Nombre rationnel
En bref : Un nombre rationnel se reconnaît à ceci : il existe deux entiers, le second non nul, dont il est le rapport ; entiers, décimaux et fractions en font tous partie.
3èmeNombres et calculs
Définition : Nombre rationnel
Un nombre rationnel est un nombre qui s’écrit \(\frac{p}{q}\) avec \(p\) et \(q\) entiers et \(q \neq 0\). Le mot vient de « raison » au sens de rapport entre deux entiers.
Cette famille est vaste : un entier comme \(-4\) s’écrit \(\frac{-4}{1}\), un décimal comme \(3{,}75\) s’écrit \(\frac{375}{100} = \frac{15}{4}\), et un développement qui se répète comme \(0{,}333\ldots\) vaut \(\frac{1}{3}\). Les nombres qui n’entrent pas dans la famille, comme \(\sqrt{2}\) ou \(\pi\), sont dits irrationnels. On note \(\mathbb{Q}\) l’ensemble de tous ces nombres rationnels.
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande si un nombre peut s’écrire sous la forme d’une fraction de deux entiers.
- On classe des nombres dans les ensembles \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\) et \(\mathbb{Q}\) et l’on doit choisir le plus petit qui convienne.
- Un quotient de deux entiers doit être donné sous forme de fraction irréductible.
- La partie décimale s’arrête, ou bien un même bloc de chiffres se répète indéfiniment.
La méthode
- Simplifier d’abord le nombre : calculer les racines carrées exactes et les puissances.
- Si le résultat est un entier, une fraction ou un décimal, c’est un nombre rationnel : l’écrire sous forme \(\frac{p}{q}\).
- Pour un décimal, placer son dernier chiffre au dénominateur : 3,75 devient \(\frac{375}{100}\), à simplifier.
- Si le nombre est une racine d’un entier non carré, ou \(\pi\), il n’est pas rationnel.
Nombre rationnel : exemple corrigé
Énoncé
Parmi les nombres \(3{,}75\), \(-\frac{4}{9}\), \(\sqrt{25}\) et \(\sqrt{7}\), lesquels sont rationnels ? Donner une écriture fractionnaire des rationnels.
Corrigé
\(3{,}75 = \frac{375}{100} = \frac{15}{4}\) : rationnel.
\(-\frac{4}{9}\) est déjà un quotient de deux entiers : rationnel. \(\sqrt{25} = 5 = \frac{5}{1}\) : rationnel.
\(7\) ne figure pas parmi les carrés parfaits, donc \(\sqrt{7}\) est irrationnel. Réponse : les trois premiers sont rationnels.
À toi de jouer
Question 1
Écrire \(0{,}36\) sous forme de fraction irréductible.
Voir la réponse
\(0{,}36 = \frac{36}{100} = \frac{9}{25}\).
Question 2
Un entier est-il toujours un rationnel ?
Voir la réponse
Oui : \(n = \frac{n}{1}\), donc tout entier relatif est aussi un rationnel.
Ne pas confondre Nombre rationnel et Nombre irrationnel
Un nombre rationnel est un quotient d’entiers : ses décimales finissent ou se répètent en boucle. Un irrationnel, ne s’écrit sous aucune fraction et ses décimales ne se répètent jamais. Le calcul avec une calculatrice ne permet pas de trancher, car l’écran n’affiche qu’une dizaine de chiffres.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
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