Équation de droite
En bref : Une équation de droite est une égalité vérifiée par les coordonnées des points de la droite, et d’eux seuls : y = mx + p si elle n’est pas verticale, x = k si elle l’est.
SecondeGéométrie plane
Définition : Équation de droite
Une équation de droite résume en une égalité la position des points d’une droite : \(M(x\,;\,y)\) en fait partie exactement quand ses coordonnées rendent cette égalité vraie.
Pour une droite non verticale, on utilise la forme réduite \(y=mx+p\). Le nombre \(m\) est le coefficient directeur : quand \(x\) augmente de \(1\), \(y\) varie de \(m\). Le nombre \(p\) est l’ordonnée à l’origine : la hauteur où la droite traverse l’axe vertical. Une droite verticale, elle, n’a pas de pente : son équation est \(x=k\), où \(k\) est l’abscisse commune de tous ses points.
Comment le reconnaître
- L’énoncé donne deux points et demande l’expression qui relie \(y\) à \(x\) sur la droite qui les joint.
- On lit sur un graphique une droite et on veut sa formule.
- Il faut trouver où une droite traverse l’axe vertical ou l’axe horizontal.
- On cherche si trois points sont alignés, ou le point d’intersection de deux droites.
La méthode
- Comparer les abscisses des deux points ; si elles sont égales, la droite est verticale et s’écrit \(x=k\).
- Calculer le coefficient directeur : \(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\).
- Poser l’équation de droite \(y=mx+p\) avec ce \(m\), puis remplacer \(x\) et \(y\) par les coordonnées de \(A\) pour trouver \(p\).
- Contrôler en remplaçant les coordonnées de \(B\) dans l’équation obtenue.
Équation de droite : exemple corrigé
Énoncé
Déterminer l’équation réduite de la droite \((AB)\) avec \(A(1\,;\,4)\) et \(B(5\,;\,-2)\).
Corrigé
Les abscisses sont différentes, donc la droite n’est pas verticale. Le coefficient directeur est \(m=\dfrac{-2-4}{5-1}=\dfrac{-6}{4}=-1{,}5\).
On écrit \(y=-1{,}5x+p\). Le point \(A\) donne \(4=-1{,}5\times 1+p\), donc \(p=5{,}5\). Contrôle avec \(B\) : \(-1{,}5\times 5+5{,}5=-7{,}5+5{,}5=-2\), juste. L’équation est \(y=-1{,}5x+5{,}5\).
À toi de jouer
Question 1
Soit la droite \(y=0{,}8x-3\). Quelle est l’ordonnée du point d’abscisse \(10\) ?
Voir la réponse
\(y=0{,}8\times 10-3=8-3=5\). Le point est \((10\,;\,5)\).
Question 2
Donner l’équation de la droite qui passe par \(C(4\,;\,7)\) et \(D(4\,;\,-2)\).
Voir la réponse
Les deux points ont la même abscisse : la droite est verticale, d’équation \(x=4\), sans forme réduite.
Ne pas confondre Équation de droite et Fonction affine
Une fonction affine \(x\mapsto mx+p\) associe un seul résultat à chaque nombre, et sa courbe est une droite non verticale. Mais toutes les droites ne sont pas des courbes de fonctions : une droite verticale a bien une équation, \(x=k\), sans être la représentation d’aucune fonction.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Coefficient directeur
- Ordonnée à l'origine
- Fonction affine
- Équation cartésienne
- Vecteur directeur
- Droite
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