Reste
En bref : Le reste d’une division euclidienne est ce qui n’a pas pu être distribué une fois les parts égales formées ; il est toujours plus petit que le diviseur.
6èmeNombres et calculs
Définition : Reste
Le reste d’une division euclidienne est ce qui ne suffit plus à former un paquet complet. Si l’on range \(47\) objets par paquets de \(6\), on fait \(7\) paquets, soit \(42\) objets, et \(5\) objets sont en trop.
Cette situation s’écrit \(47 = 6 \times 7 + 5\). Ce nombre entier doit être strictement plus petit que le diviseur, sinon on pourrait former un paquet de plus. Il vaut \(0\) lorsque la division tombe juste, c’est-à-dire quand le dividende est un multiple du diviseur.
Comment le reconnaître
- L’énoncé parle d’objets que l’on range par paquets égaux et demande ceux qui ne rentrent pas.
- On cherche combien de places ou de boîtes il faut pour tout loger, avec quelques objets en trop.
- Une division est posée avec un quotient entier, sans virgule.
- La question concerne un jour de la semaine ou un tour d’horloge qui recommence.
La méthode
- Poser la division euclidienne du dividende par le diviseur et trouver le plus grand quotient entier possible.
- Multiplier ce quotient par le diviseur, puis soustraire le résultat du dividende.
- Vérifier que le résultat obtenu est plus petit que le diviseur.
- Écrire l’égalité \(a = b \times q + r\) pour contrôler le calcul.
Reste : exemple corrigé
Énoncé
Une boulangerie de Dijon a préparé \(250\) croissants. Elle les range dans des boîtes de \(12\). Combien de boîtes sont pleines et combien de croissants restent hors des boîtes ?
Corrigé
On effectue la division euclidienne de \(250\) par \(12\). Comme \(12 \times 20 = 240\) et \(12 \times 21 = 252\) dépasse \(250\), le quotient est \(20\).
Le reste est \(250 – 240 = 10\), et \(10 < 12\). On écrit \(250 = 12 \times 20 + 10\) : il y a 20 boîtes pleines et 10 croissants restants.
À toi de jouer
Question 1
Quel est le reste de la division euclidienne de \(100\) par \(7\) ?
Voir la réponse
\(7 \times 14 = 98\) et \(100 – 98 = 2\). Le reste est \(2\).
Question 2
Un élève écrit \(80 = 9 \times 7 + 17\) pour la division euclidienne de \(80\) par \(9\). Est-ce correct ?
Voir la réponse
Non : l’égalité est vraie, mais \(17\) dépasse le diviseur \(9\). On peut former un paquet de plus : \(80 = 9 \times 8 + 8\), avec un reste de \(8\).
Ne pas confondre Reste et Quotient
Le quotient dit combien de paquets complets on peut former, le reste dit ce qui traîne après. Dans \(250 = 12 \times 20 + 10\), le premier vaut \(20\), le second \(10\). Le reste est toujours plus petit que le diviseur, tandis que le quotient peut être aussi grand que l’on veut.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
Tout le glossaire : A–Z · 6ème · Nombres et calculs
