Permutation
En bref : Une permutation de n éléments distincts est un rangement de tous ces éléments dans un certain ordre ; il existe n! permutations différentes de n éléments.
TerminaleProbabilités
Définition : Permutation
Une permutation est une manière d’ordonner tous les éléments d’un ensemble, chacun apparaissant une seule fois. Changer l’ordre donne une autre permutation, comme réarranger les lettres d’un mot pour former un anagramme.
Pour \(n\) éléments distincts, on a \(n\) choix pour la première place, \(n-1\) pour la deuxième, et ainsi de suite jusqu’à \(1\) : le nombre de permutations est \(n\times(n-1)\times\cdots\times 1=n!\).
Comment le reconnaître
- L’énoncé demande de ranger, aligner, classer ou programmer tous les éléments d’un groupe.
- Les éléments sont tous différents et chacun est utilisé exactement une fois.
- On cherche le nombre d’anagrammes d’un mot dont les lettres sont toutes distinctes.
- Une contrainte du type « tel élément est placé en premier » réduit le nombre de choix.
La méthode
- Vérifier que tous les éléments sont distincts et qu’ils sont tous utilisés.
- Appliquer \(n!\) pour \(n\) éléments libres.
- En cas de contrainte, placer d’abord l’élément imposé, puis ranger les \(n-1\) autres en \((n-1)!\) façons.
- Contrôler sur un petit exemple : trois éléments donnent \(3!=6\) permutations.
Permutation : exemple corrigé
Énoncé
Un festival de rue programme \(6\) groupes sur une même scène. Combien d’ordres de passage sont possibles ? Et si le groupe de la région doit ouvrir la soirée ?
Corrigé
Sans contrainte : \(6!=720\) ordres de passage.
Si le groupe local ouvre, sa place est fixée. Il reste \(5\) groupes à ranger : \(5!=\) \(120\) ordres.
À toi de jouer
Question 1
Combien d’anagrammes (même sans sens) du mot COURBE, dont les six lettres sont distinctes ?
Voir la réponse
\(6!=720\).
Question 2
Quatre livres sont rangés sur une étagère, un tome imposé à l’extrémité gauche. Combien de rangements ?
Voir la réponse
Il reste \(3\) livres à ranger : \(3!=6\).
Ne pas confondre Permutation et Combinaison
Ici, tout le groupe est ordonné et l’ordre change le résultat. Une combinaison choisit seulement une partie du groupe et néglige l’ordre. Ranger trois personnes sur un podium est une permutation ; en choisir deux pour une mission est une combinaison.
Pour aller plus loin
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