Sujet du bac de maths 2023 : Amérique du Nord, jour 2
Entraînez-vous en temps limité, puis comparez avec la correction complète. Toutes les annales depuis 2020 sont listées sur notre page consacrée au bac de maths.
Baccalauréat général — Spécialité mathématiques — Session 2023
Amérique du Nord — Sujet 2 (jour 2) — 28 mars 2023
Durée : 4 heures — Calculatrice autorisée en mode examen
Exercice 1 (sujet de bac 2023, Amérique du Nord, jour 2) 5 points
Partie A
Le plan est muni d'un repère orthogonal.
Désormais, on considère une fonction \(f\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). Ensuite, on note \(f'\) sa fonction dérivée. Par ailleurs, on donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée \(f'\).
Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée \(f'\). Aucune justification n'est demandée.
1. Donner le sens de variation de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\). Désormais, on utilisera des valeurs approchées si besoin.
2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction \(f\) semble être convexe.
Partie B
On admet que la fonction \(f\) de la partie A est définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x)=\left(x^{2}-5x+6\right)\text{e}^{x}.\]
Ensuite, on note \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère.
1. a. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\).
b. Déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\).
2. Montrer que, pour tout réel \(x\), on a \(f'(x)=\left(x^{2}-3x+1\right)\text{e}^{x}\).
3. En déduire le sens de variation de la fonction \(f\).
4. Déterminer l'équation réduite de la tangente \((\mathcal{T})\) à la courbe \(\mathcal{C}\) au point d'abscisse 0.
En outre, on admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\). Désormais, on note \(f''\) la fonction dérivée seconde de la fonction \(f\). En outre, on admet que, pour tout réel \(x\), on a \(f''(x)=(x+1)(x-2)\text{e}^{x}\).
5. a. Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
b. Montrer que, pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle \([-1~;~2]\), on a \(f(x)\leqslant x+6\).
Exercice 2 (sujet de bac 2023, Amérique du Nord, jour 2) 5 points
On étudie un groupe de 3 000 sportifs qui pratiquent soit l'athlétisme dans le club A, soit le basketball dans le club B.
En 2023, le club A compte 1 700 membres et le club B en compte 1 300.
Ensuite, on décide de modéliser le nombre de membres du club A et du club B respectivement par deux suites \(\left(a_{n}\right)\) et \(\left(b_{n}\right)\), où \(n\) désigne le rang de l'année à partir de 2023.
L'année 2023 correspond au rang 0. En outre, on a alors \(a_{0}=1\,700\) et \(b_{0}=1\,300\).
Pour notre étude, on fait les hypothèses suivantes :
- durant l'étude, aucun sportif ne quitte le groupe ;
- chaque année, 15 % des sportifs du club A quittent ce club et adhèrent au club B ;
- chaque année, 10 % des sportifs du club B quittent ce club et adhèrent au club A.
1. Calculer les nombres de membres de chaque club en 2024.
2. Pour tout entier naturel \(n\), déterminer une relation liant \(a_{n}\) et \(b_{n}\).
3. Montrer que la suite \(\left(a_{n}\right)\) vérifie la relation suivante pour tout entier naturel \(n\), on a :
\[a_{n+1}=0{,}75a_{n}+300.\]
4. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), on a :
\[1\,200\leqslant a_{n+1}\leqslant a_{n}\leqslant 1\,700.\]
b. En déduire que la suite \(\left(a_{n}\right)\) converge.
5. Soit \(\left(v_{n}\right)\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_{n}=a_{n}-1\,200\).
a. Démontrer que la suite \(\left(v_{n}\right)\) est géométrique.
b. Exprimer \(v_{n}\) en fonction de \(n\).
c. En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \(a_{n}=500\times 0{,}75^{n}+1\,200\).
6. a. Déterminer la limite de la suite \(\left(a_{n}\right)\).
Question 6 b
b. Interpréter le résultat de la question précédente dans le contexte de l'exercice.
7. a. Recopier et compléter le programme Python ci-dessous afin qu'il renvoie la plus petite valeur de n à partir de laquelle le nombre de membres du club A est strictement inférieur à 1 280.
def seuil() :
n = 0
A = 1700
while ... :
n=n+1
A = ...
return ...
b. Déterminer la valeur renvoyée lorsqu'on appelle la fonction seuil.
Exercice 3 (sujet de bac 2023, Amérique du Nord, jour 2) 5 points
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé d'unité 1 cm, on considère les points
\[\text{D}(3~;~1~;~5),\qquad \text{E}(3~;~-2~;~-1),\qquad \text{F}(-1~;~2~;~1),\qquad \text{G}(3~;~2~;~-3).\]
1. a. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{\text{EF}}\) et \(\overrightarrow{\text{FG}}\).
b. Justifier que les points E, F et G ne sont pas alignés.
2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FG).
b. Ensuite, on appelle H le point de coordonnées \((2~;~2~;~-2)\).
Vérifier que H est le projeté orthogonal de E sur la droite (FG).
c. Montrer que l'aire du triangle EFG est égale à \(12\text{ cm}^{2}\).
3. a. Démontrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (EFG).
b. Déterminer une équation cartésienne du plan (EFG).
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((d)\) passant par le point D et orthogonale au plan (EFG).
d. Puis on note K le projeté orthogonal du point D sur le plan (EFG).
À l'aide des questions précédentes, calculer les coordonnées du point K.
4. a. Vérifier que la distance DK est égale à 5 cm.
b. En déduire le volume du tétraèdre DEFG.
Exercice 4 5 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Les cinq questions sont indépendantes.
1. Désormais, on considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \(]1~;~+\infty[\) par
\[f(x)=0{,}05-\dfrac{\ln x}{x-1}.\]
La limite de la fonction \(f\) en \(+\infty\) est égale à :
| a. \(+\infty\) | b. \(0{,}05\) | c. \(-\infty\) | d. \(0\) |
2. Ensuite, on considère une fonction \(h\) continue sur l'intervalle \([-2~;~4]\) telle que :
\[h(-1)=0,\qquad h(1)=4,\qquad h(3)=-1.\]
Ensuite, on peut affirmer que :
| a. la fonction \(h\) est croissante sur l'intervalle \([-1~;~1]\). |
| b. la fonction \(h\) est positive sur l'intervalle \([-1~;~1]\). |
| c. il existe au moins un nombre réel \(a\) dans l'intervalle \([1~;~3]\) tel que \(h(a)=1\). |
| d. l'équation \(h(x)=1\) admet exactement deux solutions dans l'intervalle \([-2~;~4]\). |
3. Désormais, on considère deux suites \(\left(u_{n}\right)\) et \(\left(v_{n}\right)\) à termes strictement positifs telles que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_{n}=+\infty\) et \(\left(v_{n}\right)\) converge vers 0.
Ensuite, on peut affirmer que :
| a. la suite \(\left(\dfrac{1}{v_{n}}\right)\) converge. | b. la suite \(\left(\dfrac{v_{n}}{u_{n}}\right)\) converge. |
| c. la suite \(\left(u_{n}\right)\) est croissante. | d. \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(-u_{n}\right)^{n}=-\infty\) |
4. Pour participer à un jeu, un joueur doit payer 4 €.
Il lance ensuite un dé équilibré à six faces :
- s'il obtient 1, il remporte 12 € ;
- s'il obtient un nombre pair, il remporte 3 € ;
- sinon, il ne remporte rien.
En moyenne, le joueur :
| a. gagne 3,50 € | b. perd 3 €. |
| c. perd 1,50 € | d. perd 0,50 €. |
5. Puis on considère la variable aléatoire \(X\) suivant la loi binomiale \(\mathcal{B}(3~;~p)\).
Par ailleurs, on sait que \(P(X=0)=\dfrac{1}{125}\). Par ailleurs, on peut affirmer que :
| a. \(p=\dfrac{1}{5}\) | b. \(P(X=1)=\dfrac{124}{125}\) |
| c. \(p=\dfrac{4}{5}\) | d. \(P(X=1)=\dfrac{4}{5}\) |
Comment aborder ce sujet de bac 2023, Amérique du Nord, jour 2
Le sujet de bac 2023, Amérique du Nord, jour 2 du 28 mars 2023 réunit quatre exercices. D'abord, l'exercice 1 (5 points) traite : lecture graphique de la dérivée, limites avec l'exponentielle, variations, tangente, convexité. Ensuite, l'exercice 2 (5 points) aborde : suite arithmético-géométrique, récurrence, convergence monotone, suite géométrique, algorithme de seuil. Puis, l'exercice 3 (5 points) aborde : vecteurs de l'espace, représentations paramétriques, produit scalaire, projeté orthogonal, plan, volume d'un tétraèdre. Enfin, l'exercice 4 (5 points) porte sur : qCM : croissances comparées, théorème des valeurs intermédiaires, limites de suites, espérance, loi binomiale.
En pratique, chronométrez-vous dès le départ, car le temps file vite. Par exemple, l'exercice 1 vaut 5 points, donc il mérite environ 60 minutes. Par ailleurs, une question admise peut toujours servir pour la suite.
Méthodes utiles pour le sujet de bac 2023, Amérique du Nord, jour 2
Pour les suites, rédigez la récurrence en trois temps : initialisation, hérédité, puis conclusion. Ensuite, pensez au théorème de convergence monotone, souvent attendu en fin d'exercice. En probabilités, commencez par un arbre pondéré bien légendé. Ensuite, nommez la loi utilisée et ses paramètres avant tout calcul à la calculatrice. En géométrie dans l'espace, écrivez les coordonnées des vecteurs avant de calculer un produit scalaire. Ainsi, une erreur de signe se repère beaucoup plus vite.
Après votre recherche, vérifiez votre copie grâce à la correction détaillée de ce sujet. Ensuite, poursuivez l'entraînement avec toutes les annales depuis 2020.
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