Fonction exponentielle : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Mis à jour le 22 novembre 2025

La fonction exponentielle est un concept mathématique fondamental que les élèves de Terminale découvrent progressivement à travers des exercices adaptés à leur niveau. Ces corrections d’exercices permettent de comprendre les bases des puissances et des suites géométriques simples, développant ainsi le raisonnement logique et les compétences en calcul. Maîtriser ces notions préparatoires à la fonction exponentielle renforce la compréhension des mathématiques et établit des fondations solides pour les apprentissages futurs. Les exercices corrigés proposés facilitent l’assimilation de ces concepts essentiels du programme de terminale.

Exercice 1 – position relative de courbes et étude.

a) Étudier la position relative de C_f et C_g :

On étudie le signe de .

$f(x)-g(x)=e^{-2x}-e^{-3x}$

$f(x)-g(x)=e^{-2x}(1-e^{-x})$

Comme 0″ alt= »e^{-2x}>0″> pour tout , le signe de est celui de $1-e^{-x}$ .

0Leftrightarrow1>e^{-x}Leftrightarrow0>-xLeftrightarrow x>0″ alt= »1-e^{-x}>0Leftrightarrow1>e^{-x}Leftrightarrow0>-xLeftrightarrow x>0″>

Conclusion : Pour <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<0" alt="x, C_f est en dessous de C_g . Pour 0″ alt= »x>0″>, C_f est au-dessus de C_g . Les courbes se coupent en x=0 au point (0;1) .

b) Étudier la position relative de C_h et C_g :

On étudie le signe de .

$h(x)-g(x)=e^{-x^2}-e^{-3x}$

Les courbes se coupent lorsque $e^{-x^2}=e^{-3x}$ , soit , donc , soit .

Points d’intersection : x=0 et x=3 .

Pour étudier le signe, on teste une valeur dans chaque intervalle :

• Pour x=-1 : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?h(-1)-g(-1)=e^{-1}-e^3<0" alt="h(-1)-g(-1)=e^{-1}-e^3

• Pour x=1 : 0″ alt= »h(1)-g(1)=e^{-1}-e^{-3}>0″>

• Pour x=4 : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?h(4)-g(4)=e^{-16}-e^{-12}<0" alt="h(4)-g(4)=e^{-16}-e^{-12}

Conclusion : Sur , C_h est en dessous de C_g . Sur ]0;3[ , C_h est au-dessus de C_g . Les courbes se coupent aux points (0;1) et $(3;e^{-9})$ .

Exercice 2 – fonction et étude de la position relative de la courbe.

Données :

• Fonction : $f(x) = e^{-x}$

• : courbe représentative de

• : tangente à au point d’abscisse 0

Étape 1 : Équation de la tangente T

• Point de tangence : $A(0 ; f(0)) = (0 ; e^0) = (0 ; 1)$

• Calcul de la dérivée : $f'(x) = -e^{-x}$

• Coefficient directeur : $f'(0) = -e^0 = -1$

• Équation de T : $y = -x + 1$

Étape 2 : Position relative de et T

On étudie le signe de $g(x) = f(x) - (-x + 1) = e^{-x} + x - 1$

• $g'(x) = -e^{-x} + 1 = 1 - e^{-x}$

• $g'(x) = 0 Leftrightarrow 1 - e^{-x} = 0 Leftrightarrow e^{-x} = 1 Leftrightarrow x = 0$

Étude du signe de g'(x) :

• Si <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x < 0" alt="x : 1″ alt= »e^{-x} > 1″> donc <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?g'(x) < 0" alt="g'(x)

• Si 0″ alt= »x > 0″> : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?e^{-x} < 1" alt="e^{-x} donc 0″ alt= »g'(x) > 0″>

Donc est décroissante sur $]-infty ; 0[$ et croissante sur $]0 ; +infty[$

• $g(0) = e^0 + 0 - 1 = 0$

Conclusion :

• $g(x) geq 0$ pour tout $x in mathbb{R}$

• La courbe est au-dessus de la tangente T

• et T se coupent uniquement au point $A(0 ; 1)$

Exercice 3 – aire maximale d’un rectangle et fonctions.

Étape 1 : Identification des coordonnées des points

D’après la figure, le rectangle OMNP a pour sommets :

• O(0 ; 0)

• M(x ; 0) où x est l’abscisse du point M

• N(x ; f(x)) = N(x ; 2e^(-x))

• P(0 ; 2e^(-x))

Étape 2 : Expression de l’aire du rectangle

L’aire du rectangle OMNP est :

Aire = longueur × largeur

Aire = OM × OP

Aire = x × 2e^(-x)

Donc : $A(x)=2xe^{-x}$

Étape 3 : Recherche du maximum

Pour trouver le maximum, on calcule la dérivée de A(x) :

$A'(x)=2e^{-x}+2xtimes (-e^{-x})$

$A'(x)=2e^{-x}-2xe^{-x}$

$A'(x)=2e^{-x}(1-x)$

Étape 4 : Résolution de A'(x) = 0

$2e^{-x}(1-x)=0$

Comme 0″ alt= »e^{-x}>0″> pour tout x, on a :

1-x=0

Donc x=1

Étape 5 : Dimensions du rectangle d’aire maximale

Pour x = 1 :

• Longueur OM = 1

• Largeur OP = f(1) = $2e^{-1}=frac{2}{e}$

Réponse : Les dimensions du rectangle OMNP d’aire maximale sont :

Longueur = 1 et Largeur = $frac{2}{e}$

Exercice 4 – la température d’ébullition de l’eau et exponentielle.

1. Détermination de la température de la casserole dans l’évier

Lorsque la casserole est plongée dans l’évier, elle atteint la température de l’eau de l’évier.

Réponse : $T = 45°C$

2. a) Vitesse de refroidissement proportionnelle à l’écart de température

La vitesse de refroidissement est $T'(t)$ .

L’écart de température entre l’eau de l’évier et la casserole est $T(t) - 45$ .

La proportionnalité s’écrit : $T'(t) = -k(T(t) - 45)$ où 0″ alt= »k > 0″>

Le signe négatif indique que la température diminue.

2. b) Détermination du coefficient de proportionnalité

À $t = 0$ : $T(0) = 100°C$

D’après l’équation différentielle : $T'(0) = -k(100 - 45) = -55k$

On résout l’équation différentielle $T'(t) = -k(T(t) - 45)$

La solution générale est : $T(t) = 45 + Ce^{-kt}$

Avec la condition initiale $T(0) = 100$ : $100 = 45 + C$ , donc $C = 55$

Ainsi : $T(t) = 45 + 55e^{-kt}$

Réponse : $k = frac{1}{55}T'(0)$

3. Température après 5 minutes

Il faut d’abord déterminer la valeur de avec des informations supplémentaires non données dans l’énoncé.

En supposant que soit donné ou calculable, la température après 5 minutes serait :

Réponse : $T(5) = 45 + 55e^{-5k}$

Exercice 5 – simplifier des exponentielles et écrire l’expression.

1) Écrire l’expression avec une seule exponentielle :

a) $e^4times e^6 = e^{4+6} = e^{10}$

b) $etimes (e^5)^2 = e^1times e^{5times 2} = e^1times e^{10} = e^{11}$

c) $frac{e^{30}times e^{-10}}{e^{10}} = frac{e^{30-10}}{e^{10}} = frac{e^{20}}{e^{10}} = e^{20-10} = e^{10}$

2) Déterminer le signe de f(x) :

Soit $f(x) = -xe^x$

On sait que 0″ alt= »e^x > 0″> pour tout réel x.

Donc $f(x) = -xe^x$ a le signe opposé à x :

• Si 0″ alt= »x > 0″>, alors <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x) < 0" alt="f(x)

• Si $x = 0$ , alors $f(x) = 0$

• Si <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x < 0" alt="x , alors 0″ alt= »f(x) > 0″>

3) Simplifier l’écriture de chaque expression :

a) $e^{2a}times e^{-a} = e^{2a-a} = e^a$

b) $frac{e^{2a}+1}{e^{1-a}} = (e^{2a}+1)times e^{-(1-a)} = (e^{2a}+1)e^{a-1}$

c) $(e^a)^3times e = e^{3a}times e^1 = e^{3a+1}$

Exercice 6 – relation fonctionnelle et conjecture.

a) Conjecture du signe de f(x) selon les valeurs de x :

En observant le graphique de la fonction :

• Pour <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<1" alt="x : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x)<0" alt="f(x) (la courbe est en dessous de l’axe des abscisses)

• Pour x=1 : f(x)=0 (la courbe coupe l’axe des abscisses)

• Pour 1″ alt= »x>1″> : 0″ alt= »f(x)>0″> (la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses)

b) Démonstration de la conjecture :

Pour déterminer le signe de , on étudie le signe de chaque facteur :

• 0″ alt= »e^x>0″> pour tout (l’exponentielle est toujours strictement positive)

• Le signe de (x-1) dépend de la valeur de x :

– Si <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<1" alt="x, alors <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x-1<0" alt="x-1

– Si x=1 , alors x-1=0

– Si 1″ alt= »x>1″>, alors 0″ alt= »x-1>0″>

Par conséquent :

• Si <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<1" alt="x : <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x)=(x-1)times e^x=ntext{égatif}times positif<0" alt="f(x)=(x-1)times e^x=négatiftimes positif

• Si x=1 : $f(1)=(1-1)times e^1=0times e=0$

• Si 1″ alt= »x>1″> : 0″ alt= »f(x)=(x-1)times e^x=positiftimes positif>0″>

La conjecture est donc démontrée.

Exercice 7 – fonction rationnelle avec une exponentielle.

a) Justifier que la fonction f est définie sur ℝ.

La fonction $f(x)=frac{2}{e^x+1}$ est définie si et seulement si le dénominateur est non nul.

Or, pour tout réel x : 0″ alt= »e^x>0″>

Donc : 1>0″ alt= »e^x+1>1>0″>

Le dénominateur ne s’annule jamais, donc f est définie sur ℝ.

b) Démontrer que, pour tout nombre réel x, f(-x) + f(x) = 2.

Calculons f(-x) :

$f(-x)=frac{2}{e^{-x}+1}$

Multiplions le numérateur et le dénominateur par e^x :

$f(-x)=frac{2e^x}{e^x(e^{-x}+1)}=frac{2e^x}{1+e^x}$

Calculons f(-x) + f(x) :

$f(-x)+f(x)=frac{2e^x}{1+e^x}+frac{2}{e^x+1}=frac{2e^x+2}{1+e^x}=frac{2(e^x+1)}{1+e^x}=2$

Donc f(-x) + f(x) = 2 pour tout réel x.

c) Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction f dans un repère ?

La relation f(-x) + f(x) = 2 peut s’écrire :

Si M(x ; f(x)) est un point de la courbe, alors M'(-x ; f(-x)) = M'(-x ; 2-f(x)) est aussi un point de la courbe.

Les points M et M’ sont symétriques par rapport au point I(0 ; 1), centre de symétrie.

Conclusion : La courbe représentative de f admet le point I(0 ; 1) comme centre de symétrie.

Exercice 8 – vrai ou faux avec les propriétés de l’exponentielle.

a) Pour tout nombre réel x, e^x² = e^x × e^x.

Faux. En effet, d’après les propriétés de l’exponentielle : $e^xtimes e^x = e^{x+x} = e^{2x}$

Or $e^{x^2} neq e^{2x}$ en général. Par exemple, pour x = 2 : $e^{2^2} = e^4$ mais $e^{2times 2} = e^4$ . Prenons x = 3 : $e^{3^2} = e^9$ mais $e^{2times 3} = e^6$ .

b) Pour tout nombre réel x, (e^x)² = e^x × e^x.

Vrai. D’après les propriétés des puissances : $(e^x)^2 = e^x times e^x$ par définition de la puissance au carré.

c) Pour tout nombre réel x, e^x ⩾ x + 2.

Faux. Prenons x = 0 : $e^0 = 1$ et $0 + 2 = 2$ . On a <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?1 < 2" alt="1 , donc l’inégalité n’est pas vérifiée.

d) Il existe un nombre réel x tel que e^x ⩾ x + 2.

Vrai. Prenons x = 2 : $e^2 approx 7{,}39$ et $2 + 2 = 4$ . On a bien 4″ alt= »e^2 > 4″>, donc l’inégalité est vérifiée pour au moins une valeur de x.

Exercice 9 – axe de symétrie et position relative d’une courbe.

1. Démontrer que l’axe des ordonnées est un axe de symétrie de C.

Pour démontrer que l’axe des ordonnées (droite d’équation x=0 ) est un axe de symétrie de C, il faut montrer que pour tout .

Calculons f(-x) :

$f(-x)=e^{-x}+e^{-(-x)}-2=e^{-x}+e^{x}-2$

Et $f(x)=e^{x}+e^{-x}-2$

Donc . La fonction est paire et l’axe des ordonnées est bien un axe de symétrie de C.

2. a) Démontrer que, pour tout nombre réel x, $f(x)=frac{(e^{x}-1)^{2}}{e^{x}}$

Développons l’expression proposée :

$frac{(e^{x}-1)^{2}}{e^{x}}=frac{e^{2x}-2e^{x}+1}{e^{x}}=frac{e^{2x}}{e^{x}}-frac{2e^{x}}{e^{x}}+frac{1}{e^{x}}$

$=e^{x}-2+e^{-x}=e^{x}+e^{-x}-2=f(x)$

L’égalité est donc démontrée.

b) En déduire la position relative de la courbe C par rapport à l’axe des abscisses.

D’après l’expression $f(x)=frac{(e^{x}-1)^{2}}{e^{x}}$ , on a :

• $(e^{x}-1)^{2}geq0$ pour tout

• 0″ alt= »e^{x}>0″> pour tout

Donc pour tout .

De plus, f(x)=0 si et seulement si $(e^{x}-1)^{2}=0$ , c’est-à-dire $e^{x}=1$ , soit x=0 .

Conclusion : La courbe C est située au-dessus de l’axe des abscisses et le touche uniquement au point (0;0) .

Exercice 10 – le tracé d’une courbe et signe de f(x).

1. a) Déterminons f(0) :

$f(0)=(atimes 0+b)e^0=btimes 1=b$

Donc f(0)=b

1. b) Résolvons f(x) = 0 :

Comme 0″ alt= »e^x>0″> pour tout , on a :

ax+b=0

$x=-frac{b}{a}$ (car aneq0 )

2. a) Déterminons a et b :

D’après le graphique, la courbe passe par :

• Point C(0 ; 2) : donc f(0)=2

Or f(0)=b , donc b=2

• Point D $(frac{5}{2};0)$ : donc $f(frac{5}{2})=0$

D’après la question 1.b), $-frac{b}{a}=frac{5}{2}$

Avec b=2 : $-frac{2}{a}=frac{5}{2}$

$a=-frac{2times 2}{5}=-frac{4}{5}$

Donc : $a=-frac{4}{5}$ et b=2

2. b) Déterminons le signe de f(x) :

On a $f(x)=(-frac{4}{5}x+2)e^x$

Comme 0″ alt= »e^x>0″> pour tout , le signe de f(x) est le même que celui de $-frac{4}{5}x+2$ .

0″ alt= »-frac{4}{5}x+2>0″> équivaut à <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<frac{5}{2}" alt="x

Tableau de signes :

• Si $xin]-infty;frac{5}{2}[$ alors 0″ alt= »f(x)>0″>

• Si $x=frac{5}{2}$ alors f(x)=0

• Si $xin]frac{5}{2};+infty[$ alors <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x)<0" alt="f(x)

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