Formule explicite
En bref : Une formule explicite exprime le terme de rang n d’une suite directement à partir de n, par exemple u(n) = 5 + 3n, sans avoir besoin de calculer les termes précédents.
PremièreSuites
Définition : Formule explicite
Une suite \((u_n)\) est donnée par une formule explicite lorsque \(u_n=f(n)\) pour une certaine fonction \(f\) : il suffit de remplacer \(n\) par le rang voulu pour obtenir le terme, aussi éloigné soit-il. Aucune boucle de calculs n’est nécessaire.
Cette manière de définir une suite s’oppose à la relation de récurrence, où chaque terme se déduit du précédent. Pour une suite arithmétique de premier terme \(u_0\) et de raison \(r\), on a \(u_n=u_0+nr\). Pour une suite géométrique de raison \(q\), \(u_n=u_0\times q^n\). Passer de la récurrence à la forme directe revient à reconnaître l’un de ces deux modèles.
Comment le reconnaître
- Le terme est écrit sous la forme \(u_n=3n^2-2n+1\), avec \(n\) comme seule variable.
- L’énoncé demande un terme de rang élevé, comme \(u_{30}\) ou \(u_{100}\).
- Une suite définie par récurrence est reconnue arithmétique ou géométrique.
- On cherche à partir de quel rang les termes dépassent un seuil donné.
La méthode
- Reconnaître le modèle : une suite arithmétique ajoute toujours le même nombre, une suite géométrique multiplie par le même nombre.
- Écrire la formule : \(u_n=u_0+nr\) pour l’arithmétique, \(u_n=u_0\times q^n\) pour la géométrique.
- Remplacer \(n\) par le rang demandé et calculer en respectant les priorités.
- Pour trouver un rang, résoudre l’inéquation obtenue en remplaçant \(u_n\) par le seuil.
Formule explicite : exemple corrigé
Énoncé
Une suite est définie par \(u_0=5\) et \(u_{n+1}=u_n+3\). Donner une formule explicite de \(u_n\), puis calculer \(u_{30}\). Pour la suite \(v_n=4\times 2^n\), calculer \(v_5\).
Corrigé
On ajoute toujours \(3\) : la suite est arithmétique, de raison \(3\) et de premier terme \(5\). La formule explicite est \(u_n=5+3n\), d’où \(u_{30}=5+90=\) \(95\), sans calculer les \(29\) termes intermédiaires.
La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(2\) : \(v_5=4\times 2^5=4\times 32=\) \(128\).
À toi de jouer
Question 1
Pour \(w_n=n^2-3n\), calculer \(w_6\).
Voir la réponse
\(w_6=36-18=18\).
Question 2
Pour \(t_n=100-7n\), à partir de quel rang \(t_n\) est-il négatif ?
Voir la réponse
\(100-7n<0\) donne \(n>\dfrac{100}{7}\approx 14{,}3\). Le premier rang est \(n=15\), avec \(t_{15}=-5\).
Ne pas confondre Formule explicite et Suite définie par récurrence
Dans une suite récurrente, chaque terme se calcule à partir du précédent : pour atteindre \(u_{30}\), il faut franchir toutes les étapes. Avec une expression directe, on saute immédiatement au rang voulu. Les deux descriptions peuvent représenter la même suite, mais la seconde est bien plus rapide pour les grands rangs.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Suite numérique
- Suite définie par récurrence
- Terme d'une suite
- Suite arithmétique
- Suite géométrique
- Raison d'une suite
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