Suite géométrique
En bref : Une suite géométrique multiplie chaque terme par un même coefficient q, appelé raison, pour obtenir le suivant ; son terme général s’écrit u_n = u_0 × q^n.
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Définition : Suite géométrique
Dans une suite géométrique, le passage d’un terme au suivant se fait toujours par la même multiplication : \(u_{n+1}=q\times u_n\). Le nombre \(q\) est la raison.
Si \(q>1\) et \(u_0>0\), les valeurs croissent de plus en plus vite ; si \(q\) est compris entre \(0\) et \(1\), elles décroissent en se rapprochant de zéro. Le terme général est \(u_n=u_0\,q^n\). Une évolution de \(t\,\%\) par période, répétée à l’identique, conduit à \(q=1+\frac{t}{100}\).
Comment le reconnaître
- Une grandeur varie d’un même pourcentage à chaque période, ce qui définit une suite géométrique : décote annuelle, intérêts composés, croissance d’une population.
- Le quotient de deux termes consécutifs est le même partout.
- Les valeurs évoluent de plus en plus vite, ou s’écrasent vers zéro, au lieu de progresser régulièrement.
- On demande la valeur après de nombreuses périodes sans vouloir tout calculer pas à pas.
La méthode
- Pour reconnaître une suite géométrique, calculer \(\frac{u_1}{u_0}\) et \(\frac{u_2}{u_1}\) : si les quotients coïncident, c’est la raison \(q\).
- Pour une évolution en pourcentage, déduire \(q\) du coefficient multiplicateur : baisse de \(12\,\%\) donne \(q=0{,}88\).
- Écrire \(u_n=u_0\,q^n\) (ou \(u_n=u_p\,q^{n-p}\) depuis le rang \(p\)).
- Remplacer \(n\) par le rang voulu, calculer la puissance en premier, puis multiplier.
Suite géométrique : exemple corrigé
Énoncé
Un vélo électrique acheté \(2\,400\) € perd \(12\,\%\) de sa valeur chaque année. Quelle est sa valeur au bout de \(3\) ans ?
Corrigé
Une baisse de \(12\,\%\) multiplie par \(1-0{,}12=0{,}88\) : la valeur forme une suite de premier terme \(u_0=2\,400\) et de raison \(q=0{,}88\).
Alors \(u_3=2\,400\times 0{,}88^3=2\,400\times 0{,}681472\approx\) \(1\,635{,}53\) €.
À toi de jouer
Question 1
Une suite vérifie \(u_0=5\) et \(q=3\). Calculer \(u_4\).
Voir la réponse
\(u_4=5\times 3^4=5\times 81=405\).
Question 2
Les nombres \(64\), \(32\), \(16\) sont les premiers termes d’une telle suite. Quelle est sa raison ?
Voir la réponse
\(\frac{32}{64}=\frac{16}{32}=0{,}5\) : la raison est \(0{,}5\) et la suite décroît.
Ne pas confondre Suite géométrique et Suite arithmétique
Le piège est de croire qu’une hausse de pourcentage donne une suite arithmétique. Un taux constant, comme \(+5\,\%\), ajoute un montant de plus en plus grand à chaque étape : on multiplie, donc la suite est géométrique. Seul un ajout du même nombre d’euros, de places ou de mètres donne une suite arithmétique.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Raison d'une suite
- Suite arithmétique
- Coefficient multiplicateur
- Taux d'évolution
- Somme des termes d'une suite
- Terme d'une suite
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