Factorielle
En bref : La factorielle de n, notée n!, multiplie entre eux tous les entiers de 1 jusqu’à n (par convention 0! = 1) et donne le nombre de manières d’ordonner n objets distincts.
TerminaleProbabilités
Définition : Factorielle
La factorielle d’un entier naturel \(n\) se note \(n!\) et se lit « n factorielle ». On pose \(n!=n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1\), et l’on décide que \(0!=1\).
Elle vérifie \((n+1)!=(n+1)\times n!\), ce qui permet de simplifier des quotients comme \(\frac{9!}{7!}=9\times 8\). Elle croît extrêmement vite : \(10!=3\,628\,800\), et \(20!\) dépasse deux milliards de milliards.
Comment le reconnaître
- Le symbole « ! » apparaît après un entier ou une expression comme \((n+1)!\).
- On range, classe ou aligne tous les éléments d’un ensemble : podium, planning, file d’attente.
- Une formule de combinaison \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\) doit être calculée sans développer de gros nombres.
- La calculatrice affiche un dépassement de capacité pour des valeurs de \(n\) assez grandes.
La méthode
- Écrire le produit des entiers de \(1\) à \(n\) pour les petites valeurs, sans oublier que \(0!=1\).
- Pour un quotient, développer la plus grande factorielle jusqu’à retrouver la plus petite, puis simplifier.
- Utiliser \((n+1)!=(n+1)\,n!\) pour factoriser une expression littérale.
- Garder une écriture factorisée tant que le calcul n’exige pas la valeur décimale.
Factorielle : exemple corrigé
Énoncé
Six coureurs d’un trail disputent une finale. De combien de façons peuvent-ils franchir la ligne, sans ex æquo ? Simplifier ensuite \(\frac{9!}{7!}\).
Corrigé
Le nombre de classements est \(6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=\) \(720\).
Pour le quotient : \(\frac{9!}{7!}=\frac{9\times 8\times 7!}{7!}=9\times 8=\) \(72\).
À toi de jouer
Question 1
Calculer \(\frac{10!}{8!}\).
Voir la réponse
\(\frac{10\times 9\times 8!}{8!}=90\).
Question 2
Simplifier \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}\) pour \(n\ge 1\).
Voir la réponse
\(\frac{(n+1)\,n\,(n-1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\).
Ne pas confondre Factorielle et Permutation
La factorielle est un nombre : \(5!=120\). La permutation est un rangement concret des éléments (par exemple ABCDE). Le nombre de permutations de \(n\) éléments se calcule avec la factorielle.
Pour aller plus loin
Cours
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