Combinaison
En bref : Une combinaison de k éléments parmi n est une partie de k éléments de l’ensemble, choisie sans tenir compte de l’ordre ; leur nombre total est le coefficient binomial de k parmi n.
TerminaleProbabilités
Définition : Combinaison
Une combinaison est un choix de \(k\) éléments dans un ensemble de \(n\) éléments où seul compte qui est choisi, jamais l’ordre ni la place. Choisir Léa puis Hugo revient à choisir Hugo puis Léa.
Le nombre de combinaisons de \(k\) éléments parmi \(n\) est \(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\). On le retrouve en partant des arrangements \(\frac{n!}{(n-k)!}\) et en divisant par les \(k!\) façons d’ordonner un même groupe.
Comment le reconnaître
- L’énoncé parle de former un groupe, un comité, une main de cartes ou un tirage simultané.
- Les éléments choisis ne jouent pas des rôles différents : pas de président, pas de rang.
- Un tirage « en une seule fois » de plusieurs boules d’une urne apparaît.
- On utilise la touche « nCr » de la calculatrice ou la notation \(\binom{n}{k}\).
La méthode
- Se demander si l’ordre change le résultat : si non, c’est une combinaison.
- Identifier \(n\) (éléments disponibles) et \(k\) (éléments retenus).
- Calculer \(\binom{n}{k}\) en simplifiant la fraction de factorielles.
- Pour plusieurs choix indépendants, multiplier les nombres de combinaisons de chaque étape.
Combinaison : exemple corrigé
Énoncé
Dans un club de robotique, on choisit \(4\) élèves parmi \(12\) pour représenter le club à un tournoi, sans rôle particulier. Combien d’équipes différentes peut-on former ?
Corrigé
L’ordre n’intervient pas : il s’agit d’une combinaison de \(4\) parmi \(12\).
\(\binom{12}{4}=\frac{12\times 11\times 10\times 9}{4\times 3\times 2\times 1}=\frac{11\,880}{24}=\) \(495\) équipes.
À toi de jouer
Question 1
Combien de combinaisons de \(3\) cartes dans un paquet réduit de \(6\) cartes ?
Voir la réponse
\(\binom{6}{3}=\frac{6\times 5\times 4}{6}=20\).
Question 2
Si l’on attribue à ces \(3\) cartes un ordre précis (premier, deuxième, troisième), combien de tirages ?
Voir la réponse
L’ordre compte : \(6\times 5\times 4=120\), soit \(20\times 3!\).
Ne pas confondre Combinaison et Permutation
Une permutation range tous les éléments dans un ordre : \(n!\) possibilités. Ici, on n’en retient que certains et l’ordre est ignoré. Trois amis sur un banc donnent \(3!=6\) permutations ; en choisir deux parmi trois pour une mission donne \(\binom{3}{2}=3\) combinaisons.
Pour aller plus loin
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