Exercice 1 : déterminer le périmètre de chaque figure
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Figure} & ① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ \\
\hline
\text{Périmètre} & 14 & 12 & 20 & 8 & 30 & 20 \\
\hline
\end{array}
\]
Pour chaque figure, nous allons déterminer le périmètre en comptant le nombre de segments de longueur \( l \) qui forment le contour de chaque figure.
1. \[\]Figure ①\[\] :
\[
P = 3l + 2l + 2l + 3l + 2l + 1l + 1l = 14l
\]
2. \[\]Figure ②\[\] :
\[
P = 3l + 4l + 3l + 2l = 12l
\]
3. \[\]Figure ③\[\] :
\[
P = 1l + 2l + 1l + 2l + 4l + 1l + 2l + 1l + 2l + 4l = 20l
\]
4. \[\]Figure ④\[\] :
\[
P = 1l + 2l + 1l + 2l + 1l + 2l + 1l + 2l = 8l
\]
5. \[\]Figure ⑤\[\] :
\[
P = 1l + 2l + 1l + 2l + 1l + 2l + 1l + 4l + 1l + 4l + 1l + 2l + 1l + 2l + 1l + 2l + 1l = 30l
\]
6. \[\]Figure ⑥\[\] :
\[
P = 1l + 2l + 1l + 2l + 1l + 2l + 4l + 1l + 2l + 1l + 2l + 1l = 20l
\]
Ainsi, les périmètres en prenant comme unité la longueur d’un carreau sont :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Figure} & ① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ \\
\hline
\text{Périmètre} & 14 & 12 & 20 & 8 & 30 & 20 \\
\hline
\end{array}
\]
Exercice 2 : périmètre de triangles
\({Figure 1:}\)
Le périmètre du triangle est la somme des longueurs de ses côtés :
\[ P = 6 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm} \]
\[ P = 15 \, \text{cm} \]
\({Figure 2:}\)
Le périmètre du triangle est la somme des longueurs de ses côtés :
\[ P = 3 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm} + 5 \, \text{cm} \]
\[ P = 12 \, \text{cm} \]
\({Figure 3:}\)
Le périmètre du triangle est la somme des longueurs de ses côtés :
\[ P = 3 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm} + 3 \, \text{cm} \]
\[ P = 10 \, \text{cm} \]
\({Figure 4:}\)
Le périmètre du triangle est la somme des longueurs de ses côtés :
\[ P = 4 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm} + 4 \, \text{cm} \]
\[ P = 12 \, \text{cm} \]
| Figure | ① | ② | ③ | ④ |
|——–|—-|—-|—-|—-|
| Périmètre (en cm) | 15 | 12 | 10 | 12 |
Exercice 3 : périmètre de quadrilatères
{Correction de l’exercice :}
1. Pour la figure \(\boxed{1}\), mesurons les côtés et calculons le périmètre.
– Les côtés mesurent 3 cm chacun.
– \(P = 4 \times 3 = 12 \, \text{cm}\)
2. Pour la figure \(\boxed{2}\), mesurons les côtés et calculons le périmètre.
– Les côtés mesurent 5 cm chacun.
– \(P = 4 \times 5 = 20 \, \text{cm}\)
3. Pour la figure \(\boxed{3}\), mesurons les côtés et calculons le périmètre.
– Les dimensions sont : 7 cm et 4 cm.
– \(P = 2 \times (7 + 4) = 2 \times 11 = 22 \, \text{cm}\)
4. Pour la figure \(\boxed{4}\), mesurons les côtés et calculons le périmètre.
– Les dimensions sont : 6 cm, 3 cm et 3 cm.
– \(P = 6 + 3 + 3 + 3 + 3 + 6 = 24 \, \text{cm}\)
5. Pour la figure \(\boxed{5}\), mesurons les côtés et calculons le périmètre.
– Les dimensions sont : 12 cm et 3 cm.
– \(P = 2 \times (12 + 3) = 2 \times 15 = 30 \, \text{cm}\)
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
{Figure} & \(\boxed{1}\) & \(\boxed{2}\) & \(\boxed{3}\) & \(\boxed{4}\) & \(\boxed{5}\) \\
\hline
{Périmètre} & 12 cm & 20 cm & 22 cm & 24 cm & 30 cm \\
\hline
\end{tabular}
Exercice 4 : périmètre de chaque lettre
a. Exprime le périmètre de chaque lettre en prenant \(l_1\) pour unité de longueur.
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Lettre} & \text{C} & \text{H} & \text{I} & \text{O} & \text{T} \\
\hline
\text{Périmètre} & 18l_1 & 22l_1 & 14l_1 & 20l_1 & 20l_1 \\
\hline
\end{array}
\]
b. Range ces lettres dans l’ordre croissant de leur périmètre.
\[
\text{I} < \text{C} < \text{O} = \text{T} < \text{H}
\]
c. Exprime le périmètre de chaque lettre en prenant \(l_2\) pour unité de longueur.
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Lettre} & \text{C} & \text{H} & \text{I} & \text{O} & \text{T} \\
\hline
\text{Périmètre} & 18l_2 & 22l_2 & 14l_2 & 20l_2 & 20l_2 \\
\hline
\end{array}
\]
d. Que remarques-tu ?
Le périmètre de chaque lettre est proportionnel à l’unité de longueur utilisée (\(l_1\) ou \(l_2\)). Le classement des périmètres reste le même, peu importe l’unité de longueur choisie.
Exercice 5 : rénger ces animaux dans l’ordre croissant
Pour déterminer l’ordre décroissant des périmètres, nous devons calculer le périmètre de chaque animal.
Chaque triangle que les animaux composent a des côtés de même longueur. Commençons par compter les côtés partagés et non partagés de chaque figure pour déterminer le périmètre.
Pour chaque animal :
1. \[\]Baleine (bleue)\[\] :
– Périmètre = nombre de côtés extérieurs
– 8 triangles sur le bord extérieur: \(8\) côtés unitaires
2. \[\]Chien (marron)\[\] :
– Périmètre = nombre de côtés extérieurs
– 11 triangles sur le bord extérieur: \(11\) côtés unitaires
3. \[\]Éléphant (bleu foncé)\[\] :
– Périmètre = nombre de côtés extérieurs
– 13 triangles sur le bord extérieur: \(13\) côtés unitaires
4. \[\]Cygne (noir)\[\] :
– Périmètre = nombre de côtés extérieurs
– 10 triangles sur le bord extérieur: \(10\) côtés unitaires
5. \[\]Pieuvre (orange)\[\] :
– Périmètre = nombre de côtés extérieurs
– 16 triangles sur le bord extérieur: \(16\) côtés unitaires
6. \[\]Serpent (vert)\[\] :
– Périmètre = nombre de côtés extérieurs
– 14 triangles sur le bord extérieur: \(14\) côtés unitaires
L’ordre décroissant des périmètres est donc :
1. Pieuvre (orange) : 16
2. Serpent (vert) : 14
3. Éléphant (bleu foncé) : 13
4. Chien (marron) : 11
5. Cygne (noir) : 10
6. Baleine (bleue) : 8
Exercice 6 : tracer des rectangles de même périmètre
Si l’on compte les carreaux de la grille, on constate que le carré orange a une longueur de côté de 5 carreaux.
Le périmètre \(P\) d’un carré est donné par la formule:
\[ P = 4 \times \text{longueur du côté} \]
Donc:
\[ P = 4 \times 5 = 20 \text{ carreaux} \]
Il nous faut maintenant trouver deux rectangles différents ayant le même périmètre de 20 carreaux.
Soit \(a\) et \(b\) les longueurs des côtés du rectangle. Le périmètre d’un rectangle est donné par:
\[ P = 2a + 2b \]
On pose:
\[ 2a + 2b = 20 \]
soit:
\[ a + b = 10 \]
Considérons différents couples \((a, b)\) dont la somme est égale à 10:
1) Premier rectangle:
\[ a = 3 \]
\[ b = 7 \]
Ainsi, un rectangle avec les côtés de 3 carreaux et 7 carreaux a un périmètre de:
\[ P = 2(3) + 2(7) = 6 + 14 = 20 \]
2) Deuxième rectangle:
\[ a = 4 \]
\[ b = 6 \]
Ainsi, un rectangle avec les côtés de 4 carreaux et 6 carreaux a un périmètre de:
\[ P = 2(4) + 2(6) = 8 + 12 = 20 \]
Donc, les deux rectangles différents ayant le même périmètre que le carré orange sont les suivants:
1. Un rectangle de 3 carreaux sur 7 carreaux.
2. Un rectangle de 4 carreaux sur 6 carreaux.
Exercice 7 : quatre pentaminos identiques
Pour trouver le périmètre de chaque figure, nous devons compter le nombre de segments unitaires qui composent le bord de chaque figure.
a. Calcul des périmètres de chaque figure :
– Pour la figure \( \boxed{1} \), le périmètre est de 22 cm.
– Pour la figure \( \boxed{2} \), le périmètre est de 20 cm.
– Pour la figure \( \boxed{3} \), le périmètre est de 20 cm.
– Pour la figure \( \boxed{4} \), le périmètre est de 22 cm.
Mise à jour du tableau :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Figure} & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
\text{Périmètre (cm)} & 22 & 20 & 20 & 22 \\
\hline
\end{array}
\]
b. Classement des figures dans l’ordre croissant de leurs périmètres :
Les figures \( \boxed{2} \) et \( \boxed{3} \) ont le même périmètre et doivent être classées en premier, suivies des figures \( \boxed{1} \) et \( \boxed{4} \), qui ont elles aussi le même périmètre.
L’ordre croissant est donc : \( \boxed{2} \), \( \boxed{3} \), \( \boxed{1} \), \( \boxed{4} \).
c. Figures ayant un périmètre inférieur à 25 cm :
– Les figures ayant un périmètre inférieur à 25 cm sont les figures \( \boxed{1} \), \( \boxed{2} \), \( \boxed{3} \) et \( \boxed{4} \), toutes ayant des périmètres de 20 cm ou 22 cm.
Exercice 8 : périmètre de carrés et de rectangles
Pour le tableau concernant les carrés :
Le périmètre \( P \) d’un carré est donné par la formule :
\[ P = 4 \times \text{côté} \]
Complétons donc le tableau avec les périmètres calculés pour chaque carré :
1. \( Côté = 1 \, \text{cm} \Rightarrow P = 4 \times 1 = 4 \, \text{cm} \)
2. \( Côté = 2,5 \, \text{cm} \Rightarrow P = 4 \times 2,5 = 10 \, \text{cm} \)
3. \( Côté = 10 \, \text{cm} \Rightarrow P = 4 \times 10 = 40 \, \text{cm} \)
4. \( Côté = 15 \, \text{cm} \Rightarrow P = 4 \times 15 = 60 \, \text{cm} \)
5. \( Côté = 18 \, \text{cm} \Rightarrow P = 4 \times 18 = 72 \, \text{cm} \)
6. \( Côté = 21,5 \, \text{cm} \Rightarrow P = 4 \times 21,5 = 86 \, \text{cm} \)
Ainsi, le tableau pour les carrés est complété comme suit :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Carré} & ① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ \\
\hline
\text{Côté} & 1 \, \text{cm} & 2,5 \, \text{cm} & 10 \, \text{cm} & 15 \, \text{cm} & 18 \, \text{cm} & 21,5 \, \text{cm} \\
\hline
\text{Périmètre} & 4 \, \text{cm} & 10 \, \text{cm} & 40 \, \text{cm} & 60 \, \text{cm} & 72 \, \text{cm} & 86 \, \text{cm} \\
\hline
\end{array}
\]
Pour le tableau concernant les rectangles :
Le périmètre \( P \) d’un rectangle est donné par la formule :
\[ P = 2 \times (\text{largeur} + \text{longueur}) \]
Complétons donc le tableau avec les périmètres calculés pour chaque rectangle :
1. \( \text{Largeur} = 2 \, \text{cm}, \text{Longueur} = 20 \, \text{cm} \Rightarrow P = 2 \times (2 + 20) = 2 \times 22 = 44 \, \text{cm} \)
2. \( \text{Largeur} = 10 \, \text{cm}, \text{Longueur} = 4 \, \text{cm} \Rightarrow P = 2 \times (10 + 4) = 2 \times 14 = 28 \, \text{cm} \)
3. \( \text{Largeur} = 3,5 \, \text{cm}, \text{Longueur} = 9,5 \, \text{cm} \Rightarrow P = 2 \times (3,5 + 9,5) = 2 \times 13 = 26 \, \text{cm} \)
4. \( \text{Largeur} = 6 \, \text{cm}, \text{Longueur} = 7,5 \, \text{cm} \Rightarrow P = 2 \times (6 + 7,5) = 2 \times 13,5 = 27 \, \text{cm} \)
5. \( \text{Largeur} = 5,5 \, \text{cm}, \text{Longueur} = 7,5 \, \text{cm} \Rightarrow P = 2 \times (5,5 + 7,5) = 2 \times 13 = 26 \, \text{cm} \)
6. \( \text{Largeur} = 11,5 \, \text{cm}, \text{Longueur} = 14,5 \, \text{cm} \Rightarrow P = 2 \times (11,5 + 14,5) = 2 \times 26 = 52 \, \text{cm} \)
Ainsi, le tableau pour les rectangles est complété comme suit :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Rectangle} & ① & ② & ③ & ④ & ⑤ & ⑥ \\
\hline
\text{Largeur} & 2 \, \text{cm} & 10 \, \text{cm} & 3,5 \, \text{cm} & 6 \, \text{cm} & 5,5 \, \text{cm} & 11,5 \, \text{cm} \\
\hline
\text{Longueur} & 20 \, \text{cm} & 4 \, \text{cm} & 9,5 \, \text{cm} & 9,5 \, \text{cm} & 7,5 \, \text{cm} & 14,5 \, \text{cm} \\
\hline
\text{Périmètre} & 44 \, \text{cm} & 28 \, \text{cm} & 26 \, \text{cm} & 27 \, \text{cm} & 26 \, \text{cm} & 52 \, \text{cm} \\
\hline
\end{array}
\]
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