Dénombrement
En bref : Le dénombrement est l’art de compter sans tout lister le nombre de cas possibles, grâce au principe multiplicatif, aux arrangements, aux permutations et aux combinaisons.
TerminaleProbabilités
Définition : Dénombrement
Le dénombrement regroupe les techniques qui comptent les résultats d’une situation, sans les écrire un par un. Il sert à calculer des probabilités quand tous les cas sont équiprobables.
Si une expérience se fait en étapes comportant \(n_1\), \(n_2\), …, \(n_p\) choix indépendants, le nombre de résultats est le produit \(n_1\times n_2\times\cdots\times n_p\). On distingue ensuite les situations avec ou sans ordre, avec ou sans répétition.
Comment le reconnaître
- L’énoncé commence par « combien y a-t-il de façons de… » ou « de combien de manières… ».
- Un code, un mot de passe, une plaque ou un menu est construit en plusieurs choix successifs.
- On calcule une probabilité en divisant le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles.
- Il faut décider si l’ordre et les répétitions comptent.
La méthode
- Décomposer la situation en étapes successives et noter le nombre de choix à chaque étape.
- Se demander si l’ordre compte et si un élément peut être choisi plusieurs fois.
- Multiplier les choix des étapes, ou utiliser \(n!\), un arrangement ou \(\binom{n}{k}\) selon le cas.
- Vérifier avec un cas réduit énumérable à la main pour valider la méthode.
Dénombrement : exemple corrigé
Énoncé
Une cafétéria propose \(4\) entrées, \(6\) plats et \(3\) desserts. Un repas complet comprend une entrée, un plat et un dessert. Combien de repas différents ? Et si l’on peut aussi renoncer au dessert ?
Corrigé
Trois étapes indépendantes : \(4\times 6\times 3=\) \(72\) repas.
En ajoutant l’option « sans dessert », il y a \(3+1=4\) choix pour la dernière étape : \(4\times 6\times 4=\) \(96\) repas.
À toi de jouer
Question 1
Combien de codes de \(4\) chiffres tous différents peut-on former avec les chiffres de \(0\) à \(9\) ?
Voir la réponse
\(10\times 9\times 8\times 7=5\,040\).
Question 2
Combien de mots de passe de \(3\) lettres (répétitions permises) avec les \(26\) lettres ?
Voir la réponse
\(26\times 26\times 26=26^3=17\,576\).
Ne pas confondre Dénombrement et Combinaison
Le dénombrement est le domaine entier ; la combinaison n’en est qu’un outil, utile quand l’ordre ne compte pas. Pour un code, l’ordre compte : on multiplie des choix. Pour une équipe, il ne compte pas : on utilise \(\binom{n}{k}\).
Pour aller plus loin
Cours
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · Terminale · Probabilités
