Loi des grands nombres
En bref : La loi des grands nombres affirme que la moyenne d’un grand nombre d’observations indépendantes se rapproche de l’espérance, et que la fréquence d’un événement tend vers sa probabilité.
TerminaleProbabilités
Définition : Loi des grands nombres
La loi des grands nombres explique pourquoi les statistiques « se stabilisent » quand on répète une expérience : plus on fait d’essais, plus la moyenne observée colle à la valeur théorique.
Pour \(M_n\), moyenne de \(n\) variables aléatoires indépendantes de même espérance \(m\) et de variance \(\sigma^2\), l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne \(P\left(|M_n-m|\ge\delta\right)\le\frac{\sigma^2}{n\delta^2}\). Quand \(n\) grandit, cette borne tend vers \(0\).
Comment le reconnaître
- L’énoncé simule ou répète une expérience des milliers de fois et compare la fréquence observée à la probabilité.
- On cherche combien d’essais garantissent un écart faible avec une probabilité élevée.
- L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev apparaît avec \(n\), \(\sigma^2\) et \(\delta\).
- Un sondage, un contrôle qualité ou un casino sont évoqués pour justifier une moyenne stable.
La méthode
- Déterminer l’espérance \(m\) et la variance \(\sigma^2\) de la variable étudiée.
- Choisir l’écart \(\delta\) toléré et le nombre d’essais \(n\).
- Calculer la borne \(\frac{\sigma^2}{n\delta^2}\) pour majorer la probabilité d’un écart supérieur ou égal à \(\delta\).
- Interpréter : la loi garantit une tendance, jamais le résultat d’une série précise.
Loi des grands nombres : exemple corrigé
Énoncé
On lance un dé équilibré \(1\,000\) fois et on note \(M\) la moyenne des résultats. L’espérance d’un lancer est \(3{,}5\) et sa variance \(\frac{35}{12}\approx 2{,}92\). Majorer la probabilité que \(M\) s’écarte de \(3{,}5\) d’au moins \(0{,}5\).
Corrigé
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne \(P\left(|M-3{,}5|\ge 0{,}5\right)\le\frac{2{,}92}{1\,000\times 0{,}5^2}=\frac{2{,}92}{250}\approx\) \(0{,}0117\).
Il y a donc moins de \(1{,}2\,\%\) de chances que la moyenne de \(1\,000\) lancers sorte de l’intervalle \([3\,;\,4]\).
À toi de jouer
Question 1
Avec la même variance \(2{,}92\), que devient la borne pour \(n=10\,000\) lancers et \(\delta=0{,}5\) ?
Voir la réponse
\(\frac{2{,}92}{10\,000\times 0{,}25}\approx 0{,}00117\) : elle est dix fois plus petite.
Question 2
Après \(5\) piles de suite, la pièce a-t-elle « plus de chances » de donner face ?
Voir la réponse
Non : les lancers sont indépendants. La loi concerne la fréquence sur un très grand nombre d’essais, pas une compensation à court terme.
Ne pas confondre Loi des grands nombres et Espérance
L’espérance est une valeur théorique calculée à partir de la loi de probabilité. La moyenne observée est empirique, issue des essais réels. La loi des grands nombres relie les deux : sur de nombreux essais, la seconde se rapproche de la première.
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