Corrigé du bac de maths 2023 : Amérique du Nord, jour 1

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Corrigé de l’exercice 1 (bac 2023, Amérique du Nord, jour 1) 5 points

Arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, inéquation avec le logarithme

Partie A

1. Compléter l'arbre pondéré.

Les trois catégories forment une partition : \(P(M)=0{,}69\), \(P(N)=0{,}28\), donc \(P(D)=1-0{,}69-0{,}28=0{,}03\). Les pourcentages de déchets recyclables sont des probabilités conditionnelles : \(P_M(R)=0{,}73\), \(P_N(R)=0{,}49\), \(P_D(R)=0{,}35\). Sur chaque nœud, les deux branches ont une somme égale à 1, ce qui fournit les probabilités de \(\overline{R}\).

• \(M\) avec la probabilité \(0{,}69\)
  • \(R\) avec la probabilité \(0{,}73\)
  • \(\overline{R}\) avec la probabilité \(0{,}27\)
• \(N\) avec la probabilité \(0{,}28\)
  • \(R\) avec la probabilité \(0{,}49\)
  • \(\overline{R}\) avec la probabilité \(0{,}51\)
• \(D\) avec la probabilité \(0{,}03\)
  • \(R\) avec la probabilité \(0{,}35\)
  • \(\overline{R}\) avec la probabilité \(0{,}65\)

En conclusion : \(P(D)=0{,}03\) et les branches secondaires portent \(0{,}73\) / \(0{,}27\), \(0{,}49\) / \(0{,}51\), \(0{,}35\) / \(0{,}65\).

2. Probabilité que le déchet soit dangereux et recyclable.

Ensuite, on cherche \(P(D\cap R)\) : c'est le produit des probabilités lues le long du chemin \(D\) puis \(R\).

\[P(D\cap R)=P(D)\times P_D(R)=0{,}03\times 0{,}35=0{,}0105.\]

En conclusion : \(P(D\cap R)=0{,}0105\).

3. Calculer \(P\left(M\cap\overline{R}\right)\) et l'interpréter.

Même principe sur le chemin \(M\) puis \(\overline{R}\) :

\[P\left(M\cap\overline{R}\right)=P(M)\times P_M\left(\overline{R}\right)=0{,}69\times 0{,}27=0{,}1863.\]

Interprétation : un déchet pris au hasard dans l'entreprise a une probabilité de \(0{,}1863\) d'être à la fois minéral, non dangereux et non recyclable. Autrement dit, environ \(18{,}63\,\%\) des déchets produits sont minéraux non dangereux et ne peuvent pas être recyclés.

En conclusion : \(P\left(M\cap\overline{R}\right)=0{,}1863\).

4. Démontrer que \(P(R)=0{,}6514\).

Les évènements \(M\), \(N\) et \(D\) forment une partition de l'univers. La formule des probabilités totales donne :

\[P(R)=P(M\cap R)+P(N\cap R)+P(D\cap R)=0{,}69\times0{,}73+0{,}28\times0{,}49+0{,}0105.\]

Or \(0{,}69\times0{,}73=0{,}5037\) et \(0{,}28\times0{,}49=0{,}1372\), d'où \(P(R)=0{,}5037+0{,}1372+0{,}0105=0{,}6514\).

En conclusion : \(P(R)=0{,}6514\).

5. Sachant le déchet recyclable, probabilité qu'il soit non minéral et non dangereux.

Par ailleurs, on demande \(P_R(N)\), c'est-à-dire le conditionnement « à l'envers » par rapport à l'arbre. Ensuite, on revient à la définition :

\[P_R(N)=\frac{P(N\cap R)}{P(R)}=\frac{0{,}1372}{0{,}6514}\approx 0{,}21062.\]

En conclusion : \(P_R(N)\approx 0{,}2106\) (arrondi au dix-millième).

Partie B

1. a) Paramètres de la loi binomiale de \(X\).

Par ailleurs, on répète 20 fois, de façon identique et indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise), une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le déchet est recyclable », de probabilité \(0{,}6514\). La variable \(X\) compte les succès.

En conclusion : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=20\) et \(p=0{,}6514\).

1. b) Probabilité d'avoir exactement 14 déchets recyclables.

Avec la formule de la loi binomiale :

\[P(X=14)=\binom{20}{14}\times 0{,}6514^{14}\times 0{,}3486^{6}\approx 0{,}17227,\]

avec \(\binom{20}{14}=38\,760\). La calculatrice (fonction binomFdp ou équivalent) donne directement cette valeur.

En conclusion : \(P(X=14)\approx 0{,}1723\).

2. a) Expression de \(p_n\).

Pour \(n\) déchets, le nombre de déchets recyclables suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(0{,}6514\). Aucun déchet recyclable signifie \(n\) échecs consécutifs, chacun de probabilité \(1-0{,}6514=0{,}3486\), donc :

En conclusion : \(p_n=0{,}3486^{\,n}\).

2. b) Plus petit \(n\) tel que la probabilité d'au moins un déchet recyclable soit au moins \(0{,}9999\).

« Au moins un déchet recyclable » est l'évènement contraire de « aucun déchet recyclable », de probabilité \(1-p_n\). Alors, on résout :

\[1-0{,}3486^{\,n}\geqslant 0{,}9999 \iff 0{,}3486^{\,n}\leqslant 0{,}0001 \iff n\ln(0{,}3486)\leqslant \ln(0{,}0001),\]

car la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0~;~+\infty[\). Comme \(0{,}3486\lt 1\), on a \(\ln(0{,}3486)\lt 0\) et diviser par ce nombre change le sens de l'inégalité :

\[n\geqslant \frac{\ln(0{,}0001)}{\ln(0{,}3486)}\approx 8{,}74.\]

Vérification : \(0{,}3486^{8}\approx 2{,}2\times10^{-4}\), trop grand, tandis que \(0{,}3486^{9}\approx 7{,}6\times10^{-5}\), qui convient.

En conclusion : il faut prélever au moins \(n=9\) déchets.

Corrigé de l’exercice 2 (bac 2023, Amérique du Nord, jour 1) 5 points

Limites avec l'exponentielle, croissances comparées, dérivée, théorème des valeurs intermédiaires, variations, convexité

Partie A - Étude de la fonction auxiliaire \(g\)

1. a) Limite de \(g\) en \(-\infty\).

Quand \(x\) tend vers \(-\infty\), \(2x\) tend vers \(-\infty\) donc \(\text{e}^{2x}\) tend vers 0 (par composition). Par ailleurs \(-2x-3\) tend vers \(+\infty\). Par somme :

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty\).

1. b) Limite de \(g\) en \(+\infty\).

Ici on a une forme indéterminée « \(+\infty-\infty\) ». Puis on factorise par le terme dominant : pour tout réel \(x\),

\[g(x)=\text{e}^{2x}\left(3-\frac{2x+3}{\text{e}^{2x}}\right).\]

En posant \(X=2x\), on a \(\dfrac{2x+3}{\text{e}^{2x}}=\dfrac{X}{\text{e}^{X}}+\dfrac{3}{\text{e}^{X}}\), qui tend vers 0 quand \(X\) tend vers \(+\infty\) par croissances comparées. La parenthèse tend donc vers 3, et \(\text{e}^{2x}\) tend vers \(+\infty\). Par produit :

En conclusion : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\).

2. a) Démontrer que \(g'(x)=6\text{e}^{2x}-2\).

La dérivée de \(x\mapsto \text{e}^{2x}\) est \(x\mapsto 2\text{e}^{2x}\) (dérivée de \(\text{e}^{u}\) égale à \(u'\text{e}^{u}\) avec \(u(x)=2x\)). La dérivée de \(-2x-3\) vaut \(-2\). Donc pour tout réel \(x\), \(g'(x)=3\times 2\text{e}^{2x}-2=6\text{e}^{2x}-2\).

En conclusion : \(g'(x)=6\text{e}^{2x}-2\) pour tout réel \(x\).

2. b) Signe de \(g'\).

Ensuite, on résout l'inéquation \(g'(x)\gt 0\), en utilisant que la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0~;~+\infty[\) :

\[6\text{e}^{2x}-2\gt 0 \iff \text{e}^{2x}\gt \frac13 \iff 2x\gt \ln\left(\frac13\right)=-\ln(3) \iff x\gt -\frac{\ln(3)}{2}.\]

De la même façon, \(g'(x)=0\) uniquement pour \(x=-\dfrac{\ln(3)}{2}\approx-0{,}55\).

En conclusion : \(g'(x)\lt 0\) sur \(\left]-\infty~;~-\frac{\ln(3)}{2}\right[\), \(g'\) s'annule en \(-\frac{\ln(3)}{2}\), et \(g'(x)\gt 0\) sur \(\left]-\frac{\ln(3)}{2}~;~+\infty\right[\).

2. c) Tableau de variations de \(g\) et valeur du minimum.

La fonction \(g\) est strictement décroissante puis strictement croissante ; elle atteint donc son minimum en \(-\dfrac{\ln(3)}{2}\). Calculons-le, en remarquant que \(\text{e}^{2\times\left(-\frac{\ln 3}{2}\right)}=\text{e}^{-\ln 3}=\dfrac13\) :

\[g\left(-\frac{\ln(3)}{2}\right)=3\times\frac13-2\times\left(-\frac{\ln(3)}{2}\right)-3=1+\ln(3)-3=\ln(3)-2\approx-0{,}90.\]

En conclusion : \(g\) admet sur \(\mathbb{R}\) un minimum égal à \(\ln(3)-2\), atteint en \(x=-\frac{\ln(3)}{2}\).

Question 3 a

3. a) \(x=0\) est solution de \(g(x)=0\).

Alors, on remplace : \(g(0)=3\text{e}^{0}-0-3=3-3=0\).

En conclusion : \(0\) est bien solution de \(g(x)=0\).

3. b) Existence d'une seconde solution \(\alpha\) et encadrement d'amplitude \(10^{-1}\).

Sur \(\left[-\frac{\ln(3)}{2}~;~+\infty\right[\), \(g\) est strictement croissante, donc elle ne peut s'annuler qu'une fois : ce zéro est \(0\) (et \(0\gt -0{,}55\) appartient bien à cet intervalle).

Sur \(\left]-\infty~;~-\frac{\ln(3)}{2}\right]\), \(g\) est continue (car dérivable) et strictement décroissante ; ses valeurs vont de \(+\infty\) (limite en \(-\infty\)) à \(\ln(3)-2\lt 0\). Comme 0 est compris entre ces deux valeurs, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que l'équation \(g(x)=0\) a une unique solution \(\alpha\) sur cet intervalle, et \(\alpha\lt -\frac{\ln(3)}{2}\lt 0\), donc \(\alpha\) est non nulle.

À la calculatrice, par balayage : \(g(-1{,}5)=3\text{e}^{-3}\approx 0{,}149\gt 0\) et \(g(-1{,}4)=3\text{e}^{-2{,}8}-0{,}2\approx -0{,}018\lt 0\).

En conclusion : \(g(x)=0\) a exactement deux solutions, \(0\) et \(\alpha\), avec \(-1{,}5\lt\alpha\lt-1{,}4\).

4. Signe de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).

Ensuite, on lit les variations : avant \(\alpha\), \(g\) décroît vers la valeur 0 atteinte en \(\alpha\), donc elle est strictement positive ; entre \(\alpha\) et \(-\frac{\ln 3}{2}\) elle continue de descendre sous 0, puis entre \(-\frac{\ln 3}{2}\) et 0 elle remonte jusqu'à 0 en restant négative ; après 0, elle croît et devient strictement positive.

En conclusion : \(g(x)\gt 0\) sur \(]-\infty~;~\alpha[\) et sur \(]0~;~+\infty[\), \(g(x)\lt 0\) sur \(]\alpha~;~0[\), et \(g\) s'annule en \(\alpha\) et en 0.

Partie B - Étude de la fonction \(f\)

1. Montrer que \(f'(x)=\text{e}^{x}g(x)\).

La dérivée de \(\text{e}^{3x}\) est \(3\text{e}^{3x}\). Pour \((2x+1)\text{e}^{x}\), on applique la règle du produit \((uv)'=u'v+uv'\) avec \(u(x)=2x+1\) et \(v(x)=\text{e}^{x}\) : on obtient \(2\text{e}^{x}+(2x+1)\text{e}^{x}=(2x+3)\text{e}^{x}\). Ainsi :

\[f'(x)=3\text{e}^{3x}-(2x+3)\text{e}^{x}=\text{e}^{x}\left(3\text{e}^{2x}-2x-3\right)=\text{e}^{x}g(x),\]

en utilisant \(\text{e}^{3x}=\text{e}^{x}\times\text{e}^{2x}\).

En conclusion : pour tout réel \(x\), \(f'(x)=\text{e}^{x}g(x)\).

2. Signe de \(f'\) et variations de \(f\).

Pour tout réel \(x\), \(\text{e}^{x}\gt 0\) : \(f'(x)\) a donc exactement le signe de \(g(x)\), obtenu à la question A.4.

Ainsi, on a \(f(0)=1-1\times1=0\), et numériquement \(f(\alpha)\approx 0{,}46\).

En conclusion : \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty~;~\alpha]\), strictement décroissante sur \([\alpha~;~0]\) et strictement croissante sur \([0~;~+\infty[\).

3. Pourquoi \(f\) n'est-elle pas convexe sur \(\mathbb{R}\) ?

Une fonction dérivable est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée y est croissante. Or \(f'\) n'est pas croissante sur \(\mathbb{R}\) : d'après le tableau, \(f'(-2)\gt 0\) (car \(-2\lt\alpha\)) tandis que \(f'(-1)\lt 0\) (car \(\alpha\lt -1\lt 0\)). Alors, on a donc \(-2\lt -1\) mais \(f'(-2)\gt f'(-1)\).

Par ailleurs, on peut aussi le voir avec la dérivée seconde : \(f''(x)=\text{e}^{x}\left(9\text{e}^{2x}-2x-5\right)\), et \(f''(-1)=\text{e}^{-1}\left(9\text{e}^{-2}-3\right)\approx-0{,}66\lt 0\). Autre lecture graphique : \(f\) présente un maximum local en \(\alpha\), ce qui est impossible pour une fonction convexe sur \(\mathbb{R}\) qui n'est pas constante autour de ce point.

En conclusion : \(f'\) n'est pas croissante sur \(\mathbb{R}\) (elle passe du positif au négatif en \(\alpha\)), donc \(f\) n'est pas convexe sur \(\mathbb{R}\).

Corrigé de l’exercice 3 (bac 2023, Amérique du Nord, jour 1) 5 points

Géométrie dans l'espace : distances et produit scalaire, équation de plan, projeté orthogonal, positions relatives de droites et de plans

1. Nature du triangle ABC. Réponse a.

Ensuite, on calcule \(\overrightarrow{AB}(4~;~4~;~-2)\) et \(\overrightarrow{AC}(4~;~-2~;~4)\). Alors \(AB=\sqrt{16+16+4}=6\) et \(AC=\sqrt{16+4+16}=6\) : le triangle est isocèle en A. De plus \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=16-8-8=0\), donc l'angle en A est droit. Il n'est pas équilatéral puisque \(BC=\sqrt{0+36+36}=6\sqrt2\neq 6\).

En conclusion : ABC est isocèle rectangle en A (réponse a).

2. Équation du plan (BCD). Réponse c.

Les vecteurs \(\overrightarrow{BC}(0~;~-6~;~6)\) et \(\overrightarrow{BD}(5~;~-9~;~-11)\) ne sont pas colinéaires (la première coordonnée de l'un est nulle, pas celle de l'autre), donc B, C, D définissent un plan unique. Par ailleurs, on teste l'équation \(4x+y+z-21=0\) : pour B, \(12+6+3-21=0\) ; pour C, \(12+0+9-21=0\) ; pour D, \(32-3-8-21=0\). Les trois points la vérifient. À titre de contrôle, l'équation a échoue en D (\(16-3-8-15=-10\)).

En conclusion : (BCD) a pour équation \(4x+y+z-21=0\) (réponse c).

3. Projeté orthogonal H de D sur (ABC). Réponse b.

Un vecteur normal à (ABC) est \(\vec n(1~;~-2~;~-2)\). La droite passant par D et dirigée par \(\vec n\) a pour représentation \(x=8+k\), \(y=-3-2k\), \(z=-8-2k\). En reportant dans l'équation du plan : \((8+k)-2(-3-2k)-2(-8-2k)+15=0\), soit \(45+9k=0\), donc \(k=-5\). Donc on obtient \(\text{H}(3~;~7~;~2)\). Vérification : \(3-14-4+15=0\) et \(\overrightarrow{DH}(-5~;~10~;~10)=-5\vec n\).

En conclusion : \(\text{H}(3~;~7~;~2)\) (réponse b).

Question 4

4. Position relative de (BC) et \(\Delta\). Réponse d.

Un vecteur directeur de \(\Delta\) est \(\vec u(1~;~-1~;~3)\) et un vecteur directeur de (BC) est \(\overrightarrow{BC}(0~;~-6~;~6)\). Ils ne sont pas colinéaires (0 face à 1 en première coordonnée) : les droites ne sont ni parallèles ni confondues. Cherchons un point commun. Un point de (BC) s'écrit \((3~;~6-6s~;~3+6s)\). L'égalité des abscisses \(5+t=3\) impose \(t=-2\), d'où le point \((3~;~5~;~-7)\) de \(\Delta\). Il faudrait alors \(6-6s=5\), soit \(s=\frac16\), ce qui donne \(z=3+1=4\neq-7\). Le système n'a pas de solution : les droites ne se coupent pas.

En conclusion : ni parallèles ni sécantes, les droites (BC) et \(\Delta\) sont non coplanaires (réponse d).

5. Position relative de \(\mathcal{P}\) et (ABC). Réponse b.

Les vecteurs normaux \((2~;~-1~;~2)\) et \((1~;~-2~;~-2)\) ne sont pas colinéaires, donc les plans sont sécants selon une droite. Par ailleurs, on regarde quels points de ABC sont dans \(\mathcal{P}\) : pour A, \(-2-2+10-6=0\) ; pour B, \(6-6+6-6=0\) ; pour C, \(6-0+18-6=18\neq0\). A et B appartiennent aux deux plans, C non.

En conclusion : les plans sont sécants suivant la droite (AB) (réponse b).

Corrigé de l’exercice 4 (bac 2023, Amérique du Nord, jour 1) 5 points

Suite récurrente, dérivée et variations, raisonnement par récurrence, convergence monotone, limite d'une suite, algorithme de Héron en Python

Partie A - Étude de la suite \((u_n)\)

1. Calcul de \(u_1\) et \(u_2\).

\[u_1=\frac12\left(5+\frac{11}{5}\right)=\frac12\times\frac{36}{5}=\frac{18}{5}.\]

\[u_2=\frac12\left(\frac{18}{5}+\frac{11\times5}{18}\right)=\frac12\left(\frac{324}{90}+\frac{275}{90}\right)=\frac{599}{180}.\]

La fraction \(\frac{599}{180}\) est irréductible car \(180=2^2\times3^2\times5\) et 599 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5.

En conclusion : \(u_1=\dfrac{18}{5}\) et \(u_2=\dfrac{599}{180}\).

2. \(f\) est croissante sur \(\left[\sqrt{11}~;~+\infty\right[\).

\(f\) est dérivable sur \(]0~;~+\infty[\) et, comme la dérivée de \(\frac{11}{x}\) est \(-\frac{11}{x^2}\) :

\[f'(x)=\frac12\left(1-\frac{11}{x^2}\right)=\frac{x^2-11}{2x^2}.\]

Le dénominateur \(2x^2\) est strictement positif. Pour \(x\geqslant\sqrt{11}\gt 0\), on a \(x^2\geqslant 11\), donc \(x^2-11\geqslant 0\) et \(f'(x)\geqslant 0\).

En conclusion : \(f'\geqslant 0\) sur \(\left[\sqrt{11}~;~+\infty\right[\), donc \(f\) y est croissante.

3. Récurrence : \(u_n\geqslant u_{n+1}\geqslant\sqrt{11}\).

Notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(u_n\geqslant u_{n+1}\geqslant\sqrt{11}\) ».

Initialisation. \(u_0=5\), \(u_1=3{,}6\) et \(\sqrt{11}\approx3{,}317\). Sans calculatrice : \(3{,}6^2=12{,}96\geqslant 11\), donc \(3{,}6\geqslant\sqrt{11}\). Ainsi \(u_0\geqslant u_1\geqslant\sqrt{11}\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(\mathcal{P}(n)\) est vraie : \(u_n\geqslant u_{n+1}\geqslant\sqrt{11}\). Ces trois nombres sont dans \(\left[\sqrt{11}~;~+\infty\right[\), où \(f\) est croissante (question 2) ; appliquer \(f\) conserve donc l'ordre : \(f(u_n)\geqslant f(u_{n+1})\geqslant f\left(\sqrt{11}\right)\). Or \(f(u_n)=u_{n+1}\), \(f(u_{n+1})=u_{n+2}\) et \(f\left(\sqrt{11}\right)=\frac12\left(\sqrt{11}+\frac{11}{\sqrt{11}}\right)=\frac12\times2\sqrt{11}=\sqrt{11}\). Alors, on obtient \(u_{n+1}\geqslant u_{n+2}\geqslant\sqrt{11}\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. Par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel \(n\).

En conclusion : pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n\geqslant u_{n+1}\geqslant\sqrt{11}\).

4. Convergence de \((u_n)\).

D'après la question 3, la suite \((u_n)\) est décroissante (\(u_{n+1}\leqslant u_n\)) et minorée par \(\sqrt{11}\). Le théorème de convergence monotone assure qu'elle converge ; sa limite \(a\) vérifie \(a\geqslant\sqrt{11}\) par passage à la limite dans l'inégalité.

En conclusion : \((u_n)\) converge vers un réel \(a\geqslant\sqrt{11}\).

Question 5

5. Valeur exacte de \(a\).

La fonction \(f\) est continue sur \(]0~;~+\infty[\) et \(a\gt 0\). En passant à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\), on obtient \(a=f(a)\), c'est-à-dire :

\[a=\frac12\left(a+\frac{11}{a}\right)\iff 2a=a+\frac{11}{a}\iff a=\frac{11}{a}\iff a^2=11.\]

Les solutions sont \(\sqrt{11}\) et \(-\sqrt{11}\) ; comme \(a\geqslant\sqrt{11}\gt0\), on garde la solution positive.

En conclusion : \(a=\sqrt{11}\).

Partie B - Application géométrique

1. a) Pourquoi \(\ell_0=2{,}2\) ?

Le rectangle \(R_0\) a pour aire 11 et pour longueur \(L_0=5\). L'aire d'un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur, donc \(5\times\ell_0=11\).

En conclusion : \(\ell_0=\dfrac{11}{5}=2{,}2\).

1. b) Établir que \(\ell_n=\dfrac{11}{L_n}\).

Pour tout entier \(n\), le rectangle \(R_n\) a une aire égale à 11, donc \(\ell_n\times L_n=11\). Une longueur étant strictement positive, on peut diviser par \(L_n\).

En conclusion : \(\ell_n=\dfrac{11}{L_n}\) pour tout entier naturel \(n\).

2. \((L_n)\) coïncide avec \((u_n)\).

En remplaçant \(\ell_n\) par \(\frac{11}{L_n}\) dans la relation de récurrence :

\[L_{n+1}=\frac{L_n+\frac{11}{L_n}}{2}=\frac12\left(L_n+\frac{11}{L_n}\right).\]

C'est exactement la relation qui définit \((u_n)\), et les premiers termes sont égaux : \(L_0=u_0=5\). Deux suites ayant le même premier terme et la même relation de récurrence sont égales (on le montre par une récurrence immédiate).

En conclusion : pour tout entier \(n\), \(L_n=u_n\).

3. Montrer que \(\ell_n\leqslant\sqrt{11}\leqslant L_n\).

D'après la partie A, \(L_n=u_n\geqslant\sqrt{11}\gt 0\). La fonction inverse étant décroissante sur \(]0~;~+\infty[\), on en déduit \(\frac{1}{L_n}\leqslant\frac{1}{\sqrt{11}}\), puis en multipliant par \(11\gt0\) : \(\ell_n=\frac{11}{L_n}\leqslant\frac{11}{\sqrt{11}}=\sqrt{11}\).

En conclusion : pour tout entier naturel \(n\), \(\ell_n\leqslant\sqrt{11}\leqslant L_n\).

4. Interprétation géométrique.

La longueur et la largeur des rectangles \(R_n\) se rapprochent l'une de l'autre et tendent toutes deux vers \(\sqrt{11}\). Les rectangles, qui gardent tous une aire de 11, ressemblent de plus en plus à un carré de côté \(\sqrt{11}\), dont l'aire est bien \(\left(\sqrt{11}\right)^2=11\).

En conclusion : les rectangles \(R_n\) « tendent » vers le carré d'aire 11, de côté \(\sqrt{11}\).

Question 5 a

5. a) Valeurs renvoyées par heron(3).

La fonction part de \(L=5\) et \(\ell=2{,}2\), puis effectue 3 fois : nouvelle longueur égale à la moyenne de \(L\) et \(\ell\), puis nouvelle largeur égale à \(11/L\). Après 3 passages, elle renvoie \(\ell_3\) et \(L_3\) arrondis à \(10^{-6}\). Les étapes :

En conclusion : l'utilisateur obtient \(\ell\approx 3{,}316606\) et \(L\approx 3{,}316643\), affichés sous la forme (3.316606, 3.316643).

5. b) Interprétation de ces deux valeurs.

D'après la question 3, \(\ell_3\leqslant\sqrt{11}\leqslant L_3\). Les deux nombres affichés forment donc un encadrement de \(\sqrt{11}\) (aux arrondis près) : \(3{,}316606\leqslant\sqrt{11}\leqslant 3{,}316643\), dont l'amplitude est inférieure à \(4\times10^{-5}\). Ce sont aussi la largeur et la longueur du rectangle \(R_3\), déjà presque carré.

En conclusion : en trois étapes seulement, la méthode de Héron fournit un encadrement de \(\sqrt{11}\approx3{,}31662\) à moins de \(4\times10^{-5}\) près.

Ce qu’il faut retenir de ce sujet

• Dans un arbre, on multiplie le long d'un chemin et on additionne les chemins menant au même évènement ; une probabilité « sachant \(R\) » se calcule par \(P(A\cap R)/P(R)\).
• Pour une inéquation du type \(q^n\leqslant c\) avec \(0\lt q\lt 1\), penser au changement de sens en divisant par \(\ln(q)\lt 0\).
• Une fonction auxiliaire \(g\) sert à obtenir le signe de \(f'\) : limites, dérivée, théorème des valeurs intermédiaires, puis tableau de signes.
• Convexité : \(f\) convexe équivaut à \(f'\) croissante ; un seul contre-exemple suffit pour la réfuter.
• En géométrie, vérifier qu'un point est dans un plan par son équation et qu'un vecteur est colinéaire au vecteur normal règle la plupart des QCM.
• Suite définie par \(u_{n+1}=f(u_n)\) : croissance de \(f\) pour la récurrence, convergence monotone, puis \(a=f(a)\) grâce à la continuité de \(f\).

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Présentation du corrigé du bac 2023, Amérique du Nord, jour 1

Ce corrigé du bac 2023, Amérique du Nord, jour 1 du 27 mars 2023 reprend les quatre exercices de l'épreuve, question par question. D'abord, la correction de l'exercice 1 (5 points) traite : arbre pondéré, probabilités totales, probabilité conditionnelle, loi binomiale, inéquation avec le logarithme. Ensuite, la correction de l'exercice 2 (5 points) porte sur : limites avec l'exponentielle, croissances comparées, dérivée, théorème des valeurs intermédiaires, variations, convexité. Puis, la correction de l'exercice 3 (5 points) aborde : géométrie dans l'espace : distances et produit scalaire, équation de plan, projeté orthogonal, positions relatives de droites et de plans. Enfin, la correction de l'exercice 4 (5 points) traite : suite récurrente, dérivée et variations, raisonnement par récurrence, convergence monotone, limite d'une suite, algorithme de Héron en Python.

Avant de lire une solution, cherchez d'abord la question seul pendant quelques minutes. Ensuite, comparez votre démarche avec la rédaction proposée, et pas seulement le résultat final. Enfin, notez les méthodes qui vous ont manqué pour les revoir plus tard.

Méthodes à retenir dans ce corrigé du bac 2023, Amérique du Nord, jour 1

Pour les suites, rédigez la récurrence en trois temps : initialisation, hérédité, puis conclusion. Ensuite, pensez au théorème de convergence monotone, souvent attendu en fin d'exercice. En probabilités, commencez par un arbre pondéré bien légendé. Ensuite, nommez la loi utilisée et ses paramètres avant tout calcul à la calculatrice. Quand il faut prouver qu'un vecteur est normal à un plan, vérifiez deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires. Puis déduisez-en l'équation cartésienne.

Si vous n'avez pas encore cherché l'épreuve, commencez par l'énoncé complet. Ensuite, entraînez-vous sur les autres annales du bac de maths.

Les autres corrigés de 2023

• Corrigé France, jour 1
• Corrigé France, jour 2
• Corrigé Amérique du Nord, jour 2
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• Corrigé Centres étrangers, jour 2
• Corrigé Centres étrangers groupe 1, jour 1
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• Corrigé France, septembre, jour 1
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