame la formule complète.
- Le graphique est une droite qui ne passe pas forcément par l’origine.
La méthode
- Écrire la forme \(f(x) = ax + b\) avec \(a\) et \(b\) encore inconnus.
- Calculer \(a = \frac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1}\) à partir de deux couples connus.
- Remplacer \(x\) et \(f(x)\) par l’un des couples dans \(f(x) = ax + b\) pour obtenir \(b\).
- Vérifier avec l’autre couple, puis utiliser la formule pour une image ou un antécédent.
Fonction affine : exemple corrigé
Énoncé
Une fonction affine \(f\) vérifie \(f(2) = 7\) et \(f(5) = 16\). Déterminer l’expression de \(f(x)\).
Corrigé
On cherche \(f(x) = ax + b\). D’abord \(a = \frac{16 – 7}{5 – 2} = \frac{9}{3} = 3\).
Ensuite, avec \(f(2) = 7\) : \(3 \times 2 + b = 7\), donc \(6 + b = 7\) et \(b = 1\).
Contrôle : \(3 \times 5 + 1 = 16\). Ainsi \(f(x) = 3x + 1\).
À toi de jouer
Question 1
Un loueur de vélos d’Annecy demande 6 € de départ plus 2,5 € par heure. Quel est le prix pour 4 heures ?
Voir la réponse
\(f(x) = 2{,}5x + 6\), donc \(f(4) = 2{,}5 \times 4 + 6 = 16\) €.
Question 2
Soit \(g(x) = -4x + 11\). Quel nombre a pour image \(-5\) ?
Voir la réponse
On résout \(-4x + 11 = -5\) : \(-4x = -16\), donc \(x = 4\).
Ne pas confondre Fonction affine et Fonction linéaire
Une fonction linéaire s’écrit \(ax\) : sa droite passe par l’origine et l’image de 0 est 0. Une fonction affine s’écrit \(ax + b\) : elle ajoute un terme constant, donc l’image de 0 est \(b\). Toute fonction linéaire est affine, mais l’inverse est faux dès que \(b\) n’est pas nul.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Fonction linéaire
- Coefficient directeur
- Ordonnée à l'origine
- Fonction
- Courbe représentative
- Tableau de valeurs
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