Corrigé du brevet de maths 2022 : Amérique du Nord
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2022 : Amérique du Nord. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Ce que détaille le corrigé corrigé Nord 2022
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Nord 2022 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 5 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, tu lis la démarche complète pour « Pythagore, Thalès et trigonométrie » (exercice 1). Ensuite, tu trouves la solution rédigée de « QCM » (exercice 2). Puis le corrigé explique « Statistiques sur le sport » (exercice 3). Par ailleurs, la correction reprend « Jeu de hasard en Scratch » (exercice 4). Enfin, tu lis la démarche complète pour « Programme de calcul et parité » (exercice 5).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Nord 2022 sont le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès, la trigonométrie, les aires et la médiane et les statistiques, rédigées comme sur une copie.
Corrigé de l’exercice 1 (Nord 2022) : Pythagore, Thalès et trigonométrie
1. Le triangle MHS est rectangle en H (codage sur la figure) et son hypoténuse est [MS]. Le théorème de Pythagore donne :
\[ \text{MS}^2=\text{MH}^2+\text{HS}^2 \quad\text{donc}\quad 13^2=5^2+\text{HS}^2 \]
\[ \text{HS}^2=169-25=144 \]
Comme HS est une longueur positive, \(\text{HS}=\sqrt{144}\), donc HS = 12 cm.
2. Les droites (HS) et (AT) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (HT) : elles sont donc parallèles entre elles. De plus, les points H, M, T d’une part et S, M, A d’autre part sont alignés, et M est entre les deux triangles : c’est une configuration de Thalès « en papillon ». Le théorème de Thalès donne l’égalité des rapports :
\[ \dfrac{\text{MT}}{\text{MH}}=\dfrac{\text{MA}}{\text{MS}}=\dfrac{\text{AT}}{\text{HS}} \]
On utilise le premier et le dernier rapport : \(\dfrac{7}{5}=\dfrac{\text{AT}}{12}\), d’où \(\text{AT}=\dfrac{7\times 12}{5}=\dfrac{84}{5}\).
Donc AT = 16,8 cm.
3. Dans le triangle MHS rectangle en H, on connaît les trois côtés. Pour l’angle \(\widehat{\text{HMS}}\), le côté adjacent est [MH] et l’hypoténuse est [MS], donc on utilise le cosinus :
\[ \cos\widehat{\text{HMS}}=\dfrac{\text{MH}}{\text{MS}}=\dfrac{5}{13} \]
À la calculatrice (touche \(\cos^{-1}\) ou Arccos, en mode degrés) : \(\widehat{\text{HMS}}\approx 67{,}38^\circ\). Donc \(\widehat{\text{HMS}}\approx 67^\circ\) au degré près.
Tu peux contrôler avec la tangente : \(\tan\widehat{\text{HMS}}=\dfrac{\text{HS}}{\text{MH}}=\dfrac{12}{5}\), ce qui redonne bien environ 67°.
4. Le triangle MAT a des côtés plus longs que ceux de MHS (MT = 7 cm contre MH = 5 cm). Or une symétrie centrale, une symétrie axiale, une rotation et une translation conservent les longueurs : aucune d’elles ne peut agrandir le triangle. La seule transformation qui change les longueurs est l’homothétie. La réponse est donc une homothétie (ici de centre M et de rapport \(-\dfrac{7}{5}\), négatif car les deux triangles sont de part et d’autre de M).
5. Le triangle MAT est un agrandissement du triangle MHS de rapport \(k=1{,}4\) : toutes les longueurs sont multipliées par 1,4. Mais une aire est le produit de deux longueurs (ici base et hauteur), donc elle est multipliée par \(k^2\) :
\[ k^2=1{,}4^2=1{,}96 \]
Vérification par le calcul direct : \(\mathcal{A}_{\text{MHS}}=\dfrac{5\times 12}{2}=30\ \text{cm}^2\) et \(\mathcal{A}_{\text{MAT}}=\dfrac{7\times 16{,}8}{2}=58{,}8\ \text{cm}^2\), et \(\dfrac{58{,}8}{30}=1{,}96\).
L’aire de MAT est donc 1,96 fois plus grande que celle de MHS : l’affirmation de l’élève est fausse.
Corrigé de l’exercice 2 : QCM (probabilité, ratio, fonction linéaire, nombres premiers, prisme)
Aucune justification n’est demandée sur la copie, mais voici le raisonnement pour chaque question.
1. Le dé est équilibré : les 20 numéros ont la même chance de sortir. Les numéros inférieurs ou égaux à 5 sont 1, 2, 3, 4 et 5, soit 5 issues favorables. La probabilité vaut \(\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}\) : réponse B.
2. Avec le ratio 1 : 7, la boisson est partagée en \(1+7=8\) parts égales. Une part vaut \(560\div 8=70\) mL, et l’eau représente 7 parts : \(7\times 70=490\) mL. Réponse D (70 mL est la quantité de sirop, un piège classique).
3. Une fonction linéaire s’écrit \(f(x)=ax\) : les réponses A et D sont des fonctions affines non linéaires, on les écarte. On cherche \(a\) tel que \(a\times\dfrac{4}{5}=1\), c’est-à-dire \(a=\dfrac{5}{4}\) (l’inverse de \(\dfrac{4}{5}\)). Vérification : \(\dfrac{5}{4}\times\dfrac{4}{5}=1\). Réponse C.
4. Une décomposition en facteurs premiers est un produit dont tous les facteurs sont des nombres premiers. Ensuite, on a \(195=3\times 65=3\times 5\times 13\), et 3, 5, 13 sont premiers. Les réponses A et D contiennent 39 et 65, qui ne sont pas premiers (\(39=3\times 13\), \(65=5\times 13\)), et la réponse C est une somme, pas un produit. Réponse B.
5. Le volume d’un prisme droit est \(\mathcal{V}=\mathcal{A}_{\text{base}}\times h\). La base est un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 3 cm et 5 cm :
\[ \mathcal{A}_{\text{base}}=\dfrac{3\times 5}{2}=7{,}5\ \text{cm}^2 \qquad \mathcal{V}=7{,}5\times 8=60\ \text{cm}^3 \]
Réponse B. Attention à ne pas oublier la division par 2 : sans elle, on trouverait 120 cm³ (réponse D).
Corrigé de l’exercice 3 : statistiques sur la pratique sportive
1. D’abord, on calcule 81 % de 1,6 million, soit 1 600 000 :
\[ \dfrac{81}{100}\times 1\,600\,000=1\,296\,000 \]
1 296 000 adolescents (environ 1,3 million) ne respectent pas la recommandation.
2. a. Pour comparer facilement, on convertit tout en minutes (1 h = 60 min). La plus grande durée est celle du jour 4 : 1 h 40 min = 100 min. La plus petite est celle du jour 14 : 0 min. L’étendue est la différence entre les deux :
\[ 100-0=100\ \text{min} \]
L’étendue est de 100 min, soit 1 h 40 min.
2. b. Puis on range les 14 durées (en minutes) dans l’ordre croissant :
0 ; 15 ; 15 ; 30 ; 30 ; 40 ; 50 ; 60 ; 60 ; 60 ; 60 ; 90 ; 90 ; 100.
L’effectif est pair (14), donc une médiane se trouve entre la 7e et la 8e valeur, c’est-à-dire entre 50 min et 60 min. On prend en général leur moyenne : \(\dfrac{50+60}{2}=55\). Une médiane est donc 55 min (tout nombre entre 50 et 60 min partage aussi la série en deux groupes de 7 jours).
3. a. L’objectif porte sur la moyenne. Alors on additionne les 14 durées en minutes :
\[ 50+15+60+100+30+90+40+15+60+90+30+60+60+0=700 \]
La moyenne quotidienne vaut \(\dfrac{700}{14}=50\) min. Comme 50 min est inférieur à 60 min, l’objectif d’une heure par jour en moyenne n’est pas atteint.
3. b. Pour avoir une moyenne d’au moins 60 min sur 21 jours, il faut un total d’au moins \(21\times 60=1\,260\) min. Il a déjà fait 700 min, il lui reste donc :
\[ 1\,260-700=560\ \text{min} \]
Il doit prévoir au minimum 560 min, soit 9 h 20 min de pratique physique sur les 7 derniers jours (en moyenne 80 min par jour).
Corrigé de l’exercice 4 : jeu de hasard programmé en Scratch
1. Le lutin part orienté vers la droite. Dans le bloc « rectangle », il avance de 60 pas (vers la droite), tourne de 90° vers la gauche, avance de 80 pas (vers le haut), tourne encore de 90° vers la gauche, et recommence une seconde fois : il trace un rectangle de 60 pas de large et 80 pas de haut, et revient à son point de départ avec son orientation initiale. À l’échelle 1 cm pour 20 pas : \(60\div 20=3\) cm et \(80\div 20=4\) cm. On trace donc un rectangle de 3 cm de large et 4 cm de haut, le point de départ du lutin étant le coin en bas à gauche.
2. Chaque motif commence au point où se trouve le lutin. Après un rectangle, le lutin est revenu à son coin inférieur gauche ; la ligne 9 le fait alors avancer de 100 pas vers la droite, et le rectangle suivant commence là. Le premier rectangle occupe 60 pas de large, donc l’espace entre les deux rectangles vaut :
\[ d=100-60=40\ \text{pas} \]
La distance est \(d=40\) pas.
3. À la ligne 5, le programme tire au hasard 1 ou 2, avec la même chance. Si le nombre tiré est 1, le lutin dessine une croix ; sinon (nombre 2), il dessine un rectangle. La probabilité que le premier motif soit une croix est donc \(\dfrac{1}{2}\).
4. Chacun des trois motifs peut être une croix (C) ou un rectangle (R), ce qui donne \(2\times 2\times 2=8\) affichages : CCC, CCR, CRC, CRR, RCC, RCR, RRC, RRR.
5. Le joueur gagne quand les trois motifs sont identiques : seuls les affichages « trois croix » et « trois rectangles » conviennent, soit 2 affichages sur 8 équiprobables. La probabilité de gagner est \(\dfrac{2}{8}=\) \(\dfrac{1}{4}\), soit 0,25.
6. Ensuite, on veut que le rectangle ait deux fois plus de chances que la croix : la probabilité d’une croix doit être \(\dfrac{1}{3}\) et celle d’un rectangle \(\dfrac{2}{3}\). Il suffit de tirer un nombre au hasard parmi 1, 2 et 3, et de dessiner une croix seulement si l’on obtient 1 (une chance sur trois) ; les nombres 2 et 3 mènent au « sinon », donc au rectangle (deux chances sur trois). L’instruction complétée est :
nombre aléatoire entre 1 et 3 = 1
(Toute autre réponse du même type convient, par exemple « nombre aléatoire entre 1 et 3 = 2 ».)
Corrigé de l’exercice 5 : programme de calcul et démonstration
Partie A
1. On applique le programme à 15 : le carré vaut \(15^2=225\), puis on ajoute le nombre de départ : \(225+15=240\). On obtient bien 240.
2. La cellule B2 doit calculer le carré du contenu de A2, puis lui ajouter A2. Une formule possible est =A2^2+A2 (ou encore =A2*A2+A2). En l’étirant vers le bas, A2 devient A3, A4, etc.
3. Avec \(x\) comme nombre de départ, le carré est \(x^2\), puis on ajoute \(x\). Le résultat est \(x^2+x\).
Partie B
2. Pour 9, le tableur (ligne 11) donne 90 ; on retrouve ce résultat en calculant \(9^2+9=81+9=90\). L’entier qui suit 9 est 10 et \(9\times 10=90\). Les deux résultats sont égaux : l’affirmation est vraie pour 9.
3. Soit \(x\) un entier quelconque. D’après la partie A, le programme donne \(x^2+x\). On factorise par \(x\), facteur commun aux deux termes :
\[ x^2+x=x\times x+x\times 1=x(x+1) \]
Or \(x+1\) est justement l’entier qui suit \(x\). Le résultat du programme est donc toujours le produit du nombre de départ par l’entier suivant : l’affirmation est vraie pour tout entier.
4. Le résultat est \(x(x+1)\), produit de deux entiers consécutifs. Parmi deux entiers consécutifs, l’un est forcément pair :
- si \(x\) est pair, il s’écrit \(x=2k\) avec \(k\) entier, et \(x(x+1)=2\times k(x+1)\) est un multiple de 2 ;
- si \(x\) est impair, alors \(x+1\) est pair, il s’écrit \(x+1=2k\), et \(x(x+1)=2\times kx\) est encore un multiple de 2.
Dans les deux cas, le nombre obtenu est pair, quel que soit l’entier choisi au départ.
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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Nord 2022
Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.
Dans les questions sur le théorème de Pythagore, vérifie d’abord que le triangle est rectangle, puis repère l’hypoténuse avant d’écrire l’égalité. Pour le théorème de Thalès, écris les points alignés dans le même ordre, puis vérifie que les droites sont bien parallèles avant de poser les rapports. En ce qui concerne la trigonométrie, choisis le rapport (cosinus, sinus ou tangente) qui relie le côté connu et le côté cherché, puis contrôle que ta calculatrice est en degrés. Au besoin, la définition de la notion de théorème de Pythagore sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé Nord 2022 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Nord 2022
Faut-il lire le corrigé corrigé Nord 2022 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2022. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès, la trigonométrie et les aires. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Nord 2022
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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