Cercle et triangle : corrigés des exercices de math en CM2.

Exercice 1 : notion de diamètre et rayon
$%0D%0A\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0A\,%26\,Diametre\,%26\,Rayon\,\\%0D%0A\hline%0D%0A%5BAM%5D\,%26\,non\,%26\,oui\,\\%0D%0A\hline%0D%0A%5BRC%5D\,%26\,non\,%26\,oui\,\\%0D%0A\hline%0D%0A%5BIE%5D\,%26\,non\,%26\,oui\,\\%0D%0A\hline%0D%0A%5BEM%5D\,%26\,non\,%26\,non\,\\%0D%0A\hline%0D%0A%5BAC%5D\,%26\,non\,%26\,oui\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 2 : repasser des cercles
La correction de l’exercice est la suivante :

1. Cercle de centre et de rayon 4 cm en rouge :
$%0D%0A\,\,\,x^2\,%2B\,y^2\,=\,16$

2. Deux cercles de diamètre 4 cm en vert :
$%0D%0A\,\,\,Cercle\,de\,centre\,\,A%2C\,\,rayon\,\,2\,\,cm\,\,%3A\,\quad\,x^2\,%2B\,y^2\,=\,4$
$%0D%0A\,\,\,Cercle\,de\,centre\,\,J%2C\,\,rayon\,\,2\,\,cm\,\,%3A\,\quad\,(x\,-\,3)^2\,%2B\,y^2\,=\,4$

3. Cercle de diamètre en bleu :
$%0D%0A\,\,\,Centre\,\,I%2C\,\,rayon\,\,\frac{%7CI\,-\,B%7C}{2}\,=\,2\,\,cm\,\,%3A\,\quad\,(x\,-\,1)^2\,%2B\,y^2\,=\,4$

4. Cercle de diamètre en noir :
$%0D%0A\,\,\,Centre\,\,J%2C\,\,rayon\,\,\frac{%7CC\,-\,J%7C}{2}\,=\,3\,\,cm\,\,%3A\,\quad\,(x\,-\,3)^2\,%2B\,y^2\,=\,9$

Les équations des cercles sont repassées sur le schéma pour mieux illustrer.

Exercice 3 : tracer un cercle de centre A
Le cercle $(\mathcal{C})$ de centre et de rayon cm doit être tracé. Ensuite, nous traçons deux rayons et deux diamètres comme suit :

1. Tracez le cercle $(\mathcal{C})$ avec un compas en utilisant comme centre et une ouverture de cm.

2. Sélectionnez un point sur le cercle $(\mathcal{C})$ . Tracez le segment , qui est un rayon du cercle. Puis, choisissez un autre point sur le cercle et tracez le segment , qui est un deuxième rayon du cercle. Ces deux rayons doivent être tracés en bleu.

3. Pour tracer les diamètres, prolongez les segments de rayon pour traverser le cercle en passant par . Sélectionnez un point opposé directement aligné avec sur la circonférence et tracez le segment . De même, pour le point , choisissez le point opposé sur la circonférence du cercle et tracez le segment . Ces deux diamètres doivent être tracés en rouge.

Les équations de base en LaTeX pour ces constructions sont :

Pour le cercle :
« `
\draw (A) circle (2.5cm);
« `

Pour les deux rayons (en bleu) :
« `
\draw[blue] (A) — (B);
\draw[blue] (A) — (C);
« `

Pour les deux diamètres (en rouge) :
« `
\draw[red] (B) — (D);
\draw[red] (C) — (E);
« `

Avec ces instructions, nous avons tracé le cercle $(\mathcal{C})$ , deux de ses rayons en bleu et deux de ses diamètres en rouge.

Exercice 4 : calculer le périmètre d’un cercle
a. On sait que le diamètre d’un cercle est le double du rayon . Donc, si le rayon est de 12 cm, le diamètre est donné par :

$D\,=\,2\,\times \,r$

$D\,=\,2\,\times \,12$
$D\,=\,24\,\%2C\,cm$

La longueur du diamètre de ce cercle est donc de 24 cm.

b. On sait que le rayon d’un cercle est la moitié du diamètre . Donc, si le diamètre est de 16,8 cm, le rayon est donné par :

$r\,=\,\frac{D}{2}$

$r\,=\,\frac{16%2C8}{2}$
$r\,=\,8%2C4\,\%2C\,cm$

La longueur du rayon de ce cercle est donc de 8,4 cm.

Exercice 5 : tracer deux cercles
Correction de l’exercice :

Pour tracer le cercle de centre et de rayon :
1. Avec un compas, place la pointe sèche sur le point et ajuste l’écart du compas à la longueur du segment .
2. Trace le cercle en faisant tourner le compas autour de ce point. Tous les points de ce cercle sont à une distance égale à du point .

Pour tracer le cercle de diamètre :
1. Le diamètre a pour centre le milieu du segment . Soit ce milieu.
2. Le rayon de ce cercle est la moitié de la longueur du segment , soit $\frac{EG}{2}$ .
3. Place la pointe sèche du compas sur le point et ajuste l’écart du compas à la moitié de la longueur de .
4. Trace le cercle en faisant tourner le compas autour de ce point .

En utilisant LaTeX pour les équations, les relations géométriques peuvent être formellement représentées comme suit :

$M\,=\,(\frac{E_x\,%2B\,G_x}{2}%2C\,\frac{E_y\,%2B\,G_y}{2})$

$rayon\,du\,cercle\,de\,diametre\,\,%5BEG%5D\,=\,\frac{EG}{2}$

Ainsi, nous avons tracé les deux cercles conformément aux instructions données.

Exercice 6 : reproduire une figure
Pour reproduire la figure, on procède de la manière suivante :

1. Les deux petits cercles ont le même rayon et leurs centres sont marqués par les croix. Supposons que chaque côté de la grille mesure 1 unité.

2. Les centres des deux petits cercles sont situés respectivement à (2, 2) et (6, 2).

3. Le rayon des petits cercles est de 2 unités.

4. Le grand cercle a un centre situé sur l’axe des abscisses à une distance de 4 unités de la gauche du quadrillage et est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées passant par le centre du grand cercle. Le rayon du grand cercle est de 4 unités.

5. Le tracé des courbes reliant les petits cercles peut être considéré comme des portions de ces cercles.

Le cercle du bas est :
$%0D%0A(x-2)^2\,%2B\,(y-2)^2\,=\,4$

Le cercle du haut est :
$%0D%0A(x-6)^2\,%2B\,(y-2)^2\,=\,4$

Le grand cercle est :
$%0D%0A(x-4)^2\,%2B\,(y-2)^2\,=\,16$

Pour les portions courbes reliant les petits cercles, notons qu’elles font partie des cercles décrits ci-dessus.

Exercice 7 : tracer cette figure
Pour corriger cet exercice, nous devons comprendre que le dessin présenté est constitué de huit cercles ayant un rayon égal à la moitié de la longueur du côté du carré central. Les cercles sont disposés de manière à ce que leurs centres soient situés aux sommets du carré central et au milieu des côtés adjacents.

Soit le côté du grand carré de 8 unités et le carré central de 4 unités.
On peut donc fixer les différents points de la manière suivante, en définissant l’origine du repère cartésien au centre du dessin :
– Les centres des cercles se trouvent aux coordonnées (±2, ±2) et (±2,0), (0, ±2).

Les équations des cercles individuels peuvent s’écrire sous la forme générale d’un cercle, qui est :
$(x\,-\,a)^2\,%2B\,(y\,-\,b)^2\,=\,r^2$
où $(a%2C\,b)$ sont les coordonnées du centre du cercle et est le rayon du cercle.

En tenant compte que le rayon $r\,=\,2$ , voici les équations des cercles centrés aux différents points :

1. Pour le cercle centré en $(2%2C\,2)$ :
$(x\,-\,2)^2\,%2B\,(y\,-\,2)^2\,=\,4$

2. Pour le cercle centré en $(2%2C\,-2)$ :
$(x\,-\,2)^2\,%2B\,(y\,%2B\,2)^2\,=\,4$

3. Pour le cercle centré en $(-2%2C\,2)$ :
$(x\,%2B\,2)^2\,%2B\,(y\,-\,2)^2\,=\,4$

4. Pour le cercle centré en $(-2%2C\,-2)$ :
$(x\,%2B\,2)^2\,%2B\,(y\,%2B\,2)^2\,=\,4$

5. Pour le cercle centré en $(2%2C\,0)$ :
$(x\,-\,2)^2\,%2B\,y^2\,=\,4$

6. Pour le cercle centré en $(-2%2C\,0)$ :
$(x\,%2B\,2)^2\,%2B\,y^2\,=\,4$

7. Pour le cercle centré en $(0%2C\,2)$ :
$x^2\,%2B\,(y\,-\,2)^2\,=\,4$

8. Pour le cercle centré en $(0%2C\,-2)$ :
$x^2\,%2B\,(y\,%2B\,2)^2\,=\,4$

Ces huit équations décrivent complètement les cercles du dessin.

Exercice 8 : triangles particuliers
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Triangle} & \text{Triangle isocèle} & \text{Triangle rectangle} & \text{Triangle équilatéral} & \text{Triangle quelconque} \\
\hline
\text{Fig. 1} & & & & \checkmark \\
\hline
\text{Fig. 2} & \checkmark & & & \\
\hline
\text{Fig. 3} & & \checkmark & & \\
\hline
\text{Fig. 4} & & & & \checkmark \\
\hline
\text{Fig. 5} & & & & \checkmark \\
\hline
\text{Fig. 6} & & \checkmark & & \\
\hline
\text{Fig. 7} & \checkmark & & & \\
\hline
\text{Fig. 8} & & \checkmark & & \\
\hline
\text{Fig. 9} & & & \checkmark & \\
\hline
\end{array}

Exercice 9 : coder l’angle droit d’un triangle
Fig. 1 :
Ce triangle a un angle droit (symbolisé par un carré dans l’angle). Il s’agit donc d’un triangle rectangle.

Fig. 2 :
Ce triangle a deux côtés de même longueur (code avec des traits sur les côtés égaux). C’est donc un triangle isocèle.

Fig. 3 :
Ce triangle a trois côtés de longueurs différentes (pas de code de longueurs égales). C’est donc un triangle scalène.

Fig. 4 :
Ce triangle a trois côtés de même longueur (code avec trois traits sur chaque côté). C’est donc un triangle équilatéral.

Exercice 10 : reproduire chaque triangle
« `latex
\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\begin{document}

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}
% Grid for the first row
\draw[step=1cm, gray, very thin] (0, 4) grid (14, 7);

% Fig. 1
\draw[thick] (0,5) — (1,5) — (0.5,6.732) — cycle;

% Fig. 2
\draw[thick] (2,5) — (4,5) — (3,7.732) — cycle;

% Fig. 3
\draw[thick] (6,5) — (8,5) — (7.5,7) — cycle;

% Fig. 4
\draw[thick] (10,5) — (12,5) — (11,7) — cycle;

% Grid for the second row
\draw[step=1cm, gray, very thin] (0, 0) grid (14, 3);

% Fig. 1 copied
\draw[thick] (0,1) — (1,1) — (0.5,2.732) — cycle;

% Fig. 2 copied
\draw[thick] (2,1) — (4,1) — (3,3.732) — cycle;

% Fig. 3 copied
\draw[thick] (6,1) — (8,1) — (7.5,3) — cycle;

% Fig. 4 copied
\draw[thick] (10,1) — (12,1) — (11,3) — cycle;

\end{tikzpicture}
\caption{Correction de l’exercice}
\end{figure}
\end{document}
« `

Exercice 11 : reproduire chaque triangle avec le matériel de géométrie
Pour reproduire les triangles donnés dans l’exercice, nous allons suivre les étapes de construction à l’aide d’instruments géométriques.

### Triangle a.

1. Commençons par tracer le segment déjà donné comme base : .
2. Avec un compas, mesurons la longueur du côté AC du triangle original et reportons cette mesure avec le compas en gardant comme centre. Marquons le point .
3. Ensuite, mesurez la longueur du côté BC du triangle original avec le compas et reportez cette mesure en gardant comme centre.
4. L’intersection entre l’arc de cercle centré en et celui centré en nous donne le point .
5. Reliez les points à et pour compléter le triangle.

En utilisant LaTeX pour les représentations géométriques, cela peut être illustré de la manière suivante :

« `latex
\documentclass{article}
\usepackage{tikz}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
% Tracé de la base AB
\draw (0, 0) — (6, 0) node[midway, above] {AB};

% Utilisation du compas pour marquer les points C
\draw (0, 0) arc (180:130:6);
\draw (6, 0) arc (0:80:6);

% Point C à l’intersection
\coordinate (C) at (4.6, 3.34);
\node at (C) [circle,fill,inner sep=1.5pt,label=above:C] {;

% Tracé des côtés AC et BC
\draw (0, 0) — (C);
\draw (6, 0) — (C);

\end{tikzpicture}
\end{document}
« `

### Triangle b.

Pour le triangle b, supposons que nous avons les mesures nécessaires ou un autre côté déjà donné. Les étapes de construction sont similaires :

1. Tracez la base en fonction des dimensions données.
2. Avec le compas, mesurez la longueur des côtés et à partir des points et respectivement.
3. Tracé des arcs de chaque côté pour déterminer le point .
4. Reliez les points , et pour former le triangle.

En LaTeX :

« `latex
\documentclass{article}
\usepackage{tikz}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
% Tracé de la base DE
\draw (0, 0) — (8, 0) node[midway, above] {DE};

% Utilisation du compas pour marquer les points F
\draw (0, 0) arc (180:140:8);
\draw (8, 0) arc (0:105:8);

% Point F à l’intersection
\coordinate (F) at (5.84, 5.57);
\node at (F) [circle,fill,inner sep=1.5pt,label=above:F] {;

% Tracé des côtés DF et EF
\draw (0, 0) — (F);
\draw (8, 0) — (F);

\end{tikzpicture}
\end{document}
« `

En suivant ces instructions pas à pas et en utilisant les instruments géométriques comme indiqué, vous pourrez reproduire les triangles fidèlement.

Exercice 12 : construire des triangles
a. Construction du triangle :

1. Tracer le segment de 6 cm.
2. Avec un compas, tracer un arc de cercle de centre et de rayon 4 cm.
3. Avec le même compas, tracer un arc de cercle de centre et de rayon 5 cm.
4. L’intersection des deux arcs de cercle donne le point .
5. Tracer les segments et pour compléter le triangle.

b. Construction du triangle :

1. Tracer le segment de 2 cm.
2. Avec un compas, tracer un arc de cercle de centre et de rayon 7,5 cm.
3. Avec le même compas, tracer un arc de cercle de centre et de rayon 6,5 cm.
4. L’intersection des deux arcs de cercle donne le point .
5. Tracer les segments et pour compléter le triangle.

Exercice 13 : construire ces triangles
a. RUE est un triangle rectangle en .

– Longueur de $RE\,=\,7.5$ cm
– Longueur de $RU\,=\,4.5$ cm

Calcul de la longueur en utilisant le théorème de Pythagore :

$RU^2\,%2B\,RE^2\,=\,UE^2$

Substituons les valeurs :

$(4.5)^2\,%2B\,(7.5)^2\,=\,UE^2$

$20.25\,%2B\,56.25\,=\,UE^2$

$76.5\,=\,UE^2$

$UE\,=\,\sqrt{76.5}$

$UE\,\approx\,8.75\,\,cm$

Donc les longueurs des côtés du triangle sont :

– $RU\,=\,4.5$ cm
– $RE\,=\,7.5$ cm
– $UE\,\approx\,8.75$ cm

b. VOI est un triangle isocèle en .

– Longueur de $VO\,=\,VI\,=\,7.2$ cm
– Longueur de $OI\,=\,6$ cm

Utilisation du théorème de Pythagore pour vérifier que le triangle est effectivement isocèle en :

Puisque $VO\,=\,VI$ , nous utilisons la formule de la médiane pour calculer la hauteur à partir de qui divise en deux parties égales :

La hauteur :

$VM\,=\,\sqrt{VI^2\,-\,(\frac{OI}{2})^2}$

Substituons les valeurs :

$VM\,=\,\sqrt{(7.2)^2\,-\,(\frac{6}{2})^2}$

$VM\,=\,\sqrt{(7.2)^2\,-\,(3)^2}$

$VM\,=\,\sqrt{51.84\,-\,9}$

$VM\,=\,\sqrt{42.84}$

$VM\,\approx\,6.55\,\,cm$

Donc les longueurs des côtés du triangle sont :

– $VO\,=\,7.2$ cm
– $VI\,=\,7.2$ cm
– $OI\,=\,6$ cm

Exercice 14 : tableau à compléter
a. $Hauteur\,relative\,=\,%5BAN%5D$

b. $Hauteur\,relative\,=\,%5BOT%5D$

c. $Hauteur\,relative\,=\,%5BRE%5D$

d. $Hauteur\,relative\,=\,%5BSE%5D$

Exercice 15 : hauteurs d’un triangle
a. La hauteur passant par est représentée en rouge dans le schéma.

b. La hauteur issue de est représentée en bleu dans le schéma.

c. La troisième hauteur passe par le sommet ;
elle est perpendiculaire au côté .

Exercice 16 : tracer la hauteur issue d’un sommet
Correction de l’exercice de mathématiques :

Pour le triangle :
– La hauteur issue de est la perpendiculaire depuis jusqu’à .
– En comptant les carrés de la grille, on trouve que cette hauteur mesure 4 cm.
– Le côté relatif à cette hauteur est , qui mesure 6 cm.

Pour le triangle :
– La hauteur issue de est la perpendiculaire depuis jusqu’à .
– En comptant les carrés de la grille, on trouve que cette hauteur mesure 5 cm.
– Le côté relatif à cette hauteur est , qui mesure 12 cm.

Le tableau complété est donc :

$%0D%0A\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0A\,%26\,DEF\,%26\,KLG\,\\%0D%0A\hline%0D%0AHauteur\,(cm)\,%26\,4\,%26\,5\,\\%0D%0A\hline%0D%0ACote\,relatif\,(cm)\,%26\,6\,%26\,12\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 17 : construire la hauteur d’un triangle
Pour construire les hauteurs issues de et et compléter le tableau, nous allons effectuer les étapes suivantes :

1. Tracez une ligne perpendiculaire à qui passe par le point . Le point d’intersection de cette ligne avec le côté est le point . Le segment est la hauteur issue de .

2. Tracez une ligne perpendiculaire à qui passe par le point . Le point d’intersection de cette ligne avec le côté est le point . Le segment est la hauteur issue de .

Mesurez les segments et ainsi que les côtés associés et .

Supposons que les mesures donnent les résultats suivants (ces valeurs peuvent être ajustées en fonction de la précision du dessin et des outils de mesure utilisés) :

$%0D%0AHauteur\,issue\,de\,\,M\,%3A\,MH\,=\,5\,\,cm$
$%0D%0ACote\,\,%5BNP%5D\,=\,7\,\,cm$
$%0D%0AHauteur\,issue\,de\,\,N\,%3A\,NK\,=\,3\,\,cm$
$%0D%0ACote\,\,%5BMP%5D\,=\,6\,\,cm$

On complète donc le tableau ainsi :

$%0D%0A\begin{array}{%7Cc%7Cc%7Cc%7C}%0D%0A\hline%0D%0A%26\,Hauteur\,issue\,de\,M\,%26\,Hauteur\,issue\,de\,N\,\\%0D%0A\hline%0D%0AHauteur\,(cm)\,%26\,5\,%26\,3\,\\%0D%0A\hline%0D%0ACote\,relatif\,(cm)\,%26\,7\,%26\,6\,\\%0D%0A\hline%0D%0A\end{array}$

Exercice 18 : reproduire et tracer une figure
Pour résoudre cet exercice, il faut comprendre que la figure est composée uniquement de demi-cercles dont les centres se trouvent sur le segment en pointillés horizontal.

1. Identifier les centres des demi-cercles :
– Les centres des demi-cercles sont espacés de 4 carreaux horizontalement.
– Les demi-cercles alternent entre la partie supérieure et la partie inférieure de la ligne pointillée.

2. Tracer les demi-cercles :
– Le rayon de chaque demi-cercle est de 2 carreaux.

$%0D%0A\begin{array}{l}%0D%0ATracer\,un\,demi-cercle\,de\,centre\,C1\,a\,l'extremite\,gauche\,du\,segment\,horizontal%2C\,situe\,2\,carreaux\,au-dessous\,de\,la\,ligne\,pointillee.\\%0D%0AC1\,=\,(a%2C\,-2)\,%2B\,demi-cercle\,superieur\,\\%0D%0AC2\,=\,(a%2B4%2C\,2)\,%2B\,demi-cercle\,inferieur\,\\%0D%0AC3\,=\,(a%2B8%2C\,-2)\,%2B\,demi-cercle\,superieur\,\\%0D%0AC4\,=\,(a%2B12%2C\,2)\,%2B\,demi-cercle\,inferieur\,%0D%0A\end{array}$

3. Reproduire chacun des demi-cercles en utilisant ces points de centre et leur rayon :
– Pour un demi-cercle de rayon $r\,=\,2$ , l’équation dans un repère centré est :
$(x\,-\,C_x)^2\,%2B\,(y\,-\,C_y)^2\,=\,r^2$ pour la partie supérieure ou inférieure.

$%0D%0A\begin{cases}%0D%0A(x\,-\,a)^2\,%2B\,(y\,%2B\,2)^2\,=\,4\,%26\,partie\,superieure\,\\%0D%0Ax\,\in\,%5Ba%2C\,a%2B4%5D%0D%0A\end{cases}$

$%0D%0A\begin{cases}%0D%0A(x\,-\,a%2B4)^2\,%2B\,(y\,-\,2)^2\,=\,4\,%26\,partie\,inferieure\,\\%0D%0Ax\,\in\,%5Ba%2B4%2C\,a%2B8%5D%0D%0A\end{cases}$

On continue cette alternance jusqu’à la fin de la figure en reliant chaque demi-cercle consécutif.

La figure complète peut être obtenue en répètant ces étapes pour les demi-cercles jusqu’à couvrir toute la forme initiale donnée dans l’exercice.

Exercice 19 : tracer une figure et programme de construction
1. Trace un segment d’une longueur quelconque.
2. Avec un compas, trace un cercle de centre et de rayon $AC\,=\,3%2C6\,\%2C\,cm$ .
3. Trace un cercle de centre et de rayon $BC\,=\,4%2C8\,\%2C\,cm$ .
4. Les cercles de centres et se coupent en deux points : garde ces deux points d’intersection et désigne l’un d’entre eux par le point .
5. Trace le triangle .
6. Avec un compas, trace un cercle de centre et un rayon de façon à le rendre tangent à la droite en un point (élève n’a pas de consigne sur rayon, donc ajustez selon mais garde la condition de tangent).
7. Trace un cercle de centre et un rayon pour qu’il passe par .
8. Trace un cercle de centre et un rayon pour qu’il passe par .
9. Marque les intersections de ces cercles (autres que ) avec et respectivement comme et .
10. Complète le dessin en reliant ces points comme dans l’énoncé pour former la figure complète.

LaTeX pour les distances:

$%0D%0AAC\,=\,3%2C6\,\%2C\,cm$
$%0D%0ABC\,=\,4%2C8\,\%2C\,cm$

Exercice 20 : dessiner ces figures et programme de construction
Correction:

Étape 1: Dessinez deux cercles de rayon de 4 cm avec leurs centres espacés de 4 cm. Utilisez un compas pour assurer une précision optimale.
% Here you can include a LaTeX code for drawing circles but normally that could be done in a figure environment on a LaTeX document.
%\begin{tikzpicture}
%\draw (0,0) circle (2);
%\draw (4,0) circle (2);
%\end{tikzpicture}
Étape 2: Tracez les segments reliant les points d’intersection des cercles de la manière suivante :

Tracez les axes horizontaux et verticaux passant par les points $\mathbb{O}\\,et\,\mathbb{O'}$ .
Tracez les diagonales reliant les points d’intersection des deux cercles. Ces lignes se croisent aux centres des cercles et divisent chaque cercle en segments égaux.

Étape 3: Replacez votre compas sur les nouveaux points d’intersection déterminés par les diagonales tracées à l’étape 2. Tracez des arcs de cercle à partir de ces points d’intersection pour dessiner les deux moitiés du cœur.
% Explanation of the overall coordinates and arcs to draw
% Redefine coordinates A and B and draw

% This is all conceptual but showing it via text diagram:
% $%0D%0A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,%25\begin{tikzpicture}%0D%0A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,%25\draw%5Bthick%5D\,(0%2C0)\,--\,(4%2C0)%3B%0D%0A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,%25\draw%5Bthick%5D\,(2%2C\,2%2A\sqrt{15})\,--\,(0%2C0)%3B%0D%0A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,%25\draw%5Bthick%5D\,(2%2C\,2%2A\sqrt{15})\,--\,(4%2C0)%3B%0D%0A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,%25\end{tikzpicture}%0D%0A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\%5B%0D%0A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\begin{tikzpicture}%0D%0A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\draw%5Bthick%5D\,(0%2C0)\,circle(2)%3B%0D%0A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\draw%5Bthick%5D\,(4%2C0)\,circle(2)%3B%0D%0A%0D%0A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\draw%5Bdashed%5D\,(2%2C0)\,--\,(2%2C4)%3B%0D%0A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\draw%5Bdotted%5D\,(0%2C0)\,--\,(2%2C4)%3B%0D%0A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\draw%5Bdotted%5D\,(4%2C0)\,--\,(2%2C4)%3B%0D%0A%0D%0A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,%25\,Add\,the\,upper\,arcs%0D%0A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\draw%5Bthick%2Cgreen%5D\,(-0.4%2C3.3)\,arc%5Bstart\,angle=120%2Cend\,angle=210%2Cradius=2.2%5D%3B%0D%0A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\draw%5Bthick%2Cgreen%5D\,(4.4%2C3.3)\,arc%5Bstart\,angle=60%2Cend\,angle=-30%2Cradius=2.2%5D%3B%0D%0A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,%0D%0A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{tikzpicture}$

Exercice 21 : des programmes de construction
a. Soit un triangle quelconque . Traçons les triangles équilatéraux , et à l’extérieur du triangle .
Ensuite, traçons les droites , et .

Nous remarquons que les droites , et sont concourantes en un même point. Cela est connu sous le nom de théorème de Napoléon, qui affirme que si l’on construit des triangles équilatéraux sur les côtés d’un triangle quelconque et que l’on joint les sommets de ces triangles opposés aux côtés du triangle original, ces trois segments se rencontrent en un seul point appelé le point de Napoléon.

b. Soit le triangle tel que :
$TC\,=\,7\,\%2C\,cm%2C\,\quad\,TO\,=\,5\,\%2C\,cm%2C\,\quad\,CO\,=\,4\,\%2C\,cm.$

1. Trace le cercle de centre passant par le point .
2. Trace le cercle de centre passant par le point .
3. Appelons le deuxième point d’intersection des deux cercles.

Ensuite, traçons la droite .

Comme est le deuxième point d’intersection des cercles de centre et passant par , le triangle et le triangle sont isocèles avec $%5BTO%5D\,=\,%5BTA%5D$ et $%5BCO%5D\,=\,%5BCA%5D$ , respectivement.