Droites parallèles et perpendiculaires en CM1 : corrigé des exercices 1 à 10

Deux droites sont parallèles si elles ne se coupent jamais, même quand on les prolonge : l’écart entre elles reste toujours le même.

• a. Les deux droites s’écartent vers la gauche et se rapprochent vers la droite : en les prolongeant, elles finiraient par se couper. Elles ne sont pas parallèles.
• b. Les deux droites sont horizontales : l’écart entre elles est partout le même. Elles sont parallèles.
• c. Les deux droites se croisent : elles sont sécantes, donc pas parallèles.
• d. Les deux droites montent avec la même inclinaison ; si on mesure l’écart à deux endroits avec l’équerre, on trouve la même distance. Elles sont parallèles, même si les traits n’ont pas la même longueur.

Dans les deux dessins, les nombreux traits bleus du fond « trompent » l’œil : les droites rouges semblent se courber, se rapprocher ou s’écarter. C’est une illusion d’optique.

Pour savoir la vérité, on ne se fie pas à ses yeux : on pose la règle le long de chaque droite rouge (elle est bien droite) puis on mesure l’écart entre les deux droites rouges à gauche, au milieu et à droite avec l’équerre. On trouve la même distance partout.

• Figure de gauche : les droites rouges sont parallèles : on entoure Oui.
• Figure de droite : les droites rouges sont aussi parallèles : on entoure Oui.

Sur le plan, on repère la direction de chaque rue ou allée : les allées Haüy, Lacroix-Edmond Perrier, Mangin et Cuvier sont verticales ; les allées Becquerel et Jussieu sont horizontales ; les rues autour du jardin (rue Cuvier, rue Linné, quai Saint-Bernard) sont obliques.

a.

• La rue Cuvier et l’allée Cuvier sont parallèles : Faux. L’allée Cuvier est verticale alors que la rue Cuvier est oblique ; en les prolongeant, elles se couperaient.
• Les allées Jussieu et Becquerel sont parallèles : Vrai. Elles sont toutes les deux horizontales et restent à la même distance l’une de l’autre.
• Les allées Mangin et Haüy sont parallèles : Vrai. Elles sont toutes les deux verticales.
• Le quai Saint-Bernard et la rue Linné sont parallèles : Faux. Le quai Saint-Bernard monte vers la droite, la rue Linné descend vers la droite : elles ne vont pas dans la même direction.

b. Les allées parallèles à l’allée Lacroix-Edmond Perrier sont les autres allées verticales : l’allée Haüy et l’allée Cuvier. La Ménagerie (4) se trouve à droite du plan : la plus proche est l’allée Cuvier.

c. Le Jardin de l’École de Botanique (3) est entre l’allée Becquerel (en haut) et l’allée Jussieu (en bas). À droite, il est longé par l’allée Cuvier ; à gauche, par l’allée verticale qui prolonge l’allée Mangin et qui devient l’allée Lacroix-Edmond Perrier. Ces deux allées verticales sont parallèles à l’allée Mangin.

Une droite parallèle à la droite rouge a la même direction qu’elle : on peut le vérifier avec l’équerre, en mesurant l’écart entre les deux droites à deux endroits différents.

• a. La droite rouge est verticale. Les droites parallèles sont les deux autres droites verticales en pointillés (celle de gauche et celle de droite). On les repasse. Les droites obliques et la droite horizontale coupent la droite rouge : elles ne sont pas parallèles.
• b. La droite rouge est oblique et descend vers la droite. Les droites parallèles sont les deux autres droites qui descendent avec la même inclinaison (celle de gauche et celle de droite). Les droites qui montent vers la droite la coupent : elles ne sont pas parallèles.

Sur un quadrillage, on trace facilement des parallèles en suivant les carreaux : chaque nouvelle droite doit « avancer » de la même façon que la droite rouge.

• a. La droite rouge suit une ligne horizontale du quadrillage. On trace trois autres lignes horizontales à la règle, sur des lignes du quadrillage au-dessus ou en dessous : elles sont parallèles à la droite rouge.
• b. La droite rouge monte en passant par les coins des carreaux : elle avance d’un carreau vers la droite quand elle monte d’un carreau. On choisit un autre coin de carreau, puis on relie les coins en avançant toujours d’un carreau à droite et d’un carreau vers le haut. On recommence trois fois, à partir de trois points de départ différents.

On vérifie avec l’équerre : l’écart entre la droite rouge et chaque droite tracée est le même partout. Il y a beaucoup de bonnes réponses possibles : il suffit que les trois droites aient la même direction que la droite rouge.

On observe le motif : c’est un chevron (une pointe tournée vers la droite). Il part du haut du quadrillage, descend en oblique de 3 carreaux vers la droite jusqu’à la pointe, puis revient en oblique jusqu’en bas, 3 carreaux plus à gauche.

Le deuxième chevron est le même, décalé de 2 carreaux vers la droite. Pour poursuivre la frise, on trace un nouveau chevron tous les 2 carreaux, en suivant exactement les mêmes diagonales de carreaux.

On remarque que tous les traits qui descendent sont parallèles entre eux, et tous les traits qui remontent sont aussi parallèles entre eux : c’est ce qui rend la frise régulière.

Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit. Pour le vérifier, on place l’angle droit de l’équerre au point où les droites se coupent, un côté de l’équerre le long d’une des droites.

• a. Les droites se coupent, mais l’angle est trop fermé d’un côté et trop ouvert de l’autre : pas perpendiculaires.
• b. Une droite est verticale, l’autre horizontale : l’angle est droit. Elles sont perpendiculaires.
• c. Les deux droites sont obliques, mais l’équerre s’ajuste exactement dans l’angle : elles sont perpendiculaires. Des droites perpendiculaires ne sont pas forcément horizontale et verticale.
• d. Une droite est verticale mais l’autre n’est pas horizontale (elle monte) : l’angle n’est pas droit. Pas perpendiculaires.

On cherche d’abord le chemin avec le doigt, en partant du pirate (en bas) et sans traverser les murs verts. Puis on le trace à la règle : le chemin n’est fait que de traits horizontaux et verticaux, et chaque changement de direction forme un angle droit (deux traits successifs sont perpendiculaires).

Le chemin :

1. on entre par l’ouverture du bas et on monte jusqu’au couloir du bas ;
2. on tourne à gauche et on va jusqu’au couloir de gauche ;
3. on monte, en contournant les deux morceaux de mur qui dépassent sur la gauche ;
4. arrivé au couloir du haut, on tourne à droite et on le suit jusqu’au couloir de droite ;
5. on descend, on fait un petit décalage vers la gauche, puis on redescend ;
6. on tourne à gauche sous la salle du trésor et on s’arrête sous son ouverture ;
7. on monte par l’ouverture : on arrive au trésor.

Bay Street est la rue orange du bas du plan, légèrement inclinée. Les rues qui la coupent en formant un angle droit sont les rues (presque verticales) qui traversent le plan de haut en bas. On le vérifie en posant l’équerre à chaque croisement.

a. Les rues perpendiculaires à Bay Street sont : Leavenworth Street, Jones Street, Taylor Street, Mason Street et Powell Street. Attention : Columbus Avenue coupe aussi Bay Street, mais en biais, donc elle n’est pas perpendiculaire. North Point Street, Beach Street ou Jefferson Street vont dans la même direction que Bay Street : elles ne la coupent pas, elles ne sont donc pas perpendiculaires à Bay Street.

b. Le musée Ripley’s Believe it or Not se trouve en haut du plan, au bord de Taylor Street. Taylor Street coupe Bay Street à angle droit.

On cherche les droites qui coupent la droite rouge en formant un angle droit : on place l’équerre sur la droite rouge, au point de croisement, et on regarde si l’autre côté de l’équerre suit la droite.

• a. La droite rouge est horizontale. Les droites perpendiculaires sont les deux droites verticales. Les droites obliques la coupent, mais pas à angle droit.
• b. La droite rouge est oblique et descend vers la droite. Les droites perpendiculaires sont les deux droites obliques qui montent vers la droite : l’équerre s’ajuste exactement dans l’angle. La droite horizontale et les verticales ne sont pas perpendiculaires à la droite rouge.