Corrigé des 12 exercices sur les nombres décimaux en CM1 : solutions détaillées

Dans chaque série, on cherche de combien on avance d’une case à la suivante en comparant les deux premiers nombres, puis on ajoute toujours la même quantité.

• a. De 5,8 à 5,9, on ajoute 0,1 (un dixième). Après 5,9 vient 6 (car 9 dixièmes + 1 dixième = 10 dixièmes = 1 unité).
  \(5{,}8 \quad 5{,}9 \quad \mathbf{6} \quad \mathbf{6{,}1} \quad \mathbf{6{,}2} \quad \mathbf{6{,}3}\)
• b. De 5,86 à 5,87, on ajoute 0,01 (un centième).
  \(5{,}86 \quad 5{,}87 \quad \mathbf{5{,}88} \quad \mathbf{5{,}89} \quad \mathbf{5{,}9} \quad \mathbf{5{,}91}\)
  On peut écrire 5,90 ou 5,9 : c’est le même nombre.
• c. De 1 à 1,25, on ajoute 0,25 (un quart d’unité).
  \(1 \quad 1{,}25 \quad \mathbf{1{,}5} \quad \mathbf{1{,}75} \quad \mathbf{2} \quad \mathbf{2{,}25}\)
• d. De 1 à 1,2, on ajoute 0,2 (deux dixièmes).
  \(1 \quad 1{,}2 \quad \mathbf{1{,}4} \quad \mathbf{1{,}6} \quad \mathbf{1{,}8} \quad \mathbf{2}\)

On commence toujours par trouver la valeur d’une petite graduation.

• Axes a et b : entre deux entiers, il y a 10 intervalles, donc une graduation vaut \(1 \div 10 = 0{,}1\) (un dixième).
• Axes c et d : les grands traits rouges partagent l’unité en 10 (dixièmes) et chaque dixième est encore partagé en 10 petits traits bleus : une petite graduation vaut \(0{,}01\) (un centième).

On compte ensuite les graduations à partir de l’entier situé juste avant le point.

• a. A est à 2 dixièmes après 0 : A(0,2) ; B à 3 dixièmes après 1 : B(1,3) ; C à 4 dixièmes après 2 : C(2,4) ; D à 7 dixièmes après 3 : D(3,7).
• b. E(5,6) ; F(6,1) ; G(7,3) ; H(8,8).
• c. J est exactement sur le 5^e trait rouge : J(0,5) ; K est 2 centièmes après 0,7 : K(0,72) ; L est 6 centièmes après 1,1 : L(1,16) ; M est 9 centièmes après 1,6 : M(1,69).
• d. N est sur le 1^er trait rouge après 3 : N(3,1) ; P est 5 centièmes après 3,4 : P(3,45) ; Q est 7 centièmes après 4,2 : Q(4,27) ; R est 2 centièmes après 4,6 : R(4,62).

Les centièmes des axes c et d ont été lus au plus près sur l’image de l’énoncé : un décalage d’une petite graduation est possible si ta fiche est imprimée petite.

Sur les axes a et b, une graduation vaut 0,1 ; sur les axes c et d, un grand trait rouge vaut 0,1 et un petit trait bleu vaut 0,01.

Pour placer un point, on part de sa partie entière, puis on avance du nombre de dixièmes, puis du nombre de centièmes.

• a. A(0,7) : 7 graduations après 0 ; B(1,8) : 8 après 1 ; C(2,5) : 5 après 2 (au milieu) ; D(3,9) : 9 après 3, juste avant 4.
• b. E(6,4) : 4 graduations après 6 ; F(7,7) : 7 après 7 ; G(8,3) : 3 après 8 ; H(9,2) : 2 après 9.
• c. J(0,3) : 3^e trait rouge ; K(0,84) : 8^e trait rouge puis 4 petits traits ; L(1,35) : après 1, 3 traits rouges puis 5 petits traits ; M(1,71) : après 1, 7 traits rouges puis 1 petit trait.
• d. N(3,4) : 4^e trait rouge après 3 ; P(3,75) : 7 traits rouges puis 5 petits traits ; Q(4,04) : 4 petits traits après 4 ; R(4,58) : 5 traits rouges puis 8 petits traits après 4.

Sur ces axes, deux nombres entiers qui se suivent sont séparés par 2 intervalles (axes a et b) ou par 4 intervalles (axes c et d).

• Axes a et b : une graduation vaut \(1 \div 2 = 0{,}5\) (une demi-unité).
• Axes c et d : une graduation vaut \(1 \div 4 = 0{,}25\) (un quart d’unité).

• a. A est au milieu entre 1 et 2 : A(1,5) ; B(3,5) ; C(6,5) ; D(9,5).
• b. L’axe commence à 21 : E(23,5) ; F est sur un entier : F(26) ; G(29,5) ; H(31,5).
• c. J est au milieu entre 2 et 3 : J(2,5) ; K est 1 graduation après 4 : K(4,25) ; L est 3 graduations après 6 : L(6,75) ; M est 1 graduation après 9 : M(9,25).
• d. N(21,5) ; P est 1 graduation après 23 : P(23,25) ; Q est 3 graduations après 25 : Q(25,75) ; R est 3 graduations après 30 : R(30,75).

Sur les axes a et b, une graduation vaut 0,5 ; sur les axes c et d, elle vaut 0,25. On rappelle que \(0{,}5\) est la moitié de 1, que \(0{,}25\) en est le quart et \(0{,}75\) les trois quarts.

• a. A(0,5) au milieu entre 0 et 1 ; B(4,5) entre 4 et 5 ; C(5,5) entre 5 et 6 ; D(8,5) entre 8 et 9.
• b. E(22,5) entre 22 et 23 ; F(24,5) entre 24 et 25 ; G(25,5) entre 25 et 26 ; H(29) sur le trait de 29.
• c. J(1,25) : 1 graduation après 1 ; K(3,75) : 3 graduations après 3 ; L(7,5) : au milieu entre 7 et 8 (2 graduations) ; M(10,75) : 3 graduations après 10.
• d. N(21,25) : 1 graduation après 21 ; P(26,25) : 1 graduation après 26 ; Q(27,25) : 1 graduation après 27 ; R(29,75) : 3 graduations après 29.

Pour comparer deux nombres décimaux, on compare d’abord les parties entières ; si elles sont égales, on compare les dixièmes, puis les centièmes. On peut ajouter des zéros à droite pour avoir autant de chiffres après la virgule (34,6 = 34,60).

• a. \(12{,}5 \gt 5{,}12\) car 12 est plus grand que 5.
• b. \(0{,}67 \lt 0{,}76\) car 6 dixièmes est moins que 7 dixièmes.
• c. \(450{,}2 \lt 450{,}9\) car 2 dixièmes est moins que 9 dixièmes.
• d. \(34{,}58 \lt 34{,}6\) car 34,58 est moins que 34,60 (5 dixièmes contre 6 dixièmes).
• e. \(95{,}3 \gt 95\) car 95,3 dépasse 95 de 3 dixièmes.
• f. \(701{,}42 \gt 701{,}36\) car 4 dixièmes est plus que 3 dixièmes.
• g. \(47{,}47 \lt 74{,}74\) car 47 est plus petit que 74.
• h. \(4\,000 \gt 3\,999{,}9\) car la partie entière 4 000 est plus grande que 3 999.
• i. \(821{,}36 \lt 821{,}4\) car 821,36 est moins que 821,40.
• j. \(5\,027{,}8 \gt 5\,027{,}79\) car 5 027,80 est plus que 5 027,79 (8 dixièmes contre 7 dixièmes).
• k. \(0{,}3 \gt 0{,}03\) car 0,30 est plus que 0,03.

Ordre croissant : du plus petit au plus grand. Ordre décroissant : du plus grand au plus petit. On range d’abord selon la partie entière, puis selon les dixièmes, puis selon les centièmes.

Ordre croissant

• a. Parties entières : 215, 217, 251, 257, 271, 275. Entre 217 et 217,5, puis entre 275 et 275,1, on regarde les dixièmes.
  \(215{,}7 \lt 217 \lt 217{,}5 \lt 251{,}7 \lt 257{,}1 \lt 271{,}5 \lt 275 \lt 275{,}1\)
• b. Tous ont 15 comme partie entière ; on écrit tout avec deux chiffres après la virgule : 15,97 ; 15,30 ; 15,90 ; 15,09 ; 15,99 ; 15,07 ; 15,70 ; 15,37.
  \(15{,}07 \lt 15{,}09 \lt 15{,}3 \lt 15{,}37 \lt 15{,}7 \lt 15{,}9 \lt 15{,}97 \lt 15{,}99\)

Ordre décroissant

• a. Le plus grand est 98,47, puis 79. Ensuite 74,98 et 74,9 (= 74,90) : 98 centièmes est plus que 90 centièmes. Puis 49,8 (= 49,80) et 49,78, puis 48 et 47,98.
  \(98{,}47 \gt 79 \gt 74{,}98 \gt 74{,}9 \gt 49{,}8 \gt 49{,}78 \gt 48 \gt 47{,}98\)
• b. En centièmes : 0,10 ; 0,60 ; 0,04 ; 0,01 ; 0,46 ; 0,64 ; 0,40 ; 0,06.
  \(0{,}64 \gt 0{,}6 \gt 0{,}46 \gt 0{,}4 \gt 0{,}1 \gt 0{,}06 \gt 0{,}04 \gt 0{,}01\)

Au plongeon, le vainqueur est celui qui a le plus de points : il faut donc ranger les résultats dans l’ordre décroissant.

• Les plus grandes parties entières sont 568 (David), 566 (Bo) et 556 (Thomas).
• Victor, Yue et Jose Antonio ont tous 527 : on compare les dixièmes. 527,80 (8 dixièmes) est plus que 527,70 (7 dixièmes), qui est plus que 527,30 (3 dixièmes).

\[568{,}65 \gt 566{,}85 \gt 556{,}95 \gt 527{,}80 \gt 527{,}70 \gt 527{,}30\]

Le nombre entier précédent est la partie entière du nombre (on enlève la virgule et tout ce qui la suit). Le nombre entier suivant est cet entier plus 1. Par exemple \(2 \lt 2{,}5 \lt 3\).

Attention à 851,99 : il est très proche de 852, mais l’entier précédent reste 851. Et pour 0,07, l’entier précédent est 0.

Modèle : \(2{,}54 = \dfrac{254}{100} = \dfrac{25}{10} + \dfrac{4}{100}\).

• Deuxième colonne : on écrit le nombre en centièmes (on enlève la virgule et on divise par 100), car il a deux chiffres après la virgule.
• Troisième colonne : on sépare le chiffre des centièmes ; ce qui reste est un nombre de dixièmes. Pour 2,54 : 25 dixièmes et 4 centièmes.

Vérification pour a : \(\dfrac{369}{10} = 36{,}9\) et \(36{,}9 + 0{,}05 = 36{,}95\).

Pour comparer deux nombres décimaux, on compare d’abord les parties entières. Si elles sont égales, on compare les chiffres des dixièmes, puis ceux des centièmes… On peut ajouter des zéros à droite de la partie décimale sans changer le nombre (1,1 = 1,10).

a.

• 0,98 < 1,1 : la partie entière de 0,98 est 0, celle de 1,1 est 1, et 0 < 1. (Ce n’est pas parce que 98 est plus grand que 1 que 0,98 est plus grand !)
• 123,9 > 12,99 : 123 > 12.
• 23,60 = 23,6 : le zéro à la fin de la partie décimale ne change rien, 60 centièmes = 6 dixièmes.
• 56,7 = 56,70 : même raison.
• 80,42 < 804,2 : 80 < 804.
• 4,5 > 4,35 : les parties entières sont égales (4) ; on compare les dixièmes : 5 > 3. (On peut aussi écrire 4,5 = 4,50 et comparer 50 centièmes et 35 centièmes.)

b. On compare d’abord les parties entières : 0 (pour 0,87 et 0,31), 6 (pour 6,45, 6 et 6,4) et 64 (pour 64,05).

• Avec la partie entière 0 : 0,31 < 0,87 (3 dixièmes < 8 dixièmes).
• Avec la partie entière 6 : on écrit 6 = 6,00 ; 6,4 = 6,40 ; 6,45. Donc 6 < 6,4 < 6,45.
• 64,05 est le plus grand.

La première du classement est celle qui a le plus grand résultat. On range donc les résultats dans l’ordre décroissant.

• Les parties entières sont 240, 237, 225, 192, 181 et 181 : on peut déjà classer Alena, Anna, Alexandra et Alexia.
• Ekaterina (181,49) et Emmi (181,79) ont la même partie entière, 181. On compare les dixièmes : 7 > 4, donc 181,79 > 181,49. Emmi est devant Ekaterina.