Exercice 1 : vocabulaire du cercle
a.
Rayon
Centre
Diamètre
b. La longueur du rayon est la moitié de celle du diamètre.
\[
\text{Longueur du rayon} = \frac{\text{Longueur du diamètre}}{2}
\]
Exercice 2 : cercle et vocabulaire
a. Le cercle de centre C et de rayon [CE] est le cercle vert.
b. Le cercle de diamètre [CE] est le cercle vert.
c. Le cercle de centre F et de rayon 1,3 cm est le cercle bleu clair.
d. Le cercle de centre B passant par C est le cercle violet.
Exercice 3 : tracer des cercles
[a.] Pour tracer le cercle de centre \( G \) et de rayon 4 cm, utilisez un compas réglé sur 4 cm et tracez un cercle autour du point \( G \).
\[
C(G, 4\, \text{cm})
\]
[b.] Pour tracer le cercle de centre \( H \) et de diamètre 5 cm, il faut d’abord calculer le rayon du cercle. Le rayon est la moitié du diamètre :
\[
\text{Rayon} = \frac{5\, \text{cm}}{2} = 2,5\, \text{cm}
\]
Réglez votre compas sur 2,5 cm et tracez un cercle autour du point \( H \).
\[
C(H, 2{,}5\, \text{cm})
\]
[c.] Pour tracer le cercle de diamètre \([GH]\), commencez par mesurer la distance entre les points \( G \) et \( H \). Disons que cette distance est \( d \). Le rayon du cercle sera la moitié de cette distance :
\[
d = GH
\]
\[
\text{Rayon} = \frac{d}{2}
\]
Ensuite, prenez un point \( O \) tel que \( O \) est le milieu du segment \([GH]\). Tracez un cercle de centre \( O \) et de rayon \(\frac{d}{2}\).
\[
C(O, \frac{d}{2})
\]
Assurez-vous de bien noter les unités (centimètres) et d’utiliser un compas pour des tracés précis.
Exercice 4 : tracer des cercles sur la figure
Pour tracer le cercle de centre \( K \) passant par \( L \) :
1. \( K \) est le centre du cercle.
2. Le point \( L \) est sur le cercle.
3. Le rayon du cercle est donc la distance \( KL \).
Pour tracer le cercle de diamètre \([KM]\) :
1. Le centre du cercle est le milieu du segment \([KM]\). Calculons les coordonnées du milieu de \([KM]\) que nous noterons \( N \).
2. Si \( K(x_1, y_1) \) et \( M(x_2, y_2) \), alors les coordonnées de \( N \) sont :
\[ N ( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} ) \]
3. Le diamètre du cercle est \( KM \), donc le rayon est :
\[ R = \frac{KM}{2} \]
En résumé en LaTeX, la correction peut être rédigée comme suit :
« `latex
[a)] Pour tracer le cercle de centre \( K \) passant par \( L \) :
Soit \( K \) le centre du cercle.
Le point \( L \) appartient au cercle.
Le rayon du cercle est la distance \( KL \).
[b)] Pour tracer le cercle de diamètre \([KM]\) :
Le centre du cercle est le milieu du segment \([KM]\).
Si \( K(x_1, y_1) \) et \( M(x_2, y_2) \), alors les coordonnées du milieu sont :
\[
N ( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} ).
\]
Le diamètre du cercle est \( KM \), donc le rayon est :
\[
R = \frac{KM}{2}.
\]
« `
Note : Les équations doivent être accompagnées des coordonnées spécifiques si elles sont disponibles pour les points \( K \), \( M \), et \( L \).
Exercice 5 : les triangles rectangles
### Correction
1. \[\]Triangle 1\[\]
Pour déterminer si un triangle est rectangle, on peut utiliser le théorème de Pythagore. On vérifie que la somme des carrés des deux petits côtés est égale au carré du plus grand côté.
Dans ce cas, le triangle 1 n’a pas d’angle de 90°, donc ce n’est pas un triangle rectangle.
2. \[\]Triangle 2\[\]
En observant les longueurs des côtés, il semble que ce triangle n’a pas non plus d’angle de 90°. Donc, ce n’est pas un triangle rectangle.
3. \[\]Triangle 3\[\]
Ce triangle semble avoir un angle droit (90°). Donc, c’est un triangle rectangle.
4. \[\]Triangle 4\[\]
En observant ce triangle, il n’a pas de côté ou d’angle particulier qui indiquerait un angle droit. Ce n’est pas un triangle rectangle.
5. \[\]Triangle 5\[\]
Ce triangle n’a pas d’angle de 90°. Donc, ce n’est pas un triangle rectangle.
6. \[\]Triangle 6\[\]
Ce triangle semble avoir un angle droit (90°). Donc, c’est un triangle rectangle.
7. \[\]Triangle 7\[\]
Ce triangle n’a pas d’angle de 90°. Donc, ce n’est pas un triangle rectangle.
8. \[\]Triangle 8\[\]
Ce triangle n’a pas d’angle de 90°. Donc, ce n’est pas un triangle rectangle.
### Conclusion
Les triangles rectangles parmi les triangles donnés sont les triangles numéros 3 et 6.
\[\boxed{3 \quad 6}\]
Exercice 6 : triangles particuliers
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Triangle} & \text{1 angle droit} & \text{2 côtés égaux} & \text{3 côtés égaux} & \text{Triangle rectangle} \\
\hline
1 & \text{X} & & & \text{X} \\
\hline
2 & \text{X} & & & \text{X} \\
\hline
3 & & \text{X} & & \\
\hline
4 & & & \text{X} & \\
\hline
5 & & \text{X} & & \\
\hline
\end{array}
Exercice 7 : tracer des triangles sur quadrillage
\usepackage{tikz}
\usepackage{geometry}
\geometry{a4paper, margin=1in}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[step=1cm, gray, very thin] (-1,-1) grid (16,16);
% Premier triangle rectangle
\draw[thick] (2,13) — (6,13) — (6,11.5) — cycle;
\draw[thick] (2,13) — (6,13); % Côté déjà tracé
\node at (2,13) [left] {\footnotesize .};
\node at (6,13) [above] {\footnotesize .};
% Deuxième triangle rectangle
\draw[thick] (7,4) — (10,8.5) — (10,4) — cycle;
\node at (7,4) [below] {\footnotesize .};
\node at (10,8.5) [above left] {\footnotesize .};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Exercice 8 : tracer des triangles rectangles
Les deux triangles rectangles peuvent être tracés de la manière suivante:
1. Pour le premier côté déjà tracé en haut :
– Prenons ce côté comme l’un des côtés adjacents à l’angle droit. Traçons un autre côté perpendiculaire à celui-ci pour former un triangle rectangle.
– Voici le diagramme:
\[
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) — (2,0) — (2,3) — cycle;
\node at (1,-0.3) {(A)};
\end{tikzpicture}
\]
2. Pour le second côté déjà tracé en bas :
– Nous pouvons utiliser un procédé similaire et considérons ce côté comme l’un des côtés adjacents à l’angle droit. Traçons un autre côté perpendiculaire à celui-ci pour former un triangle rectangle.
– Voici le diagramme:
\[
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) — (3,0) — (3,4) — cycle;
\node at (1.5,-0.3) {(B)};
\end{tikzpicture}
\]
Explications :
– Dans le premier triangle (A), nous avons tracé un côté perpendiculaire au côté initial en haut à droite.
– Dans le second triangle (B), nous avons tracé un côté perpendiculaire au côté initial en bas à gauche.
Ainsi, nous obtenons deux triangles rectangles à partir des côtés déjà tracés.
Exercice 9 : les quadrilatères
Carré en bleu:
Figure 1
Figure 7
Rectangle en vert:
Figure 2
Figure 5
Exercice 10 : compléter les carrés et les rectangles
a. {Compléter le carré :}
Tracer trois segments pour compléter le carré en reliant chaque extrémité du segment fourni aux points appropriés sur la grille.
\[
\begin{array}{ccccccccccc}
& & & & & \bullet & & & & & \\
& & & & & \bullet & & & & & \\
& & & & & \bullet & \cdots & & & & \\
\bullet & & & & & \bullet & \cdots & & & \cdots \\
\bullet & & & & & \bullet & \cdots & & & \\
& & & & & \bullet & & & & \\
& & & & & \bullet & & & & \\
\end{array}
\]
b. {Compléter le carré :}
Tracer trois segments pour compléter le carré en reliant chaque extrémité du segment fourni aux points appropriés sur la grille.
\[
\begin{array}{ccccccccccc}
& & & & & \bullet & & & & & \\
& & & & \bullet & & & \cdots & & & \\
& & & \bullet & & & \cdots & & & & \\
\bullet & \cdots & & & & & & & & \cdots\\
\cdots & \cdots & & & & \bullet & \cdots & \cdots & & & \\
\bullet & \cdots & & & & \bullet & \cdots & \cdots & & & \\
& & & & & \bullet & & & & \\
\end{array}
\]
c. {Compléter le rectangle :}
Tracer trois segments pour compléter le rectangle en reliant chaque extrémité du segment fourni aux points appropriés sur la grille.
\[
\begin{array}{ccccccccccc}
& & & \bullet & \cdots & \cdots & \bullet & & & & \\
& & & & & & \bullet & & & & \\
& & & \bullet & \cdots & \cdots & \cdots & & & & \\
& & & & & & & & & \cdots\\
& & & \bullet & & & & \bullet & & & \\
& & & & & & & \bullet & & & \\
\end{array}
\]
d. {Compléter le rectangle :}
Tracer trois segments pour compléter le rectangle en reliant chaque extrémité du segment fourni aux points appropriés sur la grille.
\[
\begin{array}{ccccccccccc}
& & & & & \bullet & \cdots & \cdots & \bullet & & \\
& & & & & & & & & & \\
& & \bullet & & & & & & & & \\
& & \bullet & \cdots & & & & & \cdots & \bullet & \\
& & & & & & & \cdots & & \bullet & \\
\bullet & & & & & & & & & & \\
& & & & & & & & \bullet & & & \\
\end{array}
\]
Exercice 11 : tracer des carrés et des rectangles
a. Carré de côte 5 cm :
\[
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) — (5,0) — (5,5) — (0,5) — cycle;
\end{tikzpicture}
\]
b. Carré de côte 3,8 cm :
\[
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) — (3.8,0) — (3.8,3.8) — (0,3.8) — cycle;
\end{tikzpicture}
\]
c. Rectangle de côte 3 cm et 6 cm :
\[
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) — (6,0) — (6,3) — (0,3) — cycle;
\end{tikzpicture}
\]
d. Rectangle de côte 3,5 cm et 5,5 cm :
\[
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) — (5.5,0) — (5.5,3.5) — (0,3.5) — cycle;
\end{tikzpicture}
\]
Exercice 12 : colorier les losanges
Les losanges sont les figures qui ont quatre côtés de même longueur et dont les angles opposés sont égaux. Dans l’image, les figures numérotées 3, 4, 5 et 7 sont des losanges. Elles doivent être coloriées en bleu.
Exercice 13 : reproduire des frises
a. La frise est constituée d’une répétition de motifs alternant un losange violet et un triangle orange. Voici un modèle de répétition :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\foreach \x in {0, 2, 4, 6} {
\filldraw[fill=orange, draw=black] (\x, 0) — (\x+1, 1.5) — (\x+2, 0) — cycle;
\filldraw[fill=purple, draw=black] (\x+2, 0) — (\x+3, 1.5) — (\x+4, 0) — (\x+3, -1.5) — cycle;
}
\end{tikzpicture}
\end{center}
b. La frise est constituée d’une répétition des motifs alternant un grand losange violet, un losange orange et un grand losange violet. Voici un modèle de répétition :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\foreach \x in {0, 4, 8} {
\filldraw[fill=purple, draw=black] (\x, 0) — (\x+1, 1.5) — (\x+2, 0) — (\x+1, -1.5) — cycle;
\filldraw[fill=orange, draw=black] (\x+2, 0) — (\x+4, 3) — (\x+6, 0) — cycle;
}
\end{tikzpicture}
\end{center}
c. La frise est constituée d’une répétition de motifs avec un grand losange orange enveloppant un petit hexagone violet. Voici un modèle de répétition :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\foreach \x in {0, 4, 8} {
\filldraw[fill=orange, draw=black] (\x, 0) — (\x+2, 2) — (\x+4, 0) — (\x+2, -2) — cycle;
\filldraw[fill=purple, draw=black] (\x+2, 0) — (\x+2-1, -1) — (\x+2+1, -1) — (\x+2+1, 1) — (\x+2-1, 1) — cycle;
}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Exercice 14 : reproduire des losanges
Pour corriger cet exercice, on doit reproduire et colorier les losanges dans chaque cercle comme le montre la solution de l’image d’exemple fournie. Voici les configurations des losanges appropriés :
1. Cercle 1 :
– On dessine un hexagone régulier inscrit dans le cercle.
– On colore ensuite les triangles adjacents de manière suivante :
– Triangle en haut: orange (#FFA500)
– Triangle en bas à gauche: violet (#9370DB)
– Triangle en bas à droite: cyan (#00CED1)
2. Cercle 2 :
– On dessine un hexagone régulier inscrit dans le cercle similaire à celui du premier cercle, mais aucun coloriage n’est nécessaire comme indiqué dans l’image originelle.
3. Cercle 3 :
– Même procédure que le premier cercle.
– Les triangles sont colorés de la manière suivante :
– Triangle en haut: orange (#FFA500)
– Triangle en bas à gauche: violet (#9370DB)
– Triangle en bas à droite: cyan (#00CED1)
4. Cercle 4 :
– On dessine un hexagone régulier inscrit dans le cercle, mais aucun coloriage n’est nécessaire comme indiqué dans l’image originelle.
Vous pouvez utiliser le code suivant en TikZ et LaTeX pour dessiner les configurations des losanges :
« `latex
\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{tikzpicture}
% Cercle 1
\draw (0,0) circle (2);
\draw (30:2) — (150:2) — (270:2) — cycle; % hexagone
\draw (90:2) — (210:2) — (330:2) — cycle;
\fill[orange] (90:2) — (150:2) — (30:2) — cycle;
\fill[cyan] (90:2) — (210:2) — (270:2) — cycle;
\fill[violet] (30:2) — (270:2) — (330:2) — cycle;
\begin{scope}[xshift=5cm]
% Cercle 2 (sans coloriage)
\draw (0,0) circle (2);
\draw (30:2) — (150:2) — (270:2) — cycle; % hexagone
\draw (90:2) — (210:2) — (330:2) — cycle;
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=10cm]
% Cercle 3 (colorié comme le 1)
\draw (0,0) circle (2);
\draw (30:2) — (150:2) — (270:2) — cycle; % hexagone
\draw (90:2) — (210:2) — (330:2) — cycle;
\fill[orange] (90:2) — (150:2) — (30:2) — cycle;
\fill[cyan] (90:2) — (210:2) — (270:2) — cycle;
\fill[violet] (30:2) — (270:2) — (330:2) — cycle;
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=15cm]
% Cercle 4 (sans coloriage)
\draw (0,0) circle (2);
\draw (30:2) — (150:2) — (270:2) — cycle; % hexagone
\draw (90:2) — (210:2) — (330:2) — cycle;
\end{scope}
\end{tikzpicture}
« `
Ce code LaTeX utilise TikZ pour générer les formes géométriques désirées. Assurez-vous que les couleurs utilisées (orange, violet, cyan) correspondent aux teintes de l’image de l’exercice.
Exercice 15 : construire des frises
Pour la frise a:
1. La figure initiale montre une croix dans un carré de 4×4. Pour poursuivre la frise, il faut répéter cette croix horizontalement en suivant le même motif.
2. Ajoutez une nouvelle croix juste à côté, en respectant les mêmes dimensions et le même alignement.
Pour la frise b:
1. La figure initiale montre une série de losanges imbriqués les uns dans les autres dans un carré de 8×8.
2. Pour poursuivre la frise, répétez ces losanges horizontalement en suivi le motif. Ajoutez les losanges de façon à ce qu’ils soient alignés et imbriqués comme dans la figure initiale.
Ces frises peuvent être poursuivies indéfiniment pour occuper la grille entière. Les motifs doivent être reproduits avec précision pour conserver la régularité et la symétrie des frises.
Exercice 16 : reproduire une figure dans le quadrillage
Pour reproduire cette figure sur un quadrillage de droite, suivez les étapes ci-dessous :
1. \[\]Tracer le carré de base\[\] : Sur votre quadrillage, tracez un carré de 8 unités de côté.
2. \[\]Tracer les diagonales\[\] : Tracez les deux diagonales du carré (d’une longueur de \[\sqrt{2} \times 8\] unités chacune) qui se croiseront en son centre.
3. \[\]Tracer les segments intermédiaires\[\] : Divisez chaque côté du carré en deux segments égaux de 4 unités. Reliez chaque point intermédiaire au point central formé par les diagonales. Vous devriez avoir 4 triangles et 4 trapèzes autour du centre.
4. \[\]Reproduire les formes internes\[\] : Tracez les lignes nécessaires pour former les triangles et les losanges à l’intérieur du carré, comme montré dans l’image. Les triangles et les losanges doivent être symétriques par rapport aux diagonales.
5. \[\]Colorier\[\] :
– Coloriez les triangles adjacents à chaque côté du carré en orange.
– Coloriez les losanges des coins en bleu.
– Coloriez les triangles du centre en violet.
Vous pouvez suivre le schéma de l’image pour une visualisation plus claire :
– Les triangles au centre sont de couleur violet.
– Les trapèzes adjacents aux losanges sont de couleur orange.
– Les losanges séparant les triangles sont de couleur bleue.
Ces couleurs et cette organisation permettent de restituer la figure demandée fidèlement.
Exercice 17 : reproduire une figure avec des cercles
{Étape 1:} Dessine deux cercles de rayon 4 cm chacun avec comme centres les points A et B, de telle sorte que la distance \(\overline{AB}\) soit de 4 cm.
{Étape 2:} Ajoute un troisième cercle de même rayon, avec pour centre le point C, situé à l’intersection des deux premiers cercles. Le point C est alors à une distance de 4 cm des points A et B.
{Étape 3:} Colore les trois régions d’intersection en suivant le schéma de couleurs :
Les deux régions situées à l’intersection de deux cercles doivent être colorées en orange.
La région située à l’intersection des trois cercles doit être colorée en rose.
Les régions hors intersections doivent être colorées en bleu.
Voici des équations pour clarifier les distances et les intersections:
\[
\overline{AB} = \overline{BC} = \overline{CA} = 4 \text{ cm}
\]
Ce qui signifie que les cercles sont positionnés de manière équidistante les uns par rapport aux autres.
Notez que chaque cercle s’intersecte mutuellement en une même distance de leur centre \(4 \text{ cm}\), ce qui implique que chaque point d’intersection est équidistant des centres des trois cercles formant des segments congruents triangulaires.
Les surfaces orange se trouvent spécifiquement dans les zones où deux cercles se chevauchent, mais pas trois. La surface rose est le centre de chevauchement de tous les trois cercles où tous trois se coupent mutuellement.
Exercice 18 : tracer des figures géométriques
Pour cet exercice, chaque figure peut être reproduite à partir d’un carré de côté \(6\) cm en utilisant des arcs de cercle. Voici les explications pour chaque figure:
a. Pour la figure a:
1. Dessinons un carré de côté \(6\) cm.
2. Plaçons les centres des cercles sur les sommets du carré.
3. Le rayon des cercles est alors de \(6\) cm.
4. Dessinons les quatre arcs de cercle avec chacun des sommets du carré comme centre pour obtenir la figure souhaitée.
b. Pour la figure b:
1. Dessinons un carré de côté \(6\) cm.
2. Plaçons les centres des cercles aux milieux des côtés du carré.
3. Le rayon des cercles est de \(3\) cm (la moitié du côté du carré).
4. Dessinons les quatre arcs de cercle avec chacun des milieux des côtés du carré comme centre pour obtenir la figure souhaitée.
c. Pour la figure c:
1. Dessinons un carré de côté \(6\) cm.
2. Plaçons les centres des cercles aux points d’intersection des diagonales du carré avec ses côtés (c’est-à-dire aux trois quarts du côté du carré).
3. Le rayon des cercles est aussi de \(3\) cm.
4. Dessinons les quatre arcs de cercle de chaque côté pour obtenir la figure souhaitée.
En formulant ces instructions en LaTeX pour une meilleure compréhension:
« `latex
\usepackage{tikz}
{Correction de l’exercice}
\subsection*{Figure a}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) rectangle (6,6);
\draw (0,0) arc[start angle=90,end angle=0,radius=6];
\draw (6,0) arc[start angle=180,end angle=90,radius=6];
\draw (6,6) arc[start angle=270,end angle=180,radius=6];
\draw (0,6) arc[start angle=360,end angle=270,radius=6];
\end{tikzpicture}
\subsection*{Figure b}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) rectangle (6,6);
\draw (3,0) arc[start angle=90,end angle=0,radius=3];
\draw (6,3) arc[start angle=180,end angle=90,radius=3];
\draw (3,6) arc[start angle=270,end angle=180,radius=3];
\draw (0,3) arc[start angle=360,end angle=270,radius=3];
\end{tikzpicture}
\subsection*{Figure c}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) rectangle (6,6);
\draw (3,0) arc[start angle=90,end angle=0,radius=3];
\draw (6,3) arc[start angle=180,end angle=90,radius=3];
\draw (3,6) arc[start angle=270,end angle=180,radius=3];
\draw (0,3) arc[start angle=360,end angle=270,radius=3];
\end{tikzpicture}
« `
Ces instructions permettent de comprendre comment dessiner chaque figure à partir du carré de côté \(6\) cm.
Exercice 19 : tracer des cercles avec des rectangles
{Première figure :}
La phrase correspondante est : « Trace le cercle de centre \( B \) et de rayon \( [BC] \) ».
Le centre du cercle est en \( B \) et le rayon est la longueur du segment \( BC \).
{Deuxième figure :}
La phrase correspondante est : « Trace le cercle de diamètre \( [AD] \) ».
Le diamètre du cercle est le segment \( [AD] \), ce qui signifie que le centre du cercle est le point moyen du segment \( AD \), c’est-à-dire le centre \( E \) du rectangle, et le rayon est la moitié de \( [AD] \).
{Troisième figure :}
La phrase correspondante est : « Trace le cercle de centre \( E \) passant par \( D \) ».
Le centre du cercle est le point \( E \) et le rayon est la distance \( ED \).
Exercice 20 : un programme de construction
\paragraph{Figure 1}
1. Trace un cercle de centre \(A\) et de rayon \(AB\).
2. Place les points \(C\) et \(D\) de manière à ce que \(ABCD\) forme un carré.
\paragraph{Figure 2}
1. Trace un cercle de centre \(B\) et de rayon \(AB\).
2. Place les points \(A\), \(C\) et \(D\) de manière à ce que \(ABCD\) forme un carré.
\paragraph{Figure 3}
1. Trace un cercle de centre \(E\) et de rayon \(EC\), où \(E\) est le milieu du segment \([AC]\).
2. Place les points \(A\), \(B\), \(D\) et \(C\) de manière à ce que \(ABCD\) forme un carré.
Exercice 21 : réaliser un agrandissement
Voici la correction de l’exercice :
a. La figure initiale est une croix symétrique centrée d’une largeur de 3 carreaux. Pour effectuer un agrandissement par un facteur de 2, chaque dimension de la croix doit être doublée. La nouvelle croix aura une largeur de 6 carreaux.
b. La figure initiale est en forme de cœur symétrique. Pour agrandir par un facteur de 2, chaque distance est doublée à partir du centre. Cela signifie que si la base du cœur mesure \(w\) et la hauteur \(h\), la nouvelle base mesurera \(2w\) et la nouvelle hauteur \(2h\).
c. La figure initiale est une étoile à 4 branches. En agrandissant par un facteur de 2, nous devons doubler les rayons définissant cette étoile. Si chaque branche mesurait \(r\), la nouvelle étoile aura des branches de longueur \(2r\).
d. La figure initiale est une étoile à 8 branches avec des branches alternées colorées différemment. Pour agrandir de 2, nous doublons également la longueur des branches. Si chaque branche originale mesurait \(r\), les nouvelles mesureront \(2r\).
En utilisant LaTeX pour illustrer les transformations :
« `latex
\usepackage{tikz}
\begin{tikzpicture}
% Origine figure croix
\foreach \x in {0,1,2,3,4}
\foreach \y in {1,2,3}
\draw (\x,\y) rectangle ++(1,1);
\draw (1,0) rectangle ++(1,1);
\draw (3,0) rectangle ++(1,1);
\draw (1,4) rectangle ++(1,1);
\draw (3,4) rectangle ++(1,1);
% Agrandissement croix
\begin{scope}[shift={(7,0)}]
\foreach \x in {0,2,4,6,8,10,12,14}
\foreach \y in {2,4,6,8}
\draw (\x,\y) rectangle ++(2,2);
\foreach \x in {2,4,10,12}
\foreach \y in {0,4,8,12}
\draw (\x,\y) rectangle ++(2,2);
\end{scope}
% Instructions pour les autres figures
% Coeur, étoile 4 branches, étoile 8 branches
% Positionnement des cadres
\draw[step=1cm,gray,very thin] (16,0) grid (20,20); % Grille initiale
\draw[step=2cm,gray,very thin] (22,0) grid (34,20); % Agrandissement grille
% Dessin automatique n’est pas trivial, demandant le traitement individuel.
\end{tikzpicture}
« `
Chaque figure doit être redessinée en doublant toutes les distances à partir de leur centre respectif pour obtenir un agrandissement fidèle par un facteur de 2.
Exercice 22 : réaliser une réduction du lézard
Pour réaliser la réduction par 2 de cette figure, nous devons diviser chaque longueur par 2. En observant la figure originale qui s’étend sur un quadrillage d’une certaine grille, nous allons transférer chaque point clé de la figure vers le nouveau quadrillage tout en réduisant les distances de telle sorte que chaque segment soit la moitié de sa longueur originale.
La figure originale semble s’étendre sur un rectangle de 8 unités de large (horizontale) et 4 unités de haut (verticale). Nous devons donc réduire cette grille proportionnellement sur le nouveau quadrillage de droite.
Ainsi, chaque unité dans le quadrillage d’origine équivaudra à 0.5 unités dans le nouveau quadrillage.
1. Le premier point (extrémité gauche du poisson) se trouve à (0, 2) dans le système de coordonnées de la grille. En le réduisant par 2, nous obtenons (0, 1).
2. Le deuxième point (angle du bas de la première dent) se trouve à (1, 4). En le réduisant par 2, nous obtenons (0.5, 2).
3. Le troisième point (angle du haut de la première dent) se trouve à (2, 0). En le réduisant par 2, nous obtenons (1, 0).
4. Le quatrième point (angle du bas de la deuxième dent) se trouve à (3, 4). En le réduisant par 2, nous obtenons (1.5, 2).
5. Le cinquième point (angle du haut de la deuxième dent) se trouve à (4, 0). En le réduisant par 2, nous obtenons (2, 0).
6. Le sixième point (angle du bas de la troisième dent) se trouve à (5, 4). En le réduisant par 2, nous obtenons (2.5, 2).
7. Le septième point (angle du haut de la troisième dent) se trouve à (6, 0). En le réduisant par 2, nous obtenons (3, 0).
8. Le huitième point (extrémité droite de la queue) se trouve à (8, 2). En le réduisant par 2, nous obtenons (4, 1).
En utilisant ces coordonnées réduites, nous pouvons dessiner la nouvelle figure dans le quadrillage de droite qui ressemble exactement à l’originale, mais est deux fois plus petite en taille.
Exercice 23 : construire des réductions de figures
Le rectangle bleu a pour dimensions 12 cm de longueur et 6 cm de largeur. Le rectangle rouge est une réduction par 2 du rectangle bleu, donc ses dimensions sont :
\[
\text{Longueur du rectangle rouge} = \frac{12 \, \text{cm}}{2} = 6 \, \text{cm}
\]
\[
\text{Largeur du rectangle rouge} = \frac{6 \, \text{cm}}{2} = 3 \, \text{cm}
\]
De la même manière, nous allons déterminer les dimensions des autres réductions :
1. \textcolor{green}{Réduction par 3 (rectangle vert)} :
\[
\text{Longueur du rectangle vert} = \frac{12 \, \text{cm}}{3} = 4 \, \text{cm}
\]
\[
\text{Largeur du rectangle vert} = \frac{6 \, \text{cm}}{3} = 2 \, \text{cm}
\]
2. \textcolor{violet}{Réduction par 4 (rectangle violet)} :
\[
\text{Longueur du rectangle violet} = \frac{12 \, \text{cm}}{4} = 3 \, \text{cm}
\]
\[
\text{Largeur du rectangle violet} = \frac{6 \, \text{cm}}{4} = 1.5 \, \text{cm}
\]
3. \textcolor{gray}{Réduction par 6 (rectangle gris)} :
\[
\text{Longueur du rectangle gris} = \frac{12 \, \text{cm}}{6} = 2 \, \text{cm}
\]
\[
\text{Largeur du rectangle gris} = \frac{6 \, \text{cm}}{6} = 1 \, \text{cm}
\]
4. \textcolor{orange}{Réduction par 12 (rectangle orange)} :
\[
\text{Longueur du rectangle orange} = \frac{12 \, \text{cm}}{12} = 1 \, \text{cm}
\]
\[
\text{Largeur du rectangle orange} = \frac{6 \, \text{cm}}{12} = 0.5 \, \text{cm}
\]
Les réductions dans les différentes couleurs donnent les rectangles correspondant aux dimensions calculées ci-dessus.
* Le rectangle vert : \[4 \, \text{cm}\] x \[2 \, \text{cm}\]
* Le rectangle violet : \[3 \, \text{cm}\] x \[1.5 \, \text{cm}\]
* Le rectangle gris : \[2 \, \text{cm}\] x \[1 \, \text{cm}\]
* Le rectangle orange : \[1 \, \text{cm}\] x \[0.5 \, \text{cm}\]
Exercice 24 : ecrire des consignes de construction
{Correction de l’exercice :}
{Étape 1 :}
Tracer le triangle équilatéral \(EFG\) avec \(EF = FG = EG = 4 \, \text{cm}\).
{Étape 2 :}
Déterminer les milieux des segments \(EF\) et \(EG\), notés respectivement \(K\) et \(L\), ainsi que le milieu du segment \(FG\), noté \(M\).
{Étape 3 :}
Tracer les trois cercles de centre \(K\), \(L\), et \(M\) ayant tous pour rayon \(2 \, \text{cm}\), en prenant soin que chaque cercle passe par les sommets du triangle \(EFG\).
Exercice 25 : constructions et consignes
Étape 1 :
Place les points \( S \) et \( T \) sur les segments \( \overline{NP} \) et \( \overline{NR} \) respectivement, tels que \( NS = ST = TR = RP \).
Étape 2 :
Trace la médiane \( NU \) partant du sommet \( N \) et passant par \( U \), le milieu de \( \overline{PR} \). Identifie le point \( O \) comme centre du triangle équilatéral \( NPR \).
Étape 3 :
À partir du point \( O \), trace un cercle de rayon \( OP \), le cercle circonscrit au triangle équilatéral \( NPR \).
Étape 4 :
Relie les points \( S \), \( T \) et \( U \) pour former le triangle \( STU \). Vérifie que ce triangle est également équilatéral.
Étape 5 :
Identifie les points \( X \) et \( Y \) comme les points d’intersection du cercle circonscrit avec \( \overline{SU} \) et \( \overline{TU} \), respectivement. Relie le centre \( O \) à ces points pour trouver les points \( V \) et \( W \).
Étape 6 :
Relie les points \( X \), \( Y \), \( V \) et \( W \) pour former des segments supplémentaires, et trace les médiatrices des segments \( \overline{SU} \), \( \overline{TU} \), \( \overline{SV} \), et \( \overline{TX} \). Vérifie les propriétés des nouveaux triangles et segments formés par cette construction géométrique.
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